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山大附中2012-2013高一数学3月考题


2012-2013 学年山西大学附中高一(下)3 月月 考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(每小题 3 分,满分 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. (3 分)若 P(﹣3,4)为角 α 终边上一点,则 cosα=( ) A. B. C. D.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题;三

角函数的求值. 分析: 由题意直接利用三角函数的定义求解即可. 解答: 解:因为 P(﹣3,4)为角 α 终边上一点,所以|OP|=r=5, 由任意角的三角函数的定义可知:cosα= = ,

故选 A. 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义的应用,考查计算能力. 2. (3 分) (2009?重庆)下列关系式中正确的是( A.sin11° <cos10° <sin168° C. sin11° <sin168° <cos10° ) B. sin168° <sin11° <cos10° D.sin168° <cos10° <sin11°

考点: 正弦函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 先根据诱导公式得到 sin168° =sin12° 和 cos10° =sin80° , 再结合正弦函数的单调性可得到 sin11° <sin12° <sin80° 从而可确定答案. 解答: 解:∵sin168° =sin(180° ﹣12° )=sin12° , cos10° =sin(90° ﹣10° )=sin80° . 又∵y=sinx 在 x∈[0, ]上是增函数,

∴sin11° <sin12° <sin80° ,即 sin11° <sin168° <cos10° . 故选 C 点评: 本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用.考查基础知识的综合应用. 3. (3 分)已知 sin20° =a,则 cos160° =( A.a B. ) C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用平方关系 解答: 解:∵ =

,诱导公式 cos(π﹣α)=﹣cosα 即可得出. ,

∴cos160° =﹣



故选 D. 点评: 熟练掌握诱导公式和平方关系即可得出. 4. (3 分)扇形的周长为 6cm,面积是 2cm ,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 B .4 C.1 或 4
2

) D.2 或 4

考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题;方程思想. 2 分析: 设出扇形的圆心角为 αrad,半径为 Rcm,根据扇形的周长为 6 cm,面积是 2 cm ,列出方程组,求 出扇形的圆心角的弧度数. 解答: 解:设扇形的圆心角为 αrad,半径为 Rcm, 则 ,解得 α=1 或 α=4.

选 C. 点评: 本题考查扇形面积公式,考查方程思想,考查计算能力,是基础题. 5. (3 分) (2011?长春模拟)若 A. B. ﹣

,则 C.

的值为( D.



考点: 两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: 首先利用诱导公式得出 =cos[ ﹣( 解答: 解: =cos[ ﹣( ﹣α)]=sin(

﹣α)]=sin( ﹣α)= ,

﹣α) ,进而求出结果.

故选 A. 点评: 本题考查了三角函数的诱导公式,观察已知角与所求角的关系是解题的关键,属于基础题.

6. (3 分)已知 α 为第二象限角,则 A.3 B.﹣3 C.1

的值是(

) D.﹣1

考点: 三角函数的化简求值;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 根据 α 为第二象限角,结合同角三角函数的平方关系,得出 ﹣cosα.由此代入题中式子进行化简,即可算出所求式子的值. 解答: 解:∵α 为第二象限角, ∴sinα>0 且 cosα<0 由此可得 =|sinα|=sinα, =|cosα|=﹣cosα

=sinα,

=



=

=2﹣1=1

故选:C 点评: 本题给出 α 为第二象限角,要我们化简一个三角函数式子并求值,着重考查了三角函数的定义和同 角三角函数的关系等知识,属于基础题.

7. (3 分)函数 A. C.

的单调减区间为( B. D.



(k∈Z) (k∈Z)

(k∈Z) (k∈Z)

考点: 复合三角函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 观察可知函数

是由

,t=sin(2x+

)构成的复合函数,由复合函

数的单调性,只要求得 t=sin(2x+ 解答: 解:令: ,t=sin(2x+ )

)增区间中的大于部分即可.

∴2kπ<2x+ kπ<x≤kπ+

≤2kπ+

由复合函数的单调性可知: 函数 的单调减区间为 (k∈Z)

故选 B 点评: 本题主要查复合函数的单调性,结论是同增异减,一定要注意定义域,如本题在真数位置要大于零.

8. (3 分)为了得到函数 y=sinx 的图象,需要把函数 A. B. C. D. 横坐标缩短到原来的 倍,再向右平移 横坐标伸长到原来的 倍,再向右平移 横坐标缩短到原来的 倍,再向左平移 横坐标伸长到原来的 倍,再向左平移 个单位长度 个单位长度 个单位长度 个单位长度

图象上的所有点(



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,得出结论. 解答: 解:把函数 图象上的所有点横坐标变为原来的 倍, 可得函数 y=sin[( x)× + 再把所得图象向右平移 ]=sin(x+ )的图象,

个单位长度,可得函数 y=sinx 的图象,

故选 A. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,属于中档题. 9. (3 分)已知函数 f(x)=sin(2x﹣ A. B. )﹣m 在 C. 上两个零点,则 m 的取值范围为( D. )

考点: 正弦函数的单调性;正弦函数的奇偶性;复合三角函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用正弦函数的性质即可求得 x∈[0, ]时 g(x)=sin(2x﹣ )的取值范围,从而可得函数 f(x) =sin(2x﹣ 解答: 解:∵x∈[0, ∴2x﹣ ∈[﹣ )﹣m 在[0, ], , ], ]上两个零点时 m 的取值范围.

∴sin(2x﹣ 令 z=2x﹣

)∈[﹣ ,1], ,y=m, , , ])与 y=m 的图象, ])与 y=m 有两个交点,即函数 f(x)=sin(2x

在同一直角坐标系中作出 y=sinz(z∈[﹣ 由图象可知, ≤m<1 时,y=sinz(z∈[﹣ ﹣ )﹣m 在 上有两个零点.

故选 C.

点评:

本题考查正弦函数的单调性质,求得 x∈[0, 中档题.

]时 g(x)=sin(2x﹣

)的取值范围是关键,属于

10. (3 分) 已知 f (x) 是以 π 为周期的偶函数, 且 时,f(x)等于( A.1+sinx ) B.1﹣sinx

时, f (x) =1﹣sinx, 则当

C.﹣1﹣sinx

D.﹣1+sinx

考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质. 专题: 综合题. 分析: 由题意,可先由函数是偶函数求出 周期的函数得到 解答: 解:由题意,任取 又

时,函数解析式为 f(x)=1+sinx,再利用函数是以 π 为

时,f(x)的解析式即可选出正确选项 ,则

时,f(x)=1﹣sinx,故 f(﹣x)=1+sinx

又 f(x)是偶函数,可得 f(﹣x)=f(x) ∴ 时,函数解析式为 f(x)=1+sinx ,则

由于 f(x)是以 π 为周期的函数,任取

∴f(x)=f(x﹣3π)=1+sin(x﹣3π)=1﹣sinx 故选 B 点评: 本题考查函数的周期性与函数的奇偶性,解题的关键是熟练利用所给的函数的性质构造恒等式求出解析式, 本题有一定难度,透彻理解函数的性质在求解析式中的运用很关键 二.填空题(每题 4 分,满分 16 分,把答案填在题中横线上) 11. (4 分)函数 的最小正周期是 π .

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 设函数的最小正周期为 T,可得 f(x+T)=f(x) ,代入函数的解析式并结合正弦的诱导公式,可得﹣2T=2kπ

(k∈Z) ,再取 k=﹣1,即可得到函数的最小正周期是 π. 解答: 解:∵f(x)= ∴f(x+T)= , =

设函数的最小正周期为 T,则 f(x+T)=f(x) , 即 = ,

可得﹣2T=2kπ(k∈Z) ,解之得 T=kπ(k∈Z) , 取 k=﹣1,得 T=π,即函数的最小正周期是 π 故答案为:π 点评: 本题给出函数 求法等知识,属于基础题. ,求它的最小正周期.着重考查了诱导公式和三角函数周期的定义及其

12. (4 分)不等式

的解集是



考点: 正切函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 不等式

即 tanx≥﹣ ,又 kπ﹣

<x<kπ+

,k∈z,可得

解答:

解:不等式 ∴ 故答案为:

即 tanx≥﹣ ,又 kπ﹣ ,

<x<kπ+

,k∈z,

. <x<kπ+ , k∈z,

点评:

本题考查正切函数的定义域, 正切函数的单调性, 注意利用正切函数的定义域为 kπ﹣ 这是 解题的易错点.

13. (4 分)函数

(ω>0)部分图象如图所示,A 为图象的最高点,B、C .

为图象与 x 轴的交点,且△ ABC 为正三角形.则 ω=

考点: y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质.

分析:

通过 而可得 ω

,由正三角形△ ABC 的高为 2

可求得 BC,从而可求得其周期,继

解答:

解:由已知 即正△ ABC 的高为 2 ,则 BC=2

(ω>0) ,函数的最大值为:2 ,BC=4, =8,



∴函数 f(x)的周期 T=4× 2=8,即 ∴ω= . .

故答案为:

点评: 本题考查三角函数的解析式的求法,y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义,考查计算能力. 14. (4 分)设函数 ①图象 C 关于直线 ②函数 f(x)在区间 ③函数 f(x)是奇函数; ④图象 C 关于点 对称. 对称; 内是增函数; 的图象为 C,给出下列命题:

⑤|f(x)|的周期为 π 其中,正确命题的编号是 ①② . (写出所有正确命题的编号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: ①∵ 直线对称; ②由 x∈ ,则 ,从而 在区间 上

=

=﹣1,∴f(x)在

处取得最小值,可判断出其图象关于此

单调递增,进而可判断 f(x)的单调性; ③判断 f(﹣x)=﹣f(x)是否成立即可; ④判断 ⑤判断 解答: 解:①∵ ②若 x∈ ,则 是否成立即可; =|f(x)|,|f(x+π)|=|f(x)|是否成立即可. = =﹣1,∴图象 C 关于直线 ,∴ 内是增函数,故正确; 对称,正确; 在区间 上单

调递增,从而函数 f(x)在区间

③f(﹣x)= 不正确; ④ ⑤∵ |,而 = =

=



,∴函数 f(x)不是奇函数,

=

= =

≠0, 故图象 C 关于点 = ,故不正确.

不对称, 不正确; =|f(x)

,因此|f(x)|的周期为

综上可知:只有①②正确. 故答案为①②. 点评: 熟练掌握三角函数的图象和性质是解题的关键. 三.解答题(满分 54 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (10 分)求值 (1)sin 840° +cos540° +tan225° ﹣cos(﹣330° )+sin(﹣210° ) (2)已知 ,求 sin β﹣3sinβcosβ+4cos β 的值.
2 2 2

考点: 三角函数的化简求值;同角三角函数间的基本关系;诱导公式的作用. 专题: 计算题;三角函数的求值. 2 分析: (1)利用三角函数的诱导公式对 sin 840° +cos540° +tan225° ﹣cos(﹣330° )+sin(﹣210° )化简即可求其值; (2)利用 tanβ= ,将所求关系式的分母“1”用 sin β+cos β 替换,转换为关于 tanβ 的关系式即可.
2 解答: 解: (1)∵sin 840° +cos540° +tan225° ﹣cos(﹣330° )+sin(﹣210° ) 2 =sin 120° +cos180° +tan45° ﹣cos30° +sin150° 2 2

= ﹣1+1﹣ = ;

+

(2)∵tanβ= , ∴sin β﹣3sinβcosβ+4cos β =
2 2

=

=



点评: 本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数间的基本关系及三角函数的诱导公式,考查转化思想与 运算能力,属于中档题.

16. (10 分)已知 α 为第三象限角,



(1)化简 f(α) ; (2)若 ,求 f(α)的值.

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)直接利用诱导公式化简求解即可. (2)通过 解答: 解: (1) ,求出 sinα,然后求出 cosα,即可得到 f(α)的值.

(2)∵ ∴ 从而

又 α 为第三象限角 ∴ 即 f(α)的值为 .

点评: 本题是基础题,考查三角函数的诱导公式的应用,函数值的求法,注意角的范围的应用. 17. (10 分)设 A 是三角形的内角,且 sinA 和 cosA 是关于 x 方程 25x ﹣5ax﹣12a=0 的两个根. (1)求 a 的值; (2)求 tanA 的值. 考点: 同角三角函数间的基本关系;函数的零点. 专题: 解三角形. 分析: (1)根据一元二次方程根与系数的关系可得 ,把(1)式两边平方,花简
2

求得 a 的值.

(2)由

,且 sinA>0,cosA<0,求得 cosA、sinA 的值,即可求得 tanA 的

值. 2 解答: 解: (1)因为 sinA 和 cosA 是关于 x 方程 25x ﹣5ax﹣12a=0 的两个根,所以由韦达定理得:



把(1)式两边平方,得 当∴a=﹣25 时,不合题意,所以 a=1.

,即

,解得 a=﹣25,或 a=1.

(2)由

,且 sinA>0,cosA<0,可得







点评: 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,同角三角函数的基本关系,属于基础题.

18. (12 分)函数 得最值时的 x 的值.

,求该函数的最大值和最小值以及取

考点: 三角函数的最值. 专题: 计算题;转化思想;三角函数的图像与性质. 分析: 利用同角三角函数的基本关系式以及配方化简函数的表达式,利用换元法,结合 x 的范围,通过二次函数 的值域,求解三角函数的最值以及 x 的值. 解答: 解:函数 , 所以 f(x)=2cos x+2sinx+1=﹣2sin x+2sinx+3=﹣2(sinx﹣ ) + , 设 t=sinx,因为 ∴当 t 时,f(x)max= ,此时 x= 当 t= 时,f(x)min= ∴t 或 x= , . ,
2 2 2

,此时 x=

点评: 本题考查同角三角函数的基本关系式,二次函数的最值的应用,转化思想以及计算能力. 19. (12 分)函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位,得到 y=g(x)的图象,求直线 y= 与函数 y=f(x)+g

)的一段图象如图所示.

(x)的图象在(0,π)内所有交点的坐标.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)根据图象求出 T,A,再求出 ω,向左平移 析式; (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 出函数 y=f(x)+g(x)并且 y= 解答:

个单位长度,求出 φ,然后求函数 y=f(x)的解

个单位,得到 y=g(x)的图象,求出 g(x)的解析式,求

求方程在(0,π)内所有交点的坐标. =2,

解: (1)由题图知 A=2,T=π,于是 ω= 将 y=2sin2x 的图象向左平移 得 y=2sin(2x+φ)的图象. 于是 φ=2× = ∴f(x)=2sin(2x+ )

个单位长度,

) (2)由题意得 g(x)=2sin[2(x﹣

)+

]

=﹣2cos(2x+

故 y=f(x)+g(x)=2sin(2x+ =2 由2 sin(2x﹣ sin(2x﹣ ) )= <2x﹣ 或 2x﹣ =

)﹣2cos(2x+



,得 sin(2x﹣ <2π﹣

)=

∵0<x<π∴ ∴2x﹣ ∴x= =

或 x= , )或( , )

所求点的坐标为: (

点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查计算能力,是中档题.


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