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直线与平面所成的角

时间:2013-11-09


9.3.2 直线与平面所成的角

一、思考: 直线和平面有哪几种位置关系?
直线在平面内

直线与平面平行

想 一 想

直线与平面相交

直线与平面相交

l

l

α
直线与平面垂直

/>
α
斜交 直线与平面相交但 不垂直

二、新课:

(一)直线和平面垂直
如果一条直线和这个平面内的任意一 条直线都垂直,我们就说这条直线和这个 平面垂直。
平面的垂线

l

α
直线的垂面 垂足

记作: l ⊥α

二、新课:

(一)直线和平面垂直
如果一条直线垂直于一个平面,那么 它就和这个平面内的任意一条直线垂直。 l

l ⊥α
a ∪

α
线面垂直

a

} α

l⊥ a

? 线线垂直

平面的垂线

平面的斜线

l

l

α
垂足

α
斜足

平面的垂线

P

.
l

平面的斜线

α
垂足 斜足
斜线在平面内的射影

二、新课:

(二)直线和平面所成的角
1、斜线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角。

A

锐角

O

B

?

当直线与平面垂直时,直 线与平面所成的角是90°

?

当直线在平面内或 与平面平行时, 直线与平面所成的角 是0°

二、新课:

(二)直线和平面所成的角
2、直线与平面所成的角

? 0 , 90 ?
o o

求线面角
PB ? 1,求PA和面?所成的角。
P 2

例1 PA是平面?的斜线段,PA ? 2,PB ? ?,B为垂足,
解:连结AB,∵PB⊥? 一找垂线 ∴AB为PA在平面
1 B

?内的射影

?

A

二找射影 ? ?PAB为斜线段PA与面?所成的角 三找角 ?在Rt?PBA中, PAB ? 30? ? 四求角

即PA与面?所成的角为30 o.
结论

例2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,求A1B与 平面ABCD所成的角的大小。

变式一:A1B与平面BC1呢?
解: ? AA1 ? 平面ABCD D1 A1 C1 ∴AB是A1B在平面ABCD内的射影 B1 ∴∠A1BA是A1B与平面ABCD所成 的角 而∠A1BA=45o D A B ∴A1B与平面ABCD所成的角为45o. C

例2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,求A1B与 平面ABCD所成的角的大小。

变式一:A1B与平面BC1呢?
解: ? AA1 ? 平面ABCD D1 A1 C1 ∴AB是A1B在平面ABCD内的射影 B1 ∴∠A1BA是A1B与平面ABCD所成 的角 而∠A1BA=45o D A B ∴A1B与平面ABCD所成的角为45o. C

例2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,求A1B与 平面ABCD所成的角的大小。

变式二:BC1与平面ABCD呢?
变式三:BC1与平面CD1呢?
D1 A1 C1 B1

D A B

C

练习一:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,求A1C 与平面ABCD所成的角的正弦值。
变式一:A1C与平面BC1呢?

变式二:BD1与平面AC呢?
变式三:BD1与平面BC1呢?
D1 A1 C1 B1 A1

D1

C1

B1

D A B

C A

D B

C

练习三:如图,PA ⊥平面ABC,在△ABC中, o ∠BAC=90 ,点O为BC的中点,PA=5,BC=10,求PO 与平面ABC所成角的大小。
P 5 A

B

O 10

C

练习四:线段MN长6厘米,M到平面β的距离是1厘米, N到平面β的距离是4厘米,求MN与平面β所成角的正弦 值。 N ∠MOM'就是MN与β所成的角 N M 移出图 6 M 4 N' O 1 M' N' β O M' M M O N' 1 O M' N' 移出图 M' 6 β 4 N N

小 结
? 1、斜线与平面所成角的范围: 0o , 90o

?

?

?

? 2、直线与平面所成角的范围: 0 , 90 ?
o o

? 3、求线面角的步骤:

一找垂线

二找射影

三找角

四求角

例2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,求A1B与 平面ABCD所成的角的大小。

变式四:A1C1与平面A1D呢?
变式五:A1C1与平面CD1呢?
D1 A1 C1 B1

D A B

C

练习二:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=5, 底面是边长为2的正方体,求: (1)A1B与底面所成角 的正弦值;(2)D1B与底面所成角的余弦值。
D1 C1 D1 C1

A1

B1

A1

B1

D
A

C

D A B

C

B


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