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2017届北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(文科)试题及参考答案(word版)


海淀区高三年级第一学期期末练习

数学(文科)

2017.1

本试卷共 4 页,150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.复

数 i(2 ? i) 在复平面内对应的点的坐标为 A. ( ?2,1) B. (2, ?1) C. (1, 2) D. (?1, 2)

2.抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点到准线的距离为

1 B.1 C.2 2 +?) 上单调递增的是 3.下列函数中,既是偶函数又在区间 (0,
A.

D.3

1 A. y ? ( ) x B. y ? ? x 2 C. y ? log 2 x 2 4.已知向量 a,b 满足 a ? 2b = 0 , (a ? b) ? b ? 2 ,则 | b |?
A.

D. y ?| x | ?1

1 2

B.1

C. 2
开始
输入a, b

D. 2

5.右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入 a 的值为 16 ,b 的值为 24 , 则执行该程序框图输出的结果 为 A.6 B.7 C.8 D.9 6.在 ?ABC 中, “ A ? 30? ”是“ sin A ? A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

a?b




a?b




a ? a ?b b?b?a

1 ”的 2
输出a

结束

第1页 共4页

7.已知某四棱锥的三视图如右图所示,则该几何体的体积为
2 3 3 4 3 3 5 3 3
1 2
俯视图

2 1 1
主视图

A.

B. D.

1

3 左视图

C. 2

8.如图,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, E , F 分 别是棱 AD, B1C1 上的动点, 设 AE ? x, B1 F ? y . 若棱 .DD1 与平面 BEF 有公共点,则 x ? y 的取值范围是 A. [0,1] C. [1, 2]

D1

A1

B1

F

C1

1 3 B. [ , ] 2 2 3 D. [ , 2] 2

E A

D
B

C

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知双曲线 C : x2 ?

y2 ? 1 ,则双曲线 C 的一条渐近线的方程为________. 4

10.已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? 2, n ? N* , 且 a3 ? 3 ,则 a1 ? ____,其前 n 项和 Sn ? ____. 11. 已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2x ? 0 , 则圆心 C 的坐标为_____, 圆 C 截直线 y ? x 的弦长为____.
? 0 ? x ? 4, ? 12.已知 x, y 满足 ? 0 ? y ? 3, 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为________. ? x ? 2 y ? 8, ?

13 . 如 图 所 示 , 点 D 在 线 段 AB 上 , ?CAD ? 30? ,

?CDB ? 50? . 给出下列三组条件 (给出线段的长度) :
① AD, DB ; ② AC , DB ; ③ CD, DB . 其中,能使 ?ABC 唯一确定的条件的序号为____. (写出 所有所和要求的条件的序号)

C

A

D

B

14.已知 A、B 两所大学的专业设置都相同(专业数均不小于 2) ,数据显示,A 大学的各 专业的男女生比例均高于 B 大学的相应专业的男女生比例(男女生比例是指男生人数与 女生人数的比) . 据此, 甲同学说: “A 大学的男女生比例一定高于 B 大学的男女生比例” ; 乙同学说: “A 大学的男女生比例不一定高于 B 大学的男女生比例” ; 丙同学说: “两所大学的全体学生的男女生比例一定高于 B 大学的男女生比例” . 其中,说法正确的同学是________.

第2页 共4页

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,且 a2 ? 1 , a3 ? a4 ? 6 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?an ? n? 的前 n 项和为 Sn ,比较 S4 和 S 5 的大小,并说明理由.

16. (本小题满分 13 分)

sin 2x ? 2cos2 x . cos x π (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及 f ( ) 的值; 4 π (Ⅱ)求 f ( x) 在 (0, ) 上的单调递增区间. 2
已知函数 f ( x) ?

17. (本小题满分 13 分) 诚信是立身之本,道德之基.某校学生会创设了“诚信水站” ,既便于学生用水,又推 周实际回收水费 进诚信教育,并用“ ”表示每周“水站诚信度” .为了便于数据分析,以四 周投入成本 周为一个周期,下表为该水站连续八周(共两个周期)的诚信度数据统计,如表 1: 表1 第一个周期 第二个周期 第一周 95% 94% 第二周 98% 94% 第三周 92% 83% 第四周 88% 80%

(Ⅰ)计算表 1 中八周水站诚信度的平均数 x ; (Ⅱ)从表 1 诚信度超过 91% 的数据中,随机抽取 2 个,求至少有 1 个数据出现在第二个 周期的概率; (Ⅲ)学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落,为此学生会举行了“以 诚信为本”主题教育活动,并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据,如表 2: 表2 第三个周期 第一周 85% 第二周 92% 第三周 95% 第四周 96%

请根据提供的数据,判断该主题教育活动是否有效,并根据已有数据说明理由.

第3页 共4页

18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AB//DC, CD=2AB, AD⊥CD,E 为棱 PD 的中点. (Ⅰ)求证:CD⊥AE; (Ⅱ)求证:平面 PAB⊥平面 PAD; (Ⅲ)试判断 PB 与平面 AEC 是否平行?并说明理由.

P

E

D
A B

C

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 G :
3 x2 y 2 , 直线 l 过椭圆 G 的右顶点 A(2,0) , 且 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

交椭圆 G 于另一点 C . (Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ)若以 AC 为直径的圆经过椭圆 G 的上顶点 B ,求直线 l 的方程.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? 1 . x

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在函数 f ( x) 零点处的切线方程; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (Ⅲ) 若关于 x 的方程 f ( x) ? a 恰有两个不同的实根 x1 , x2 , 且 x1 ? x2 , 求证:x2 ? x1 ?

1 ? 1. a

第4页 共4页

海淀区高三年级第一学期期末练习

数学(文科)答案及评分标准 2017.1
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1. C 2. B 3.D 4.C 5.C 6.A 7.B 8.C

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9. y ? 2 x 或 y ? ?2 x (写出之一即可) 12.10 13.①②③ 14.乙 10. ?1, n 2 ? 2n 11. (1,0) , 2

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公比为 q , 由 a3 ? a4 ? 6 可得 a2q ? a2q ? 6
2

又 a2 ? 1 ,所以 q ? q ? 6 ,
2

解得 q ? 2 或 q ? ?3 , 因为 an ? 0 (n ? 1, 2,3,?) ,所以 所以 q ? 2 , 所以 a1 ?

an ?1 ?q?0. an

(Ⅱ)法 1:由数列 ?an ? n? 的前 n 项和 Sn 的意义可得

). 所以,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n?2 ,( n ? 1,2,3, ?

1 , 2

S5 ? S4 ? a5 ? 5 ,所以 S5 ? S4 ? 25?2 ? 5 ? 3 ? 0 ,
所以 S5 ? S4 .

1 (1 ? 2n ) n(n ? 1) 法 2: Sn ? 2 , ? 1? 2 2
所以 S 4 ? ?

5 , 2

所以 S 5 ?

1 , 2

所以 S5 ? S4 .

第1页 共5页

16. (本小题满分 13 分)

π 解: (Ⅰ)由 cos x ? 0 可得 x ? kπ ? , k ? Z , 2 ? π ? 所以 f ( x) 的定义域为 ? x x ? kπ ? , k ? Z ? . 2 ? ?
π 1?1 f( )? ?2 2 . 4 2 2 sin 2x ? 2cos2 x 2sin x cos x ? 2cos2 x π ? 2sin x ? 2 cos x ? 2 2 sin( x ? ) , (Ⅱ) f ( x) ? ? 4 cos x cos x π π 法 1:函数 y ? sin x 的增区间为 (2kπ ? ,2kπ ? ), k ? Z . 2 2 π π π 由 2kπ ? ? x ? ? 2kπ ? , k ? Z , 2 4 2 3π π 得 2kπ ? ? x ? 2kπ ? , k ? Z , 4 4 π 因为 x ? (0, ) , 2 π 所以 0 ? x ? , 4 π π 所以, f ( x) 在 (0, ) 上的单调递增区间为 (0, ) . 4 2 π π π 3π 法 2:因为 x ? (0, ) ,所以 x ? ? ( , ) . 4 4 4 2

π π 因为函数 y ? sin x 在 (? , ) 上单调递增, 2 2
所以 x ?

π π π π ? ( , ) 时, f ( x) ? 2 2 sin( x ? ) 单调递增 4 4 4 2

此时 x ? (0, ) ,

π 4

π π 所以,函数 f ( x) 在 (0, ) 上的单调递增区间为 (0, ) . 2 4
17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)八周诚信水站诚信度的平均数为 x =
95+98+92+88+94+94+83+80 =90.5% . 8 ?100 (Ⅱ) 表 1 中超过 91% 的数据共有 5 个, 其中第一个周期有 3 个, 分别记为 a1 、a 2 、a 3 ,

第二个周期有 2 个,分别记为 b1 、 b2 , 从这 5 个数据中任取 2 个共有 10 种情况: a1a2 , a1a3 , a1b1 , a1b2 , a2 a3 , a2b1 , a2b2 , a3b1 , a3b2 , b1b2 . 其中至少有 1 个数据出现在第二个周期有 7 种情况. 设至少有 1 个数据出现在第二个周期为事件 A .
第2页 共5页

则 P( A) ?

7 . 10

(Ⅲ)有效 阐述理由含如下之一 理由陈述的可能情况: ①第三个周期水站诚信度的平均数 92% 高于第二个周期的诚信度平均数 87.75% ; ②第三个周期的四周的水站诚信度相对于第二个周期的第四周诚信度而言, 呈逐步 上升趋势; ③第三个周期水站诚信度的平均数 92% 高于第一、二个周期的诚信度平均数 90.5% ; ④12 周的整体诚信度平均数为 91%,高于前两个周期的诚信度的平均数 90.5%;

18. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 PD⊥底面 ABCD,DC ? 底面 ABCD, 所以 PD⊥DC.又 AD⊥DC,AD ? PD=D, 故 CD⊥平面 PAD. 又 AE ? 平面 PAD, 所以 CD⊥AE. (Ⅱ)因为 AB//DC,CD⊥平面 PAD, 所以 AB⊥平面 PAD. 又因为 AB ? 平面 PAB, 所以平面 PAB⊥平面 PAD. (Ⅲ)PB 与平面 AEC 不平行. 假设 PB //平面 AEC, 设 BD ? AC=O,连结 OE,则平面 EAC ? 平 面 PDB ? OE ,又 PB ? 平面 PDB ----------1 分 所以 PB // OE . 所以,在 ?PDB 中有 由 E 是 PD 中点可得 因为 AB//DC, 所以

P

E

D
OB PE , ? OD ED

C O

A

B

OB PE ? ? 1 ,即 OB ? OD . OD ED

AB OB 1 ? ? ,这与 OB ? OD 矛盾, CD OD 2
第3页 共5页

所以假设错误,PB 与平面 AEC 不平行. (注:答案中标灰部分,实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件,故没写不扣分) 19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题设可得 e ? 解得 c ? 3 . 因为 a 2 ? b2 ? c 2 , 所以 b ? a 2 ? c2 ? 1 , 所以椭圆 G 的标准方程为
c 3 ? ,a ? 2 , a 2

??? ? ??? ? (Ⅱ)法 1:以 AC 为直径的圆经过点 B 等价于 BC ? BA ? 0 . ??? ? ??? ? 由题设可得 B(0,1) ,所以 BA ? ? 2, ?1? , BC ? ? xC , yC ? 1? , ??? ? ??? ? 所以 BC ? BA ? 2 xC ? yC ? 1 ? 0 .

x2 ? y2 ? 1 . 4

又 C ( xC , yC ) 在椭圆 G 上,所以 由?

xC 2 ? yC 2 ? 1 , 4

? yC ? 2 xC ? 1, 可得 17 xC 2 ? 16 xC ? 0 , 2 2 x ? 4 y ? 4 C ? C

16 , 17 16 15 所以 C (0,1) 或 C (? , ? ) , 17 17
解得 xC ? 0 或 xC ? ? 所以,直线 l 方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 或 3x ? 10 y ? 6 ? 0 . (丢一解扣一分) 法 2:由题意,直线 l 的斜率一定存在,故设直线 l 为 y ? k ? x ? 2? ,

? y ? k ( x ? 2), 由? 2 可得 1 ? 4k 2 x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 . 2 x ? 4 y ? 4 ?

?

?

? ? 0, xC xA ?

16k 2 ? 4 , 1 ? 4k 2 8k 2 ? 2 . 1 ? 4k 2

又因为 xA ? 2 ,所以 xC ?

??? ? ??? ? 由题设可得以 AC 为直径的圆经过点 B(0,1) 等价于 BC ? BA ? 0 . ??? ? ??? ? 所以 BC ? BA ? 2xC ? yC ? 1 ? 2xC ? k ( xC ? 2) ? 1 ? 0 ,



20k 2 ? 4k ? 3 ? 0. 1 ? 4k 2

1 3 解得 k ? ? 或 k ? . 2 10
所以,直线 l 方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 或 3x ? 10 y ? 6 ? 0 . (注:丢一解,总体上只扣 1 分)
第4页 共5页

20. (本小题满分 14 分)

1 解: (Ⅰ)令 f ? x ? ? 0 ,得 x ? . e

1 所以,函数 f ( x) 零点为 . e
1 ? x ? (ln x ? 1) ? ln x ln x ? 1 ? 2 , 由 f ( x) ? 得 f ?? x? ? x 2 x x x 1 所以 f ?( ) ? e2 , e

1 所以曲线 y ? f ( x) 在函数 f ( x) 零点处的切线方程为 y ? 0 ? e2 ( x ? ) , e 即 y ? e2 x ? e . ln x ? 1 (Ⅱ)由函数 f ( x) ? 得定义域为 (0, ??) . x 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 .
所以,在区间 (0,1) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (1, ??) 上, f '( x) ? 0 .

1? ,单调递减区间是 ?1, ? ?? . 故函数 f ( x) 的单调递增区间是 ? 0,
?1 ?1 (Ⅲ)由(Ⅰ)可知 f ( x) 在 (0,e ) 上 f ( x) ? 0 ,在 (e , ??) 上 f ( x) ? 0 .

由(Ⅱ)结论可知,函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 f (1) ? 1 , 所 以 , 方 程 f ( x) ? a 有 两 个 不 同 的 实 根 x1 , x2 时 , 必 有 0 ? a ? 1 , 且

e?1 ? x1 ? 1 ? x2 ,
法 1:所以 f ( ) ? a(1 ? ln a) ? a ? f ( x2 ) , 由 f ( x) 在 (1, ??) 上单调递减可知 x2 ? 所以 x2 ? x1 ?

1 a

1 , a

法 2:由 f ? x ? ? a 可得 ln x ? 1 ? ax ,两个方程同解.

1 ?1 . a

1 1 ? ax , ?a ? x x 1 当 0 ? a ? 1 时,由 g ? ? x ? ? 0 得 x ? , a 所以 g ( x), g '( x) 在区间 (0, ??) 上的情况如下:
设 g ( x) ? ln x ? 1 ? ax ,则 g ?( x) ?

x
g '( x) g ( x)
所以 x1 ?

1 (0, ) a ?
?

1 a
0 极小

1 ( , ??) a ?
?

1 1 , x2 ? , a a
第5页 共5页

所以 x2 ? x1 ?

1 ? 1. a

第6页 共5页


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