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2008年广州市高二数学竞赛试卷


2008 年广州市高二数学竞赛试卷
题 得 号 分 一 二 (11) (12) 三 (13) (14) (15) 合 计

评卷员

考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; ⒉不准使用计算器; ⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分.
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.在每小题给出的

四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内. 1.若集合 a, a 2 ? a 有 4 个子集,则实数 a 的取值范围是( ) A. ?0, 2? C. a a ? 2, a ?R B. a a ? 0, a ?R

?

?

?

? ?

?

?

D. a a ? 0 且 a ? 2, a ? R

?

2 已知函数 f ?x ? ? ? A. ? 0.5

?1 ? x 2 , 0 ? x ? 1, 则 f [ f (?0.5)] 等于( 2x , ? 1 ? x ? 0. ?
B. ? 1 C. 0.5 D. 1

)

3.在空间直角坐标系 O ? xyz 中,点 A、B、C、D 的坐标分别为 A ?1 0,0? 、 ,

B ?0,2,0? 、 C ?2,4,0? 、 D?? 1 2, ? 2? ,则三棱锥 A ? BCD 的体积是( ) ,
A.2 B.3
2

C.6
2

D.10

4. 已知直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ?

1 (a, b ? R ) 有交点, 则 5

a 2 ? b 2 ? 2a ? 2b ? 1 的最小值是 (
A.

) C.

1 5

B.

4 5

9 5

D.

14 5

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.把答案填在题中横线上. 5. △ ABC 的 三 个 内 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c , . 若

a ? 4,b ? 2,A ? 60? , 则 cos C ?

6.已知直角梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A?a, 1?, B?2, 0?, C ?3, 1?, D?1, 3? ,

则实数 a 的值是

.

7. 在数列 {an } 中, a1 =2, an ? an?1 ? 1(n ? N * ) ,设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和,则

S30 ? 2S29 ? S28 的值为

.

8.已知 A、B、C 三点在同一条直线 l 上,O 为直线 l 外一点,若 pOA ? qOB ? rOC ? 0,

p, q, r ? R,则 p ? q ? r ?

.

9.一个非负整数的有序数对 (m, n) ,如果在做 m ? n 的加法时不用进位,则称 (m, n) 为“奥 运数对” m ? n 称为“奥运数对” (m, n) 的和,则和为 2008 的“奥运数对”的个数有 , 10.如图 1 所示, 函数 y ? f ?x ? 的图象是圆心在点 ?1, 0? ,半径为 1 的两段 圆弧, 则不等式 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ? x 的解集是 .
O 1 2 x

___________个.

y

三、解答题:本大题共 5 小题,共 90 分.要求写出解答过程. 图1 11. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? a sin ? x ? b cos ? x ( a, b ?R, ? ? 0 )的部分图象如图 2 所示. (1) 求 a, b, ? 的值; (2)若关于 x 的方程 3 ? f ( x) ? ? f ( x) ? m ? 0 在 x ? ( ?
2

? 2?
3 , 3

) 内有解,求实数 m 的取值

范围.

y
2? 3 7? 6

O

x

?1

图2

12. (本小题满分 15 分) 如图 3 所示, 在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, AA1 ? 底面 ABC , AC ? BC,

AC ? BC ? CC1 ? 2 .
(1)若点 D、E、F 分别为棱 CC1、C1 B1、CA 的中点,求证: EF ? 平面 A1 BD ;

(2) 请根据下列要求设计切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的某一 条侧棱的平面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体. 简单地写出 一种切割和拼接方法,
C1

并写出拼接后的长方体的表面积(不必计算过程).
B1

E A1 D

C F B A

图3

13. (本小题满分 20 分) 已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是椭圆 L :

x2 y 2 ? ? 1 上不同的两点,线段 AB 的中点为 18 9

M (2, 1) .
(1)求直线 AB 的方程; (2)若线段 AB 的垂直平分线与椭圆 L 交于点 C 、 D ,试问四点 A 、 B 、 C 、 D 是否在 同一个圆 上,若是,求出该圆的方程;若不是,请说明理由.

14. (本小题满分 20 分) 已知在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2n?1 ? qa2n?1 ? d ( d ?R, q ?R 且 q ?0, n ?N ).
*

(1)若数列 {a2 n ?1} 是等比数列,求 q 与 d 满足的条件; (2)当 d ? 0 , q ? 2 时,一个质点在平面直角坐标系内运动,从坐标原点出发,第 1 次向右运动, 2 次向上运动, 3 次向左运动, 4 次向下运动, 第 第 第 以后依次按向右、 向上、向左、向下的方向交替地运动,设第 n 次运动的位移是 an ,第 n 次运动后, 质点到达点 P ( xn , yn ) ,求数列 ?n ? x4n ?的前 n 项和 S n . n

15.(本小题满分 20 分) 已知函数 f ?x? ? ln x ? ax2 ? bx(a, b ?R,且 a ? 0) . (1)当 b ? 2 时,若函数 f ?x ? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (2)当 a ? 0 且 2a ? b ? 1 时,讨论函数 f ?x ? 的零点个数.

2008 年广州市高二数学竞赛参考答案
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分. 1.D 2.C 3.A 4.B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. 5.

3 ? 13 8

6. ? 1

7. ? 3

8.0

9.27

10. ?0,1? ? ? ,2? 5

?8 ? ? ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 90 分.要求写出解答过程. 11. (本小题满分 15 分) 解:(1) 由图象可知函数 f ( x ) 的周期为 T ? 4 ( ∴? ?

? 2? ? ? 7? ? ? 函数 f ( x) 的图象过点 ? , 0 ?, ? , ? 1? , ? 3 ?? 6 ? 7? 2? ) ? 0 且 f ( ) ? ?1 . ∴ f( 6 3
? 3 1 a ? b ? 0, ? ? 2 2 ∴? ?? 1 a ? 3 b ? ?1. ? 2 ? 2

2? 2? ? ? 1. T 2?

7 2? ? ? )= 2? , 6 3

1 3 . ,b ? 2 2 1 3 ∴ ? ? 1, a ? , b ? . 2 2 ? 1 3 (2)由(1)得 f ( x) ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) . 3 2 2 ? ?? ? 2? ? ? ? 当 x ??? , ? 时, x ? ? ?0, ? ? ,得 0 ? sin? x ? ? ? 1 . 3 3? ? ? 3 3 ?
解得: a ? 令 t ? f ?x ? ? sin? x ?

? ?

??
2

? ,则 0 ? t ? 1 . 3?

故关于 x 的方程 3 ? f ( x) ? ? f ( x) ? m ? 0 在 x ? ( ?

? 2?
3
2

,

3t 2 ? t ? m ? 0 在 t ? ?0, 1? 上有解.
2

3

) 内有解等价于关于 t 的方程

1 ? 1? 由 3t ? t ? m ? 0 ,得 m ? ?3t ? t ? ?3? t ? ? ? . ? 6 ? 12 ? t ? ?0, 1? , 1? ? ∴ m ? ?? 2, . 12? ? ?
2

∴实数 m 的取值范围是 ?? 2, 12. (本小题满分 15 分)

? ?

1? . 12 ? ?

(1)证法一:以点 C 为原点,分别以 CB、CA、CC1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建 立空间直角坐标系 C ? xyz ,依题意得 B?2, 0, 0? D?0,0,1? A1 ?0,2,2? 、 、 、
z C1 E B1 D A1

E?1 0,2?、F ?0,1 0? . , ,
∴ EF ?

?? 1,1, ? 2? , BD ? ?? 2,0,1? , A1 D ? ?0,? 2,? 1? .

? EF ? BD ? ?? 1?? ?? 2? ? 1? 0 ? ?? 2??1 ? 0, EF ? A1 D ? ?? 1?? 0 ? 1? ?? 2? ? ?? 2?? ?? 1? ? 0,
x B

C F A y

∴ EF ? BD EF ? A1 D . , ∴ EF ? BD,EF ? A1 D .

? BD ? 平面 A1 BD , A1 D ? 平面 A1 BD , BD ? A1 D ? D .
∴ EF ? 平面 A1 BD . 证法二:连结 C1 F ,

? AA1 ? 底面 ABC , AC ? 平面 ABC ,
∴ AA1 ? AC .

? AC ? CC1 ? 2 , D、F 分别为棱 CC1、CA 的中点,
∴ CF ? DC1 ? 1, A1C1 ? CC1 ? 2 .
C1

? ?C1CF ? ?A1C1 D ? 90 ,
B1

?

E A1 D

∴Rt△ C1CF ? Rt△ A1C1 D . ∴ ?CC1 F ? ?DA1C1 .

C F B A

? ?DA1C1 ? ?A1 DC1 ? 90? ,
∴ ?DC1 F ? ?A1 DC1 ? 90 . ∴ A1 D ? C1 F .
?

? AC ? BC,
∴ A1C1 ? B1C1 ,

? B1C1 ? AA1 , AA1 ? A1C1 ? A1 ,
∴ B1C1 ? 平面 AA CC1 . 1 ∴ B1C1 ? A1 D .

? B1C1 ? C1 F ? C1 ,
∴ A1 D ? 平面 C1 FE .

? EF ? 平面 C1 FE ,
∴ EF ? A1 D . 同理可证 EF ? BD .

? A1 D ? BD ? D ,
∴ EF ? 平面 A1 BD .

(2) 切割拼接方法一: 如图甲所示, 分别以 C1 B1、A1 B1、AB、CB 的中点 E、G、M、N 所确定的平面为截面,把三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 切开后的两个几何体再拼接成一个 长方体(该长方体的一个底面为长方形 C1 EE A1 如图①所示,,此时所拼接成的长 ) 方体的表面积为 16.
C1 E B1 G A1
'

C1 E

C N B M

G E'

A1

图甲

A

图①

切割拼接方法二: 如图乙所示, A1 B1、AB 的中点分别为 M、N , 设 以四点 C1、M、N、C 所确定的平面为截面,把三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 切开后的两个几何体再拼接成一个长方体

(该长方体的一个底面为正方形 C1 MA1 M ' ) ,此时所拼接成的长方体的表面积为 4 ? 8 2 .
C1

B1

A1 M
C1 M'

C

B

N

A

B1

M

A1 (B 1)

图乙 13. (本小题满分 20 分) 解一: (1)? 点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是椭圆 L 上不同的两点,

图②



x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 . 18 9 18 9
2 2 x12 ? x2 y12 ? y2 ? ?0, 18 9

以上两式相减得:

2 2 即 x12 ? x2 ? 2( y12 ? y2 ) ? 0 , ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ,

∵线段 AB 的中点为 M (2, 1) , ∴ x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ? 2 . ∴ 4( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 , 当 x1 ? x2 ,由上式知, y1 ? y2 则 A, B 重合,与已知矛盾,因此 x1 ? x2 , ∴

y1 ? y2 ? ?1 . x1 ? x2

∴直线 AB 的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 2) ,即 x ? y ? 3 ? 0 .

? x ? y ? 3 ? 0, ? 2 由 ? x2 消去 y ,得 3x ? 12x ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 4 . y2 ? 18 ? 9 ? 1. ?
∴所求直线 AB 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 . 解二: 当直线 AB 的不存在时, AB 的中点在 x 轴上, 不符合题意. 故可设直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ?x ? 2? , A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? .

, ? y ? 1 ? k ?x ? 2? ? 2 2 由?x 消去 y ,得 1 ? 2k 2 x 2 ? 8k 2 ? 4k x ? 8 k 2 ? k ? 2 ? 0 y ? ? 1. ? 18 9 ?

?

?

?

?

?

?

(*)

? x1 ? x 2 ?

8k 2 ? 4k . 1 ? 2k 2

? AB 的中点为 M ?2,1? ,
? x1 ? x2 ? 4 .
? 8k 2 ? 4k ? 4. 1 ? 2k 2

解得 k ? ?1 .
2 此时方程(*)为 3x ? 12x ? 0 ,其判别式 ? ? 144 ? 0 .

∴所求直线 AB 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 . (2)由于直线 AB 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 , 则线段 AB 的垂直平分线 CD 的方程为 y ? 1 ? x ? 2 ,即 x ? y ? 1 ? 0 .

? x ? y ? 3 ? 0, ? 由 ? x2 得 A?0,3?, B?4,?1?. , y2 ? ? 18 9 ? 1, ? ? x ? y ? 1 ? 0, ? 2 消去 y 得 3x ? 4 x ? 16 ? 0 ,设 C ?x1 , y1 ?, D?x2 , y 2 ?. y2 ? ? 1, ? 18 9 ?
4 16 , x1 x2 ? ? . 3 3

由 ? x2

则 x1 ? x2 ?

∴线段 CD 的中点 E 的横坐标为 xE ? ∴E ?

x1 ? x2 2 1 ? ,纵坐标 y E ? x E ? 1 ? ? . 2 3 3

? 2 1? ,? ?. ? 3 3?

∴ CD ?

? ?1 ? 1??x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2 ? ?
2 2

?? 4 ? 2 ? 16 ?? 4 26 . 2?? ? ? 4 ? ? ? ?? ? 3 ?3? ? 3 ?? ? ? ?

2 26 1 ?2? ? 1 ? ? CD , ∵ EA ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 2 3 ?3? ? 3 ?

2 26 1 ?2 ? ? 1 ? ? CD , EB ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 3 ? ? 2 3 ?3 ? ? 3 ?
∴四点 A 、 B 、 C 、 D 在同一个圆上,此圆的圆心为点 E ,半径为

2

2

2 26 , 3

2? ? 1 ? 104 ? 其方程为 ? x ? ? ? ? y ? ? ? . 3? ? 3? 9 ?
14. (本小题满分 20 分) 解:(1)? a1 ? 1 , a2n?1 ? qa2n?1 ? d , q ?0, ① 当 d ? 0 时, a2n?1 ? qa2n?1 ,显然 {a2 n?1} 是等比数列; ② 当 d ? 0 时, a3 ? qa1 ? d ? q ? d , a5 ? qa3 ? d ? q?q ? d ? ? d .

2

2

? 数列 {a2n?1} 是等比数列,
2 ∴ a3 ? a1a5 ,即 ?q ? d ? ? q?q ? d ? ? d ,化简得 q ? d ? 1. 2

此时有 a2n?1 ? qa2n?1 ? 1 ? q ,得 a2n?1 ? 1 ? q?a2n?1 ? 1?, 由 a1 ? 1 , q ?0, 得 a2 n?1 ? 1 ( n ?N ),则数列 {a2 n?1} 是等比数列.
*

综上, q 与 d 满足的条件为 d ? 0(q ? 0) 或 q ? d ? 1( q ? 0, d ? 0 ). (2)当 d ? 0 , q ? 2 时, ∵ a2n?1 ? 2a2n?1 , ∴ a2n?1 ? a1 ? 2n?1 ? 2n?1 , 依题意得: x4 ? a1 ? a3 ? 1 ? 2 , x8 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ,?, ∴ x4 n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 2 n ?2

?2

2 n ?1

1 ? (?2)2 n 1 ? 22 n 1 ? 22 n . ? ? ? 1 ? (?2) 1? 2 3

∴ 1 ? 3x4n ? 22n . ∴ x4n ?

1 ? 2 2n . 3

∴ S n ? x4 ? 2x8 ? 3x12 ? ? ? ? ? ?n ? 1? ? x4( n?1) ? n ? x4n

1 ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ? ? 1 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 4 ? 3 ? 2 6 ? ? ? ? ? n ? 2 2 n 3 3 n?n ? 1? 1 ? ? 1? 2 2 ? 2 ? 2 4 ? 3 ? 2 6 ? ? ? ? ? n ? 2 2n . 6 3 ?

?

?

?

?

令 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? ?n ? 1? ? 2
2 4 6

2( n?1)

? n ? 2 2n



4Tn ? 1? 2 4 ? 2 ? 26 ? 3 ? 28 ? ? ? ? ? ?n ? 1? ? 2 2n ? n ? 2 2n?2
①-②得 ? 3Tn ? 1? 2 2 ? 2 4 ? 26 ? ? ? ? ? 2 2n ? n ? 2 2n?2



?

4 2 2 1 ? 2 2n ? n ? 2 2 n ? 2 ? ?2 2 n ? 1? ? n ? 2 2 n ? 2 . 3 1? 4

?

?

∴ Tn ?

4 n ? 2 2 n ? 2 4 ?3n ? 1? ? 2 2 n ? 2 1 ? 2 2n ? ? ? . 9 3 9 9

?

?

∴ Sn ?

n?n ? 1? 4 ?3n ? 1? ? 2 2 n ? 2 ? ? . 6 27 27

15. (本小题满分 20 分)
2 解: (1)当 b ? 2 时,函数 f ?x ? ? ln x ? ax ? 2 x ,其定义域是 ?0, ? ? ?,

∴f

'

?x ? ? 1 ? 2ax ? 2 ? ? 2ax
x

2

? 2x ? 1 . x

? 函数 f ?x ? 存在单调递减区间,
∴ f ?x ? ? ?
'

2ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? ?0, ? ?? 上有无穷多个解. x
2

∴关于 x 的不等式 2ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? ?0, ? ?? 上有无穷多个解.
2 ① 当 a ? 0 时,函数 y ? 2ax ? 2 x ? 1 的图象为开口向上的抛物线,

关于 x 的不等式 2ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? ?0, ? ?? 上总有无穷多个解.
2

2 ② 当 a ? 0 时,函数 y ? 2ax ? 2 x ? 1的图象为开口向下的抛物线,其对称轴为

1 ? 0 .要使关于 x 的不等式 2ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? ?0, ? ?? 上有无穷多个解. a 必须 ? ? 4 ? 8a ? 0 , 1 1 解得 a ? ? ,此时 ? ? a ? 0 . 2 2 1 综上所述, a 的取值范围为 (? , 0) ? ? 0, ? ? ? . 2 x??
另解:分离系数:不等式 2ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? ?0, ? ?? 上有无穷多个解,
2

则关于 x 的不等式 2a ?

1? 2x 1 ? ( ? 1) 2 ? 1 在 x ? ?0, ? ?? 上有无穷多个解, 2 x x

1 ,而 a ? 0 . 2 1 ∴ a 的取值范围为 (? , 0) ? ? 0, ? ? ? . 2
∴ 2a ? ?1 ,即 a ? ? (2)当 b ? 1 ? 2a 时,函数 f ?x ? ? ln x ? ax2 ? ?1 ? 2a ? x ,其定义域是 ?0, ? ? ?,
'

∴f

? x? ?

1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 ? 2ax ? ?1 ? 2a ? ? ? . x x

2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 ? 0 ,即 2ax2 ? (1 ? 2a) x ?1 ? 0 , 令 f ?x? ? 0 ,得 x
'

( x ? 1)(2ax ? 1) ? 0 ,
? x ? 0 , a ? 0 ,则 2ax ? 1 ? 0 , ∴ x ?1
当 0 ? x ? 1 时, f ' ?x? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ' ?x? ? 0 . ∴函数 f ?x ? 在区间 ? 0, 1? 上单调递增,在区间 ?1, ?? ? 上单调递减. ∴当 x ? 1 时,函数 f ?x ? 取得最大值,其值为 f ?1? ? ln1 ? a ? b ? ?a ?1 ? 2a ? a ?1. ① 当 a ? 1 时, f ?1? ? 0 ,若 x ? 1 , 则 f ?x ? ? f ?1? , 即 f ?x ? ? 0 . 此时,函数 f ?x ? 与 x 轴只有一个交点,故函数 f ?x ? 只有一个零点; ② 当
2

a ?1




2

f ?1? ? 0





1 1 1 ?1? ?1? ?1 ? f ? a ? ? ln a ? a ? ? a ? ? ?1 ? 2a ? ? a ? ?a? a ? 1? ? a ? 0 , e e ?e ? ?e ? ?e ? e
f ?e? ? ln e ? ae2 ? ?1 ? 2a?e ? 1 ? ae?e ? 2? ? e ? 0 ,
函数 f ?x ? 与 x 轴有两个交点,故函数 f ?x ? 有两个零点; ③ 当 0 ? a ? 1 时, f ?1? ? 0 ,函数 f ?x ? 与 x 轴没有交点,故函数 f ?x ? 没有零点.


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