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数列的基本性质

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数列的基本性质

知能目标
1. 理解数列的概念, 了解数列通项公式的意义. 了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根 据递推公式写出数列的前几项. 2. 理解等差数列, 等比数列的概念, 掌握等差数列, 等比数列的通项公式与前 n 项和公式, 并 能解决简单的问题.

综合脉络
1. 知识网络

2. 几点说明 (1) 等差数列(等比数列)定义中, 特别注意公差 (或公比) 与项的差 (或比) 的顺序不能颠倒, 即 d ? a n ? a n ?1 ( 或 q ?

an ) a n ?1
a?b ; 若 G 是 a、b 的等比中项, 2

(2) 等差中项与等比中项. 若 A 是 a、b 的等差中项, 则 A ?
2

则 G ? a ? b(a ? b ? 0) , 从而任意两个数都有惟一一个等差中项, 而只有任意两个同号的数 才有等比中项, 且都有正负两个. 对于任一个等差数列 {a n } 若 m ? n ? 2p 则 a p 是 a m 与 a n

am ? an ; 对于任一个等比数列 {a n } 若 m ? n ? 2p 则 a p 是 a m 与 a n 的 2 2 等比中项, 即 a p ? a m ? a n .
的等差中项, 即 a p ? (3) 证明一个数列 {a n } 是等差(或等比)数列的方法有: ① 定义法: 证明对任意正整 n 均有 a n ?1 ? a n ? d
1

② 中项法: 对于一个数列, 除了首项和末项(有穷数列)外, 任何一项都是它的前后两项的等

a n ?1 ? a n ?1 (或 a 2 ? a n ?1 ? a n ?1 ) 对满足题意的 n 均成立; n 2 ③ 通项公式法: 证明数列通项公式均能表示成 a n ? a 1 ? (n ? 1)d (或 a n ? a1 ? q n ?1 )的形式 (其中 q ? 0 ).
差中项(或等比中项), 即证 a n ? (4) 数列是高考必考内容, 没年一道选择题或一道填空题, 一道大题, 前者以考查性质为主, 后者是一道思维能力要求较高的综合题. 2000 年便有一道考查等比数列的概念和基本性质、 推 理和运算能力的综合题, 其特点是“可以下手, 逻辑思维能力要求较高, 不易得满分”.01、 02、03、04、05 五年的高考(包括春考)题中均有对数列概念和性质的判断、推理及应用问题. 应注意这种命题趋势. 预测 2006 年关于数列部分, 仍然是难易结合, 有基本题型, 综合题型, 应用题型; 有个别题型将会有新意: 把数列知识和生活、 经济、 环保等紧密结合起来; 还会 出现有创意的应用型题目. (一) 典型例题讲解: 例 1.已知钝角三角形的三边长成等差数列, 公差 d=1, 其最大角不超过 120°, 则最小边的 取值范围是 . 例 2.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 3n ? 2n ? 2 .取数列 {a n } 的第 1 项, 第 3 项, 第 5 项??
2

构造一个新数列 {b n } , 求数列 {b n } 的通项公式. 例 3. 已知 {a n } 是公比为 q 的等比数列,且 a 1 , a 3 , a 2 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)设 {b n } 是以 2 为首项,q 为公差的等差数列, 其前 n 项和为 Sn , 当 n ? 2 时, 比较

Sn 与 b n 的大小, 并说明理由.
(二) 专题测试与练习: 一. 选择题 1. 在项数为 2n+1 的等差数列中, 所有奇数项和与所有偶数项和之比为

(

)

n D. n ?1 (a 1 ? a 2 ) 2 2. 已知 x , y 为正实数, 且 x、a1、a2、y 成等差数列, x、b1、b2、y 成等比数列, 则 b1 b 2
的取值范围是 A. R B.

2n ? 1 A. 2n

2n B. 2n ? 1

n ?1 C. n

(0, 4]

C. [4, ? ?)

( ) D. (??, 0] ? [4, ? ?) ( )
n ?1

3. 数列 {a n } 是公差不为零的等差数列, 且 a 7 , a 10 , a 15 是某等比数列 {b n } 的连续三项, 若

{a n } 的首项为 b1=3, 则 b n 是 5 n ?1 5 n ?1 A. 3 ? ( ) B. 3 ? ( ) 3 8

C. 3 ? ( ? )

5 3

n ?1

D. 3 ? ( ) (

2 3

4. 已知 a、b、c、d 均为非零实数, 则 ad ? bc 是 a, b, c, d 依次成为等比数列的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在等比数列 {a n } 中, 若 a 3 、 a 7 是方程 3x ? 11x ? 9 ? 0 的两根, 则 a5 的值为
2

)

( D. ± 3 (

)

A. 3 A. a 1 ? a 8 ? a 4 ? a 5 C. a 1 ? a 8 ? a 4 ? a 5 二. 填空题

B. ±3

C.

3

6. 如果数列 {a n } 是等差数列, 则 B. a 1 ? a 8 ? a 4 ? a 5 D. a 1 ? a 8 ? a 4 ? a 5

)

2

7. 等差数列 {a n } 中, a 1 ? a 2 ? a 3 ? 9 , a 1 ? a 2 ? a 3 ? 15 , 则 a1=

, a n=

. .

8. 设数列 {a n } 是公比为整数的等比数列, 如果 a 1 ? a 4 ? 18 , a 2 ? a 3 ? 12 , 那么 S 8=

15 , S 4 ? ?5 , 则 a 4 = 2 10. 已知等差数列 {a n } , a 2 ? a 3 ? a 7 ? a 11 ? a 12 ? 45, 则S13 ?
9. 等比数列 {a n } 中, a 1 ? a 5 ? ? 三. 解答题

. .

1 3 15 , a k ? , S k ? ? , 求 a1 和 k 2 2 2 n?2 12. 数列 {a n } 的前 n 项和记为 Sn , 已知 a 1 ? 1 , a n ?1 ? Sn (n ? 1,2,3,?) n S 证明: (1)数列 { n } 是等比数列;(2) Sn ?1 ? 4a n . n
11. 已知等差数列 {a n } 中, d ? 13. 等比数列同时满足下列三个条件: (1) a 1 ? a 6 ? 11 (2) a 3 ? a 4 ?

32 9

(3)三个数

2 4 2 a 2 , a 3 , a 4 ? 成等差数列. 试求数列 3 9

{a n } 的通项公式.
数列的基本性质解答
(一) 典型例题

5 a ? [ ,4). 2 例 2 ?Sn ? 3n 2 ? 2n ? 2 ? a n ? Sn ? Sn ?1 ? 6n ? 5, a 1 ? S1 ? 3 ?3, n ? 1 ?a n ? ? ?6n ? 5, n ? 2 a1 ? 3, a 2 ? 13, a 5 ? 25, a 7 ? 37,??, a 2n ?1 ? 6(2n ? 1) ? 5 ? 12n ? 11
例1

?3, n ? 1 ? bn ? ? ?12n ? 11, n ? 2 例 3 (1) 由题设 2a 3 ? a1 ? a 2 ,即2a1q 2 ? a1 ? a1q, ? a 1 ? 0,? 2q 2 ? q ? 1 ? 0. 1 ? q ? 1或 ? . 2 n (n ? 1) n 2 ? 3n ?1 ? . (2) 若 q ? 1, 则S n ? 2n ? 2 2 (n ? 1)( n ? 2) ? 0. 故 Sn ? b n . 当 n ? 2时, S n ? b n ? S n ?1 ? 2 1 n (n ? 1) 1 ? n 2 ? 9n (? ) ? . 若 q ? ? , 则S n ? 2n ? 2 2 2 4 (n ? 1)( n ? 10) , 当 n ? 2时, S n ? b n ? S n ?1 ? ? 4 故对于 n ? N ? ,当2 ? n ? 9时, Sn ? b n ;当n ? 10 , Sn ? b n ;当n ? 11 , Sn ? b n . 时 时
(二) 专题测试与练习 一. 选择题 题号 1 2 3 4 5 6

3

答案

C

C

A

B

C

B

二. 填空题 7. 1或5 , 2n ? 1或 ? 2n ? 7; 三. 解答题 11. 解: a k ? a 1 ? (k ? 1)d ? 8. 510 ; 9. 1 ; 10. 117 .

3 1 k ? a 1 ? (k ? 1) ? a 1 ? 2 ? 2 2 2

a1 ? a k 15 k ? ? ? k 2 ? 7k ? 30 ? 0 ? k ? 10.k ? ?3 (舍去), a 1 ? ?3 2 2 n?2 S n (n ? 1,2,3, ?), 12. 解: 证(1)由 a 1 ? 1, a n ?1 ? n S2 S 2 4a 1 S1 2 ?1 知a2 ? S1 ? 3a 1 , ? ? 2, ? 1 ? 2 ? 2. S1 1 2 2 1 1 又 a n ?1 ? Sn ?1 ? Sn (n ? 1,2,3,?) , S n ?1 n?2 S n (n ? 1,2,3, ?), ∴nSn ?1 ? 2(n ? 1)Sn , n ? 1 ? 2(1,2,3,?). 则 S n ?1 ? S n ? Sn n n Sn 故数列 { } 是首项为 1, 公比为 2 的等比数列. n S n ?1 S S ? 4 ? n ?1 (n ? 2) , 于是 S n ?1 ? 4(n ? 1) ? n ?1 ? 4a n (n ? 2) 证(2) 由(I)知, n ?1 n ?1 n ?1 又 a 2 ? 3S1 ? 3, ,则 S2 ? a 1 ? a 2 ? 4 ? 4a 1 , 因此对于任意正整数 n ? 1 都有 Sn ?1 ? 4a n . Sk ?

1 32 ? ? ?a 1 ? 3 ?a 1 ? 3 ? ?a 1 ? a 6 ? 61 ? 32 ? 1 ? ? 13. 解: a 1 ? a 6 ? a 3 ? a 4 , ? 或 ?a 6 ? 32 ? ?a 6 ? 3 ? 3 ?a 1 ? a 6 ? 9 ? ? 1 ?q ? 2 ? ? ?q ? 2 ? ? 2 4 2 4 2 2 又? a 2 , a 3 , a 4 ? 成等差数列,? 2a 3 ? a 2 ? a 4 ? …………① 3 9 3 9 1 2 4 8 当 a 1 ? 时, a 2 ? a 1q ? ? a 3 ? , a 4 ? 代入① 3 3 3 3 4 2 2 8 4 1 ? 2( ) 2 ? ? ? ? (成立), ? a n ? a 1q n ?1 ? ? 2 n ?1. 3 3 3 3 9 3 32 ? ?a 1 ? 3 ? 当? 时, 不成立. ?q ? 1 ? 2 ?

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