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《名师伴你行》2016级数学一轮复习 第九章 直线与圆锥曲线的位置关系


名师伴你行
2016级高考数学一轮复习课件

§9.8

直线与圆锥曲线的位置关系

[高考调研 明确考向] 考 纲 解 读 考 情 分 析

?直线与圆锥曲线的位置关 系、弦长问题、中点弦、最 值范围、 定点定值的探索与 ?掌握与圆锥曲线有关的最 证明是命题的热点. 值、 定值、 参数

范围等问题. ?题型以解答题为主,注重 数学思想与方法的考查. 难 度较大.

知识梳理 1.直线与圆锥曲线的位置关系 1 ____________,□ 2 (1)从几何角度看,可分为三类:□ 3 ____________. __________________及有两个□

(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲 线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断. 设直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为 f(x,y)=0.
? ?Ax+By+C=0, 由? ? ?f?x,y?=0,

消元.

(如消去 y)得 ax2+bx+c=0.

4 ______,当圆锥曲线是双曲线时,直线 l 与双曲 ①若□ 线的渐近线平行; 当圆锥曲线是抛物线时, 直线 l 与抛物线的 对称轴平行(或重合). ②若 a≠0,设 Δ=b2-4ac. 5 ______时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; a.当□ 6 ______时,直线和圆锥曲线相切于一点; b.当□ 7 ______时,直线和圆锥曲线没有公共点. c.当□

2.直线与圆锥曲线相交时的弦长公式 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2),则所得弦长: |P1P2|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 1+k2· |x1-x2| = 1 ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2] k

8 __________________________. =□

(2)斜率不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用坐标 轴上两点间距离公式).

3.弦中点问题 遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法” 求解.

x2 y2 在椭圆a2+b2=1 中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的
2 2 x y 9 ________________;在双曲线 2- 2=1 中,以 斜率 k=□ a b

10 __________;在 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 k=□ 抛物线 y2=2px(p>0)中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的 11 ________________.在使用根与系数关系时, 斜率□ 要注意使 用条件是 Δ≥0.

1 无公共点 答案: □ 共点

2 仅有一个公共点 □ 3 相异的公 □

4 a=0 □ 5 Δ>0 □ 6 Δ=0 □ 7 Δ<0 □ 8 □
2 b x0 10 □a2y0

2 1 b x0 9 1+k2|y1-y2| □-a2y 0

p 11 □k=y0

名 师 微 博 ●一种方法 点差法:在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲 线相交和被截的线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的 两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线 的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题 型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直 平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要 考虑判别式 Δ 是否为正数.

●一条规律 “联立方程求交点,根与系数的关系求弦长,根的分布 找范围,曲线定义不能忘”.

基 础 自 测 x2 y2 1.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为( 9 4 A.相交 C.相离 B.相切 D.不确定 )

解析:由于直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 过定点(1,1), (1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.

答案:A

2.若不论 k 为何值,直线 y=k(x-2)+b 与曲线 x2-y2 =1 总有公共点,则 b 的取值范围是( A.(- 3, 3) C.(-2,2) B.[- 3, 3] D.[-2,2] )

解析:直线过(2,b)点,∵x=2 时,y2=x2-1=3, ∴y=± 3.∴b∈[- 3, 3].

答案:B

3.直线 y=x+1 截抛物线 y2=2px 所得弦长为 2 6,此 抛物线方程为( A.y2=-2x ) B.y2=6x

C.y2=-2x 或 y2=6x D.以上都不对

? ?y=x+1, 解析:由? 2 ? ?y =2px

得 x2+(2-2p)x+1=0.

x1+x2=2p-2,x1x2=1. ∴2 6= 1+12· ?x1+x2?2-4x1x2 = 2· ?2p-2?2-4. 解得 p=-1 或 p=3, ∴抛物线方程为 y2=-2x 或 y2=6x.
答案:C

4.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A、B 两点,若 a 过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30° ,则 的值为 b ( ) 3 A. 4 3 B. 3 3 C. 2 D. 3

解析:设 AB 的中点为 M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2, y2), y1-y2 ax0 由点差法得 =- =-1, by0 x1-x2 ax0 y0 3 a 3 所以 =1.又 =tan30° = ,所以 = . by0 x0 3 b 3

答案:B

x2 y2 5.椭圆 4 + 2 =1 中过点 P(1,1)的弦恰好被 P 点平分,则 此弦所在直线的方程是__________.

解析:设弦的两个端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),代 入椭圆方程并作差得 1 1 (x +x )(x -x )+ (y +y )(y -y )=0. 4 1 2 1 2 2 1 2 1 2 y1-y2 1 又 x1+x2=2,y1+y2=2,代入得 =-2. x1-x2 1 故所求直线方程为 y-1=- (x-1),即 x+2y-3=0. 2

答案:x+2y-3=0

考点一

直线与圆锥曲线的位置关系

[例 1]

(2012· 合肥模拟)设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于

点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率 的取值范围是(
? 1 1? A.?-2,2? ? ?

) B.[-2,2] D.[-4,4]

C.[-1,1]

解析:由题意得 Q(-2,0).设 l 的方程为 y=k(x+2),代 入 y2=8x 得 k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,∴当 k=0 时,直线 l 与抛物线恒有一个交点; 当 k≠0 时, Δ=16(k2-2)2-16k4≥0, 即 k2≤1,∴-1≤k≤1,且 k≠0,综上-1≤k≤1.

答案:C

方法点睛

研究直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化

为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数, 但对于选择题、填空题,常充分利用几何条件,利用数形结 合的方法求解.

变式训练 1

若直线 mx+ny=4 与⊙O:x2+y2=4 没有

x2 y2 交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 + =1 的交点个数是 9 4 ( ) A.至多为 1 C.1 B.2 D.0

4 2 2 解析:由题意知: 2 > 2 ,即 m + n <2, m +n2 x2 y2 ∴点 P(m,n)在椭圆 9 + 4 =1 的内部, 故所求交点个数是 2 个.

答案:B

考点二

圆锥曲线中的弦长及中点弦问题

[例 2]

x2 2 若直线 l 与椭圆 C: 3 +y =1 交于 A、B 两点,坐

3 标原点 O 到直线 l 的距离为 2 ,求△AOB 面积的最大值.

解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2). (1)当 AB⊥x 轴时,|AB|= 3; (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+ m. |m| 3 3 2 2 由已知,得 2= 2 ,即 m =4(k +1). 1+k 把 y=kx+m 代入椭圆方程,整理,得

(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0. -6km 3?m2-1? ∴x1+x2= 2 ,x x = . 3k +1 1 2 3k2+1 ∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2
2 ? 36k2m2 12 ? m -1?? ? 2 ? - =(1+k )· 2 2 2 ??3k +1? 3k +1 ? ? ?

12?k2+1??3k2+1-m2? = ?3k2+1?2 3?k2+1??9k2+1? = ?3k2+1?2

12k2 =3+ 4 . 9k +6k2+1 12 12 当 k≠0 时,上式=3+ ≤3+ =4, 1 2 × 3 + 6 9k2+k2+6 1 3 当且仅当 9k =k2,即 k=± 3 时等号成立.
2

此时|AB|=2;当 k=0 时,|AB|= 3, 综上所述|AB|max=2.

∴当|AB|最大时,△AOB 面积取最大值 1 3 3 Smax= ×|AB|max× = . 2 2 2

方法点睛

当直线(斜率为 k)与圆锥曲线交于点 A(x1, y1),
2

B(x2,y2)时,则|AB|= 1+k · |x1-x2|=

1 1+ 2|y1-y2|,而|x1 k

-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2,可根据直线方程与圆锥曲线方程联 立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两 根之和、两根之积的代数式,然后再进行整体代入求解.

变式训练 2

椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于

2 A,B 两点,C 是 AB 的中点,若 AB=2 2,OC 的斜率为 , 2 求椭圆的方程.

解析:方法一:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程 并作差得 a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 y1+y2 2 而 =-1, =kOC= 2 , 代入上式可得 b= 2a. x1-x2 x1+x2 再由|AB|= 1+k2|x2-x1|= 2|x2-x1|=2 2, 其中 x1、x2 是方程(a+b)x2-2bx+b-1=0 的两根,
? 2b ? b-1 ? ?2 故?a+b? -4· =4, a+b ? ?

1 2 将 b= 2a 代入得 a=3,∴b= 3 . x2 2y2 ∴所求椭圆的方程是 3 + 3 =1.
2 2 ? ?ax +by =1, 方法二:由? ? ?x+y=1,

得(a+b)x2-2bx+b-1=0.

设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则
2 4 b -4?a+b??b-1? 2 2 |AB|= ?k +1??x1-x2? = 2· . ?a+b?2

a+b-ab ∵|AB|=2 2,∴ =1.① a+b x1+x2 b a 设 C(x,y),则 x= = ,y=1-x= , 2 a+b a+b 2 a 2 ∵OC 的斜率为 ,∴ = , 2 b 2 1 2 代入①,得 a= ,b= . 3 3 x2 2 2 ∴椭圆方程为 + y =1. 3 3

考点三

圆锥曲线中的最值与定值问题

[例 3]

x2 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 3 +y =

1.如图所示, 斜率为 k(k>0)且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 E,射线 OE 交椭圆 C 于点 G,交直 线 x=-3 于点 D(-3,m).

(1)求 m2+k2 的最小值; (2)若|OG|2=|OD|· |OE|,求证:直线 l 过定点.

解析:(1)设直线 l 的方程为 y=kx+t(k>0),由题意,t >0. y=kx+t, ? ? 2 2 2 2 由方程组?x 得 (3 k + 1) x + 6 ktx + 3 t -3=0. 2 +y =1, ? ?3 由题意 Δ>0,所以 3k2+1>t2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 6kt 由韦达定理得 x1+x2=- 2 , 3k +1

2t 所以 y1+y2= 2 . 3k +1 由于 E 为线段 AB 的中点, 3kt t 因此 xE=- 2 ,y = , 3k +1 E 3k2+1 yE 1 此时 kOE=x =-3k. E 1 所以 OE 所在直线方程为 y=-3kx. 1 又由题设知 D(-3,m),令 x=-3,得 m=k,即 mk=1,

所以 m2+k2≥2mk=2,当且仅当 m=k=1 时上式等号成 立,所以由 Δ>0 得 0<t<2,因此当 m=k=1 且 0<t<2 时, m2+k2 取最小值 2. 1 (2)由(1)知 OD 所在直线的方程为 y=- x,将其代入椭 3k 圆 C 的方程,并由 k>0,解得 又
? G? ?- ? ? 3k 1 ? , . 2 2 ? 3k +1 3k +1?

? ? 3kt t ? 1? ? ? E?-3k2+1,3k2+1?,D?-3,k ?, ? ? ? ?

由距离公式及 t>0 得

? 2 |OG| =? ?- ?

2 ? ? 3k ? 1 9 k +1 ?2 ? ?2 +? 2 ? =3k2+1, 3k2+1? 3 k + 1 ? ? ?

|OD|= |OE|=

?1? 2 ?-3? +?k ?2= ? ?

9k2+1 , k 9k2+1 , 2 3k +1

? ? 3kt ? t ? ? ?2 ? ?2 t ?-3k2+1? +?3k2+1? = ? ? ? ?

由|OG|2=|OD|· |OE|,得 t=k, 因此直线 l 的方程为 y=k(x+1), 所以直线 l 恒过定点(-1,0).

方法点睛

(1)证明直线过定点或证明某些量为定值的方

法有两种:一是研究一般情况,通过逻辑推理与计算得到定 点或定值.这种方法往往难度较大,运算量较大,且思路不 好寻找;二是先利用特殊情况确定定点或定值,然后验证, 这样在整理式子或求值时就有了明确的方向.

(2)求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似,求 最值常见的解法有两种:代数法和几何法.若题目的条件和 结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解 决,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可 首先建立起目标函数,再求这个函数的最值.

变式训练 3 M(4,0).

已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F, 直线 l 过点

(1)若点 F 到直线 l 的距离为 3,求直线 l 的斜率; (2)设 A,B 为抛物线上两点,且 AB 不与 x 轴垂直,若线 段 AB 的垂直平分线恰过点 M,求证:线段 AB 中点的横坐标 为定值.

解析:(1)由已知,直线 l 的方程为 x=4 时不合题意. 设直线 l 的方程为 y=k(x-4), 由已知,抛物线的焦点坐标为(1,0), |3k| 因为点 F 到直线 l 的距离为 3,所以 = 3, 1+k2 2 2 解得 k=± 2 ,所以直线 l 的斜率为± 2 .

(2)证明:设线段 AB 的中点坐标为 N(x0,y0),A(x1,y1), y0 B(x2, y2), 因为 AB 不垂直于 x 轴, 则直线 MN 的斜率为 , x0-4 4-x0 4-x0 直线 AB 的斜率为 y ,直线 AB 的方程为 y-y0= y (x-
0 0

4-x0 ? ?y-y0= ?x-x0?, y 0 x0),联立方程? 2 ? ?y =4x,
? x0? 2 2 ?1- ?y -y0y+y0 +x0(x0-4)=0, 4? ?

消去 x 得

4y0 所以 y1+y2= , 4-x0 因为 N 为 AB 的中点, y1+y2 2y0 所以 =y0,即 =y , 2 4-x0 0 所以 x0=2, 即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.

思想方法 (十七) 问题

利用转化思想求解析几何中的探索性

[试题]

(2011· 辽宁,12 分)如图,已知椭圆 C1 的中心在

原点 O,长轴左、右端点 M、N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴为 MN, 且 C1, C2 的离心率都为 e.直线 l⊥MN, l 与 C1 交于两点, 与 C2 交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C, D. 1 (1)设 e= ,求|BC|与|AD|的比值; 2 (2)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明 理由.

思维点拨:第(1)问,设 C1 的方程,C2 的方程同样由 C1 的系数 a, b 来表示, 再分别求点 A、 B 的坐标, 进而可求|BC|∶ |AD|;第(2)问利用 kBO=kAN,得 t 与 e、a 的关系式,再由|t| <a,求 e 的范围.

规范解答:(1)因为 C1,C2 的离心率相同,故依题意可设 x2 y2 b2y2 x2 C1: 2+ 2=1,C2: 4 + 2=1,(a>b>0). a b a a 设直线 l:x=t(|t|<a),分别与 C1,C2 的方程联立,求得
? a ? A t,b ?

a -t

2

2

? ? b ?,B?t, a ? ?

a -t

2

2

? ?.(4 ?

分)

1 3 当 e= 时,b= a,分别用 yA,yB 表示 A,B 的纵坐标, 2 2 2|yB| b2 3 可知|BC|∶|AD|= = = .(6 分) 2|yA| a2 4 (2)t=0 时的 l 不符合题意.t≠0 时,BO∥AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等,即 b 2 2 a 2 2 1-e2 a a -t b a -t ab2 = ,解得 t=- 2 a. 2 · 2=- t e t-a a -b (8 分)

1-e2 2 因为|t|<a, 又 0<e<1, 所以 e2 <1, 解得 2 <e<1.(10 分) 2 所以当 0<e≤ 时,不存在直线 l,使得 BO∥AN; 2 2 当 <e<1 时,存在直线 l,使得 BO∥AN.(12 分) 2

点评:本题探索的是离心率 e 的变化范围,化解这个难 点的方法首先假设存在直线 l, 使得 BO∥AN, 根据 kBO=kAN, 再由|t|<a 构建关于 e 的不等式,解出 e 的范围,最后作出肯 定回答.


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