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2010人教B数学必修三 3.4概率的应用 课件

时间:2013-03-28


3.4概率的应用

问题1:如图所示在边长为a的正方形内有一个不规则的阴 影部分,那么怎样求这阴影部分的面积呢? 问题2:一个人上班的时间可以是 8:00~9:00之间的任一时刻,那么他 在8:30之前到达的概率是多大呢? 问题3:已知在边长为a的正方形内有 一个半为0.5圆。向正方形内随机地 投石头,那么石头落在圆内的概率 是多大呢?

带着上述的问题,我们开始学习新 的内容——模拟方法与概率的应用

问题情境:
问题4:射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环,从外向内 为黑色、白色、蓝色、红色,靶心为黄色,靶面直径为 122cm,靶心直径为12.2cm,运动员在70m外射.假设射 箭都能中靶,且射中靶面内任意一点都是等可能的,那么 射中黄心的概率有多大?

(1)试验中的基本事件是什么? 射中靶面上每一点都是一个基本事件, (2)每个基本事件的发生是等可能的吗? 这一点可以是靶面直径为122cm的大圆 内的任意一点. (3)符合古典概型的特点吗?

问题5:取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪 断,那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大?

3m
(1)试验中的基本事件是什么?

从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位 置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.
(2)每个基本事件的发生是等可能的吗?

(3)符合古典概型的特点吗?

问题6: 有一杯1升的水,其中漂浮 有1个微生物,用一个小杯从这杯 水中取出0.1升,求小杯水中含有这 个微生物的概率.
(1)试验中的基本事件是什么?

微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,微生物出 现位置可以是1升水中的任意一点. (2)每个基本事件的发生是等可能的吗?
(3)符合古典概型的特点吗?

?上面三个随机试验有什么共同特点?
(1)一次试验的所有可能出现的结果有无限多个; (2) 每个结果的发生的可能性大小相等.

对于一个随机试验,如果将每个基本事件理解为
从某个特定的几何区域D内随机地投一点,该点落

在区域D中每一个点的机会都一样;而一个随机事
件A的发生则理解为恰好落到区域D内的某个指定

区域P中.这里的区域D可以是平面图形,线段, 立
体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概

型.

数学理论:
古典概型的本质特征:

1、基本事件的个数有限,
2、每一个基本事件都是等可能发生的.

几何概型的特点: (1)试验的所有可能出现的结果有无限多个 (2)每个试验结果的发生是等可能的
古典概型与几何概型之间的联系: 将古典概型中的基本事件的有限性推广到无限性,而保 留等可能性,就得到几何概型.

试验1:取一个矩形,在面积为四分之一的部分画
上阴影,随机地向矩形中撒一把芝麻(以数100粒为 例),假设每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置 的可能性大小相等.统计落在阴影内的芝麻数与落 在矩形内的总芝麻数,观察它们有怎样的比例关 系? 分析:由于区域A的面积是正方形 A 面积的1/4,因此大约有1/4的 芝麻(25个)落在阴影部分A内
下面我将通过计算机做模拟试验,来验证我的分析 的结果是否正确.

通过上述的试验,不难得 出下面的结论:
落在区域A内的芝麻数 落在正方形内的芝麻数



区域A的面积

正方形的面积

一般地,在向几何区域D中随机地投一点,记事件 A为“该点落在其内部一个区域d内”,则事件A发 生的概率为: 区域d的面积(长度或体积) P(A)= 区域D的面积(长度或体积)
注:利用这个定理可以求出不 规则图形的面积、体积。
D d

我国古代数学家祖冲之早在1500多年前 基本思想: 先作出圆的外切 y 就算出圆周率π的值在3.1415926和 正方形,再向正方形中随机 3.1415927之间,这是我国古代数学家的 1 地撒芝麻,数出落在圆内的 一大成就,请问你知道祖冲之是怎样算 芝麻数和落在正方形中的 0 芝麻数,用芝麻落在圆内的 -1 1 x 出π的近似值的吗?
-1

用模拟方法估计圆周率的值

? 圆的面积 落在区域A内的芝麻数 ≈ 落在正方形内的芝麻数 正方形的面积= 4

频率来估计圆与正方形的 面积比,由此得出 的近似 ? 值.

每个事件发生的概率只与该事件区域的长度(面 问题:如果正方形面积不变,但形状改变,所得 积或体积)成比例,与图形的形状无关。 的比例发生变化吗?

例题讲解: 例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打

开收音机,想听电台报时,求他等待的 时间不多于10分钟的概率。
解:设A={等待的时间不多于10分钟},事件A恰 好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内, 因此由几何概型的求概率公式得 P(A)=(60-50)/60=1/6 “等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6

例2.在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取 一点M,求AM小于AC的概率.
解: 在AB上截取AC’=AC, 故AM<AC的概率等于 AM<AC’的概率. 记事件A为“AM小于AC”,
AC AC? AC 2 P( A) ? ? ? ? AB AB 2 2 AC 2 答:AM<AC的概率等于 2

C

A

M

C’

B

构成事件A的区域长度 结 ( )? P A 论 试验的所有可能出现的结果所构成的区域长度

例3. 有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个 小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个 细菌的概率. 分析:细菌在这升水中的分布 可以看作是随机的,取得0.1 升水可作为事件的区域。

解:取出0.1升中“含有这个细菌”这一事 件记为A,则 取出水的体积 0.1 P( A) ? ? ? 0.1 杯中所有水的体积 1

结 构成事件A的区域体积 P(A) ? 论 试验的所有可能出现的结果所构成的区域体积

例4、小明家的晚报在下午5:30~6:30之间 的任何一个时间随机地被送到,小明一家人 在下午6:00~7:00之间的任何一个时间随 机地开始晚餐。 (1)你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在 晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大?

我们用模拟方法来估计晚报在晚餐开始之前被送到的概率: 用两个转盘来模拟上述过程,一个转盘用于模拟晚报 的送达,另一个转盘用于模拟晚餐,两个转盘各转动一次 并记录下结果就完成一次模拟。

如果小明家的晚报在下午5:50~6:50之间 的任何一个时间随机地被送到,小明一家人 在下午6:00~7:00之间的任何一个时间随 机地开始晚餐。 你认为晚报在晚餐开始之前被送到可能 性是变大了还是变小了呢?变小


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