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2009年全国高中数学联赛试题及答案

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声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦)》

2009 年全国高中数学联赛
受中国数学会委托,2009 年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。中国数学会普 及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。 2009 年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部 2000 年《全日制普通

高级中学数 学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基 础知识和基本技能的掌握情况, 以及综合和灵活运用的能力。 全卷包括 8 填空题和 3 道大题, 满分 100 分。答卷时间为 80 分钟。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当 增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括 4 道大题,其中一道平面几何题,试卷满分 200 分。答卷时问为 150 分钟。

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一、填空(每小题 7 分,共 56 分) x 且 f ( n ) ( x ) = f ? f ? f L f ( x ) ? ? ,则 f (99 ) (1) = 1. 若函数 f ( x ) = . ? ? ?4 2 144 2444? 3 1+ x
n



2. 已知直线 L : x + y ? 9 = 0 和圆 M : 2 x 2 + 2 y 2 ? 8 x ? 8 y ? 1 = 0 ,点 A 在直线 L 上, B , . C 为 圆 M 上 两 点 , 在 ?ABC 中 , ∠BAC = 45° , AB 过 圆 心 M , 则 点 A 横 坐 标 范 围 为 . ?y≥0 ? 3. 在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为 ? y ≤ x , N 是随 t 变化的区域,它由 . ?y≤2 ? x ?
不 等 式 t ≤ x ≤ t + 1 所 确 定 , t 的 取 值 范 围 是 0 ≤ t ≤1 , 则 M 和 N 的 公 共 面 积 是 函 数 f (t ) = .

4. 使不等式
a 的值为

1 1 1 1 + +L + < a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 n +1 n + 2 2n + 1 3

. x2 y2 5. 椭圆 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 上任意两点 P ,Q ,若 OP ⊥ OQ ,则乘积 OP ? OQ 的最 . a b 小值为 . 6. 若方程 lg kx = 2lg ( x + 1) 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是 .

7. 一个由若干行数字组成的数表, 从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数 之和,最后一行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的 数是 (可以用指数表示) 8. 某车站每天 8 00 ~ 9 00 , 9 00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随 ∶ ∶ ∶ 机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为
到站时刻 概率

8 10 ∶ 9 10 ∶ 1 6 1 2

8 30 ∶ 9 30 ∶ 1 3

8 50 ∶ 9 50 ∶

一旅客 8 20 到车站,则它候车时间的数学期望为 ∶ 二、解答题

(精确到分).

1. (14 分)设直线 l : y = kx + m (其中 k , m 为整数)与椭圆

x2 y2 + = 1 交于不同两 16 12

x2 y2 点 A , B ,与双 曲线 ? = 1 交 于不同 两点 C , D , 问是否 存在直 线 l ,使得 向量 4 12 uuur uuu r AC + BD = 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

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2. (15 分) . 已知 p , ( q ≠ 0 ) 是实数, q 方程 x 2 ? px + q = 0 有两个实根 α ,β , 数列 {an } 满足 a1 = p , a2 = p 2 ? q , an = pan?1 ? qan ?2 ( n = 3 , , ) 4 L
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式(用 α , β 表示); (Ⅱ)若 p = 1 , q =
1 ,求 {an } 的前 n 项和. 4

3. (15 分)求函数 y = x + 27 + 13 ? x + x 的最大和最小值.

加试 一、填空(共 4 小题,每小题 50 分,共 200 分) 9. 如图, M , N 分别为锐角三角形 ?ABC ( ∠A < ∠B )的外接圆 Γ 上弧 BC 、 AC 的 中点.过点 C 作 PC ∥ MN 交圆 Γ 于 P 点, I 为 ?ABC 的内心,连接 PI 并延长交圆 Γ 于 T . ⑴求证: MP ? MT = NP ? NT ;
⑵在弧 AB (不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A , T , B ),记 ?AQC , △QCB 的内

心分别为 I1 , I 2 ,
P N I T A Q C M

B

求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆.

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10. 求证不等式: . 1 ? n k ? ?1 < ? ∑ 2 ? ? ln n ≤ , n = 1 ,2,… 2 ? k =1 k + 1 ?

11. 设 k ,l 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数 m ≥ k ,使得 Ck 与 l 互素. m

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12. 在非负数构成的 3 × 9 数表 . ? x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 ? ? ? P = ? x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27 x28 x29 ? ?x x x x x x x x x ? ? 31 32 33 34 35 36 37 38 39 ? 中每行的数互不相同, 6 列中每列的三数之和为 1,x17 = x28 = x39 = 0 ,x27 ,x37 ,x18 ,x38 , 前
x19 , x29 均大于.如果 P 的前三列构成的数表

? x11 x12 x13 ? ? ? S = ? x21 x22 x23 ? ?x x x ? ? 31 32 33 ? ? x1k ? ? ? 满足下面的性质 (O) :对于数表 P 中的任意一列 ? x2 k ? ( k = 1 , 2 , … , 9 )均存在某个 ?x ? ? 3k ? i ∈ {1 ,2 ,3} 使得

(ⅰ)最小值 ui = min { xi1 ,xi 2 ,xi 3 } , i = 1 ,2,3 一定自数表 S 的不同列.
? x1k * ? ? ? (ⅱ)存在数表 P 中唯一的一列 ? x2 k* ? , k * ≠ 1 ,2,3 使得 3 × 3 数表 ? ?x ? ? ? 3k* ? ? x11 x12 x1k * ? ? ? S ′ = ? x21 x22 x2 k* ? ? ? x31 x32 x ? ? ? 3k* ? 仍然具有性质 (O) .

⑶ xik ≤ ui = min { xi1 ,xi 2 ,xi 3 } .求证:

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