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苏州市2013-2014年高一期中考试七校联考数学试卷






数 学 参 考 答



2014 年 4 月 1. 60
0

2.

? ?1, 0?
7. 3

3.

?

4. -1 9. 2

>5. 120 10.

0

3 7 6. an ? n ? 2 2
11. 1 ? k ? 2

8.等腰或直角 13.

1 2

12. a7 ? 18

82 9

14.①②③④⑤

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)解下列一元二次不等式 (1) (3x ? 1)( x ? 1) ? 4 解:(1) ∵ 3x ? 2 x ? 5 ? 0
2

(2) 6 ? x ? 2 x ? 0
2

… …………… 2 分 … …………… 4 分 … …………… 7 分 … …………… 2 分 … …………… 4 分 … …………… 7 分

∴ ( x ? 1)(3x ? 5) ? 0 ∴ x ? 1或x ? ?
2

5 3

(2)∵ 2 x ? x ? 6 ? 0 ∴ (2 x ? 3)( x ? 2) ? 0 ∴ ?2 ? x ?

3 2

16. (本题满分 14 分)如图,在△ABD 中,点 C 在边 BD 上, AB= (1)AD
A

3 6 ,CD=5,?ABC=450,?ACB=600 ,求 2

(2)△ACD 的面积

B

C

D

3 6 2 ? AC ,∴ AC ? 3 解: (1)在 ?ABC 中,由正弦定理得 sin 600 sin 450
2 2 2 0

… …………… 4 分

在 ?ACD 中,由余弦定理得, AD =3 +5 -2 ? 3 ? 5cos120 ∴ AD ? 7 … …………… 8 分 (2) S?ACD ?

1 15 3 AC ? CD sin ?ACD ? 2 4

… …………… 14 分

17. (本题满分 15 分)在等差数列 ?an ? 中, Sn 表示数列 ?an ? 前 n 项和 (1)已知 a1 ? 20, an ? 54, Sn ? 999 ,求公差 d 及 n (2)已知 S8 =100,S16 =392 求 S24 解: (1)∵ n ?

2Sn 2 ? 999 ? ? 27 … …………… 3 分 a1 ? an 20 ? 54

∴d ?

an ? a1 54 ? 20 17 ? ? … …………… 7 分 n ?1 27 ? 1 13

(2)设首项为 a1 ,公差为 d ∵ S8 =8a1 ?

8? 7 16 ?15 d =100,S16 =16a1 ? d =392 … …………… 4 分 2 2
… …………… 6 分

∴ a1 =2 , d =3 ∴ S 24 =24 ? 2+

24 ? 23 ? 3=876 2

… …………… 8 分

18. (本题满分 15 分)如图,在半径为 3 、圆心角为 60 的扇形的弧上任取一点 P ,作扇形的内接矩形 PNMQ , 使点 Q 在 OA 上, 点 N , M 在 OB 上, 设矩形 PNMQ 的面积为 y . (1)按下列要求写出函数的关系式: ①设 PN ? x ,将 y 表示成 x 的函数关系式; ②设 ?POB ? ? ,将 y 表示成 ? 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出 y 的最大值.

2 解: ( 1 ) ① 因 为 ON ? 3 ? x

, OM ?

3 x, 3

所以

2 MN ? 3 ? x ?

3 x 3

所以 . …………… 4 分 ②因为 PN ? 3 sin ? , ON ? 3 cos? , OM ?

3 ? 3 sin ? ? sin ? , 3

所以 MN ? ON ? OM ? 3 cos? ? sin ? …………… 6 分 所以 y ? 3sin ? ( 3 cos? ? sin ? ) , 即 y ? 3sin ? cos? ? 3sin 2 ? , (? ? (0, (2)选择 y ? 3sin ? cos ? ? 3 sin
2

?
3

)) … …………… 8 分

? 3 , …… 12 分 ? ? 3 sin(2? ? ) ?
6 2
) ……………… 14 分 ……

? ? (0, )
3
所以 ymax ?

?

? 2? ?

?
6

?(

? 5?
6 , 6

3 .…… ……………………… 15 分 2
知:
C

19. (本题满分 16 分)如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已

?ACD=?,?ECB=? ,AC=14,AD=7,AB=28,CE=12.
(0, ) (1)若 ? ? ,且 sin(? ? 3 (0, ) (2)若 ?、? ? ,且 4

?

?
6

)?

?

4 ,求 sin ? 5

A

D

E

B

? ? ? ? ? ? (1+sin2? ? cos 2? ) ?1 ? tan( ? ? ) ? ? (1+sin2? ? cos 2? ) ? tan( ? ? ) ? 1? ,试探究 ?、? 的数量关系式 4 ? 4 ? ? ?
(3)在(2)的结论下,求 BC.

(0, ) 解: (1)∵ ? ? ∴? ? 3

?

?

? 3 ? ?? ? ? 0, ? ∴ cos(? ? ) ? 6 5 6 ? 2?

. ……………2 分

∴ sin ? ? sin ?(? ?

? ?

?

?? ? ? ? ? 4 3 ?3 ……4 分 ) ? ? ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? )sin ? 6 6? 6 6 6 6 10
?

tan( ? ? ) ? 1 1+sin2? ? cos 2? 4 (2)由条件可化为 . ……………6 分 ? 1+sin2? ? cos 2? 1 ? tan( ? ? ? ) 4

1+2sin? cos ? ? (1 ? 2sin 2 ? ) 2sin ? (cos ? ? sin ? ) 左边 = ? ? tan ? . ……………8 分 1+2sin? cos? ? (2cos 2 ? ?1) 2cos ? (cos ? ? sin ? )
右边 = tan ?( ? ?

? ?

?

?? ) ? ? = tan ? . ……………9 分 4 4?
?
4

(0, ) ∴ tan ? ? tan ? 又 ?、? ? ,故 ? =? . ……………10 分
AD AC (3)由(2)得 ? =? , AC =AB?△ACD∽△ABC?∠ABC=∠ACD=∠BCE.……12 分 ∴ CE=BE=12.AE=AB-BE=16. AC2+AE2-CE2 142+162-122 142+28· 4 11 ∴ cosA= = 2AC· AE 2· 14· 16 = 2· 14· 16 =16.. ……………14 分 11 2 ∴ BC2=AC2+AB2-2AC· ABcosA=142+282-2· 14· 28· 9?BC=21.. ………16 分 16=7 ·

20. (本题满分 16 分)定义如下: a1 ? 1, a2 ? 2, an? 2 ? (1)求 a3 、 a4 的值 (2)求数列 ?nan ? 的通项公式

2 ? n ? 1? n?2

an?1 ?

n an , n ? N? . n?2

(3)若函数 f ( x) ? x2 ? ? x ? 1,(?、x ? R) , g ( x) ? ? x2 ? 4x ? 4, 是否存在实数 ? ,对任意的 n ? N ,至少存在一个
?

实数 m ??0,4? ,使得 f (an?1 ) ? g (m) 成立?若存在,请求出 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由。 解: (1) a3 =

7 5 , a4 = 3 2

. ……………2 分
? 2a2 ? a1 ? 3 . ……………5 分

(2)由题设得: (n ? 2)an ?2 ? 2(n ? 1)an ?1 ? nan ,则有
(n ? 2)an ? 2 ? (n ? 1)an ?1 ? (n ? 1)an ?1 ? nan ? nan ? (n ? 1)an ?1 ?

所以 nan ? (n ? 1)an ?1 ? 3 ,令 bn ? nan ,则 bn ? bn ?1 ? 3 ,所以 bn ? nan ? 2a2 ? 3(n ? 2) ? 3n ? 2 ,
an ? 3n ? 2 2 ? 3 ? ,. ……………8 分 n n

(附:先证明数列 ?nan ? 为等差数列,再求通项公式给同样的分值) (3)存在……………9 分 假设存在,由题意可得只需 f (an?1 ) ? ? g (m)?max ? 0 ,∴对任意的 n ? N , an?12 ? ?an?1 ? 1 ? 0
?

∵ an ?1 ? 3 ?

2 ? 关于 n ? N 单调递增 n ?1

∴ an?1 ? ? 2, 3?

∴ ? ? an ?1 ?

1 an ?1

…………11 分

∵设 t ? an?1 ?? 2, 3? , an ?1 ?

1 1 =t+ 在 t ?? 2,3? 上单调递增 an ?1 t
∴? ?

∴ an ?1 ?

1 10 ? an ?1 3

…………14 分

10 …………16 分 3

(注:不交代单调递增的扣 1 分)


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