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对2014年高考数学北京卷第19题的推广

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2 0 1 4年 第 6期  河北理 科教 学研 究  短 文 集锦  上 都递 增 , 在( 1 ,+ ∞) 都递 减 ; 当  > 1时  3   D 曰, 求 直线 A B与 圆  +Y  =2的位 置关  h   (  ) :( 1 一  )  ÷   eg   , h   (  ) 的正负   系, 并 证 明你 的结论 . ( 2 0 1 4年 高 考北 京 理 科  1 9题 )   不好 确定, h (  ) 的单调性难 以解决 , 可见,   类 比猜 想 暂 时 “ 失效 ” ! 但 从 几何 画板 画 出来  ( 工) 略; 例 1中的第 ( Ⅱ) 题求得线 段  A B长度 的最小值 为 2   ; 例 2中的第 ( Ⅱ) 题  探究 的结 果是 直 线  曰 与 圆  +Y   : 2相  的h (  ) 的 图象 来看 , 当  > 1 时恒 有 h (  )   <0 , 这 表 明不 是 类 比出 了 问题 , 而是 h (  )   的解 析 式 过 于 复 杂 造 成 了 类 比 失 效 ,而  h (  ) 解析 式 的 复 杂 性 归 根 结 底 是 由 f (  )   造成的.   切. 上面 的例题 是特殊 情形 , 那 么对一般 情 形  是怎 样 的 呢? 笔者 经 过 尝试 得 到如 下 更 一 般  的结论 :   结论  已知点 0为椭 圆 C:   +   :   f (  ) 的表达式 虽不 复杂 , 但其 运算 级别  较高 , 导致 h   (  ) 的表达 式很 复杂 . 如两边 取  对 数 则有 l n f (  )=一   +I n x , 这样 运算 级别  l ( 0>b>0 ) , 点 A在直线 v:   ( 其中 c 2   =口  一b   ) 上, 点 B 在椭 圆 C上 , 且 0 A 上  降低 了, 若定义 F (  ) =一   +l n x , F (  ) 的   解 析式 简单 多 了 . 运算也 就简 单 了 . 这就需 要  将 原 问题化 归 , 即将 第 ( 2 )问等 价转 化 为 “ 已  矢 ⅡF(  )=一   +I n x (   >0 ) ,  2>  1 >0 ,   且 F(  1 )= F(  2 ) , 证明: 0<   l  2< 1 . ” .   O B. 则( I ) 若椭圆 C的离心率e 满足  ≤ 。   <1 时, 线段 A B长 度 的最 小值 为 2 b ; ( Ⅱ) 直  线 A B 与 圆  + Y  = b  相 切 .   证明 : 设 点 A, B 的坐标 分别 为 (  , a b ) ,   化 归后 的问题 与 题 1 相似 , 仿 造 上 文不 难 解  决, 不述 . 通 过 问题 化 归 , 类 比又 复活 了 !   (  o , Y 0 ) , 其 中  0≠ 0 .   ( 工) 因为 O A』 ⅢO B, 所 以  .   0 , 即t x o+   a b y y o   D  ( 浙 江 省 桐 乡第 二 中 学   范 广 法  3 1 4 5 1 1 )   :   。 = 。 , 解 得   = 一  , 又 誓   +  : 1 . 所以 I   A B   l  :(  0一f )  +( y o—   例1   已知 椭 圆 C:   +2 1 ,  = 4 . ( I)   求椭 圆 c的离 心率 ; ( Ⅱ)

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