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2015年人教版高一升高二暑期数学衔接班讲义 专题一 函数


2015 年人教版高一升高二暑期数学衔接班讲义 专题一 函数 专题二 数列 专题三 三角函数 专题三 平面向量

一、知识网络结构:
定义 F:A ?B 反函数 映射 函数 具体函数 一般研究 图像 性质 二次函数 指数 指数函数 对数 对数函数

二、知识回顾: (一)映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义

域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用 的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法 则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数 反函数的定义 设函数 y ? f ( x) ( x ? A )的值域是 C ,根据这个函数中 x , y 的关系, 用 y 把 x 表 示 出 , 得到 x ? ? ( y ) . 若 对 于 y 在 C 中 的 任何 一个 值 , 通 过
x ? ? ( y ) , x 在 A 中都有唯一的值和它对应,那么, x ? ? ( y ) )就表示 y 是自变

量, x 是自变量 y 的函数,这样的函数 x ? ? ( y ) ( y ? C ) 叫做函数 y ? f ( x) ( x ? A )的反函数,记作 x ? f ?1 ( y) ,习惯上改写成 y ? f ?1 ( x) (二)函数的性质

⒈函数的单调性 定义:对于函数 f ( x) 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值

x1 , x2 ,
⑴若当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则说 f ( x) 在这个区间上是增函数; ⑵若当 x1 ? x2 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则说 f ( x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y ? f ( x) 在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 y ? f ( x) 在这一 区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数 y ? f ( x) 的单调区间.此时也说 函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 偶函数的定义:如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个,都有 f (? x) ? f ( x) ,那 么函数 f ( x) 就叫做偶函数。
f ( x) 是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ?

f (? x) ? 1 ( f ( x) ? 0 ) 。 f ( x)

奇函数的定义:如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个,都有 f (? x) ? ? f ( x) , 那么函数 f ( x) 就叫做奇函数。
f ( x) 是奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ?

f (? x) ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) 。 f ( x)

正确理解奇、偶函数的定义,必须把握好: 1、定义域在数轴上关于原点对称是函数 f ( x) 为奇函数或偶函数的必要不充分条 件;
f (? x) ? f ( x) 或 f (? x) ? ? f ( x) 是定义域上的恒等式。

2、奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图 形。反之亦真。因此,也可以利用函数图象的对称性去判断偶函数的奇偶性。 3、奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增减性相反。 4、如果 f ( x) 是偶函数,则 f ( x) ? f ( x ) ,反之亦成立。若奇函数在 x ? 0 时有意 义,则 f (0) ? 0 。

7. 奇函数,偶函数: ⑴偶函数: f (? x) ? f ( x) 设 ( a, b) 为偶函数上一点,则 (?a, b) 也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于 y 轴对称,例如: y ? x2 ? 1 在 [?1,1) 上不是偶函数. ②满足 f (? x) ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x) ? 0 时, ⑵奇函数: f (? x) ? ? f ( x) 设 ( a, b) 为奇函数上一点,则 (?a, ?b) 也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称,例如: y ? x 3 在 [1,?1) 上不是奇函数. ②满足 f (? x) ? ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x) ? 0 时,
y轴对称 8. 对称变换:①y = f(x) ?? ? ?? y ? f(? x)

f ( x) ? 1. f (? x)

f ( x) ? ?1 . f (? x)

x轴对称 ②y =f(x) ?? ? ?? y ? ? f(x)

③y =f(x) ?原点对称 ?? ?? y ? ? f(? x) 9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如:
2 2 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x 2 1 ?b ? x 2 ?b ?

(x1 ? x 2) ( x1 ? x 2 )
2 2 xx ? b 2 ? x1 ? b2

在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. x 例如:已知函数 f(x)= 1+ 的定义域为 A,函数 f [ f ( x)] 的定义域是 B,则 1? x 集合 A 与集合 B 之间的关系是 A ? B .

解: f ( x) 的值域是 f ( f ( x)) 的定义域 B , f ( x) 的值域 ? R ,故 B ? R ,而 A ? ?x | x ? 1? , 故A? B. 11. 常用变换: ① f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) ? 证: f ( x ? y ) ?
f ( x) f ( y)

.

f ( y) ? f ( x) ? f [( x ? y ) ? y ] ? f ( x ? y ) f ( y ) f ( x)

② f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 证: f ( x) ? f ( ? y ) ? f ( ) ? f ( y ) 12. ⑴熟悉常用函数图象: 例:y ? 2 x ? x 关于 y 轴对称.



x y

x y

x y

1 x?2 1 x 1 x?2 y?( ) ? y?( ) ? y?( ) 2 2 2
y


y

y

(0,1)
x

(-2,1)
x

x

y ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? y 关于 x 轴对称.



y

⑵熟悉分式图象: 例: y ?
2x ? 1 7 ? 定义域 {x | x ? 3, x ? R} , ? 2? x ?3 x ?3


x

值域 { y | y ? 2, y ? R} →值域 ? x 前的系数之比. (三)指数函数与对数函数

y

2 x 3

指数函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象和性质
a ?1
4.5

0 ? a ?1
4.5 4
4

图 象
-4 -3 -2 -1

3.5

3.5

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

y=1
1 0.5

y=1

0.5

1

2

3

4

-4
-0.5

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0.5

-1

-1

(1)定义域: R 性 质 (2)值域: (0, ??) (3)过定点 (0,1) ,即 x ? 0 时, y ? 1 (4) x ? 0 时, y ? 1 ;
x ? 0 时, 0 ? y ? 1

(4) x ? 0 时, 0 ? y ? 1 ;
x ? 0 时, y ? 1 .

(5)在 R 上是增函数

(5)在 R 上是减函数

对数函数 y ? loga x 的图象和性质: 对数运算:

loga (M ? N ) ? loga M ? loga N ………………⑴
log a M ? log a M ? log a N N

loga M n ? n loga (?M ) ………………⑴
log a n M ? 1 log a M n

a loga N ? N

换底公式: log a N ?

logb N logb a

推论: loga b ? logb c ? logc a ? 1

loga1 a2 ? loga2 a3 ??? logan?1 an ? loga1 an
(以上 M ? 0 , N ? 0 , a ? 0 , a ? 1 , b ? 0 , b ? 1 , c ? 0 , c ? 1 , a1 、 a2 、…、 an ? 0 , 且 ? 1) 注⑴:当 a ? 0 , b ? 0 时, logc (a ? b) ? logc (?a) ? logc (?b) . ⑵:当 M ? 0 时,取“+” ,当 n 是偶数时且 M ? 0 时, M n ? 0 ,而 M ? 0 ,故取 “—”. 例如: loga x2 ? 2loga x (因为 2loga x 中 x ? 0 而 log a x 2 中 x ? R ,且 x ? 0 ) ⑵ y ? a x ( a ? 0 , a ? 1 )与 y ? loga x 互为反函数. 当 a ? 1 时, y ? loga x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 ? a ? 1 时,则相反. (四)方法总结 ⑴.相同函数的判定方法:定义域相同且对应法则相同. ⑴对数运算: ⑵.函数表达式的求法:①定义法;②换元法;③待定系数法. ⑶.反函数的求法:先解 x ,互换 x 、 y ,注明反函数的定义域(即原函数的值 域). ⑷.函数的定义域的求法: 布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即 可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为 0;②偶次根式中被开方数 不小于 0;③对数的真数大于 0,底数大于零且不等于 1;④零指数幂的底数不

等于零;⑤实际问题要考虑实际意义等. ⑸.函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法” ;③反函数法;④ 换元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性法. ⑹.单调性的判定法:①设 x1 , x2 是所研究区间内任两个自变量,且 x1 ? x2 ;②判 定 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小;③作差比较或作商比较. ⑺. 奇偶性的判定法:首先考察定义域是否关于原点对称,再计算 f (? x) 与
f ( x) 之 间 的 关 系 : ① f (? x) ? f ( x) 为 偶 函 数 ; f (? x) ? ? f ( x)为 奇 函 数 ; ② f (? x) ? f ( x) ? 0 为偶; f (? x) ? f ( x) ? 0 为奇;③

f (? x) f (? x) ? 1 是偶; ? ?1 为 f ( x) f ( x)

奇函数. ⑻.图象的作法与平移:①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;②利用 熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换;③利用反函数的图象与对称性描绘函 数图象.

三、小试牛刀:
一、 求函数的定义域
1、求下列函数的定义域: ⑴y?

x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

⑵ y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1

⑶y?

1 1? 1 x ?1

? (2 x ? 1)0 ? 4 ? x 2

2、设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x ) 的定义域为_ 的定义域为________;

2

_

_;函数 f ( x ? 2)

3、若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2 , 3] ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是

;函数

1 f ( ? 2) 的定义域为 x



4、 知函数 f ( x ) 的定义域为 [?1, 1] ,且函数 F ( x) ? f ( x ? m) ? f ( x ? m) 的定义域存在, 求实数 m 的取值范围。

二、求函数的值域
5、求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 x ? [1, 2] ⑶y?

3x ? 1 x ?1

⑷y?

3x ? 1 ( x ? 5) x ?1

⑸ y?

2 x ?6 x ?2

⑹ y?

5 x 2+9x ? 4 x2 ?1

⑺ y ? x ? 3 ? x ?1

⑻ y ? x 2? x

⑼ y ? ? x2 ? 4x ? 5

⑽ y ? 4 ? ? x2 ? 4x ? 5

⑾ y ? x ? 1 ? 2x

2 x 2 ? ax ? b 6、已知函数 f ( x) ? 的值域为[1,3],求 a , b 的值。 x2 ? 1

三、求函数的解析式
2 1、 已知函数 f ( x ? 1) ? x ? 4 x ,求函数 f ( x ) , f (2 x ? 1) 的解析式。

2 2、 已知 f ( x ) 是二次函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? 2 x ? 4 x ,求 f ( x ) 的解析式。

3、已知函数 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) =



4、设 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??, 0) 时

f ( x) =

, f ( x ) 在 R 上的解析式为

. 。

5、设 f ( x ) 与 g ( x) 的定义域是 {x | x ? R, 且x ? ?1}, f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数, 且 f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x ) 与 g ( x) 的解析表达式 x ?1

四、求函数的单调区间
6、求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ⑵ y ? ? x2 ? 2x ? 3 ⑶ y ? x2 ? 6 x ?1

7、函数 f ( x ) 在 [0, ??) 上是单调递减函数,则 f (1 ? x 2 ) 的单调递增区间是 8、函数 y ? 是

2? x 的递减区间是 3x ? 6

;函数 y ?

2? x 的递减区间 3x ? 6

五、综合题
9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ⑴ y1 ? )

( x ? 3)( x ? 5) , y 2 ? x ? 5 ; ⑵ y1 ? x ? 1 x ? 1 , y2 ? ( x ? 1)(x ? 1) ; x?3
2 x 2 ; ⑷ f ( x) ? x , g ( x) ? 3 x3 ; ⑸ f1 ( x) ? ( 2x ? 5) ,

⑶ f ( x ) ? x , g ( x) ?

f 2 ( x) ? 2x ? 5 。
A、⑴、⑵ 10、若函数 f ( x ) = B、 ⑵、⑶
2

C、 ⑷

D、 ⑶、⑸ )

x?4 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是 ( mx ? 4mx ? 3 3 3 3 ) A、(-∞,+∞) B、(0, ] C、( ,+∞) D、[0, 4 4 4

11、若函数 f ( x) ? mx 2 ? mx ? 1 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是( ) (A) 0 ? m ? 4 (B) 0 ? m ? 4
2

(C) m ? 4

(D) 0 ? m ? 4 )

12、对于 ?1 ? a ? 1 ,不等式 x ? (a ? 2) x ? 1 ? a ? 0 恒成立的 x 的取值范围是( (A) 0 ? x ? 2 (B) x ? 0 或 x ? 2 (C) x ? 1 或 x ? 3 (D)

?1 ? x ? 1

13、函数 f ( x) ? 4 ? x 2 ? x 2 ? 4 的定义域是( A、 [?2, 2] B、 (?2, 2)

) D、 {?2, 2}

C、 (??, ?2) ? (2, ??)

14、函数 f ( x) ? x ?

1 ( x ? 0) 是( x

) B、奇函数,且在(0,1)上是减函数 D、偶函数,且在(0,1)上是减函数

A、奇函数,且在(0,1)上是增函数 C、偶函数,且在(0,1)上是增函数

? x ? 2( x ? ?1) ? 2 15、函数 f ( x) ? ? x ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = ?2 x( x ? 2) ?
16、 已知函数 f ( x ) 的定义域是 (0,1] , 则 g ( x ) ? f ( x ? a ) ? f ( x ? a )( ? 域为 。

1 ? a ? 0) 的定义 2

mx ? n 的最大值为 4,最小值为 —1 ,则 m = ,n= x2 ? 1 1 18、把函数 y ? 的图象沿 x 轴向左平移一个单位后,得到图象 C,则 C 关于原点对称 x ?1
17、已知函数 y ? 的图象的解析式为 19、求函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 在区间[ 0 , 2 ]上的最值

20、若函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2,当x ? [t , t ? 1]时的最小值为 g (t ) ,求函数 g (t ) 当 t ? [-3,-2] 时的最值。

21、已知 a ? R ,讨论关于 x 的方程 x ? 6 x ? 8 ? a ? 0 的根的情况。
2

22 、已知

1 ? a ? 1 ,若 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 1在区间 [1, 3] 上的最大值为 M (a) ,最小值为 3

N ( a ) ,令 g (a) ? M (a) ? N (a) 。 (1)求函数 g (a ) 的表达式; (2)判断函数 g (a ) 的单调
性,并求 g (a ) 的最小值。

23、记函数 域为 B。 ⑴求 A;

f ( x) ? 2 ?

x?3 x ? 1 的定义域为 A, g ( x) ? lg[(x ? a ? 1)(2a ? x)](a ? 1) 的定义

⑵若 B ? A ,求实数 a 的取值范围。

24、绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料。根据以前的统计数据,若零售价定为每 瓶 4 元,每月可售出 400 瓶;若每瓶售价每降低 0.05 元,则可多销售 40 瓶,在每月的进 货量当月销售完的前提下, 请你给该商店设计一个方案: 销售价应定为多少元和从工厂购进 多少瓶时,才可获得最大的利润?

25、已知方程 x ? ax ? 2 ? 0 ,分别在下列条件下,求实数 a 的取值范围。
2

⑴方程的两根都小于 ? 1 ; ⑵方程的两个根都在区间 (?2,0) 内; ⑶方程的两个根,一个根大于 ? 1 ,一个根小于 ? 1 。

26、已知函数

f ( x) ? loga ( x ? 1), g ( x) ? loga (1 ? x)(其中a ? 0, 且a ? 1)

⑴求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域; ⑵判断函数 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并予以证明; ⑶求使 f ( x) ? g ( x) <0 成立的 x 的集合。

27、函数

f ( x) 对任意 a, b ? R 都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 1, 并且当 x ? 0 时 f ( x) ? 1 。

求证:函数 f ( x) 是 R 上的增函数。

1 2 f ( x) ? f ( ) ? x x 28、⑴已知 f ( x ) 的定义域为 {x | x ? 0} ,且 ,试判断 f ( x ) 的奇偶性。
⑵函数 f ( x ) 定义域为 R ,且对于一切实数 x , y 都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ,试判断

f ( x) 的奇偶性。

29、已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)判断函数

f ( x) ?

?2 x ? b 2 x ?1 ? 2 是奇函数。

f ? x?

的单调性;

(Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.


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