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北师大版高中数学必修一综合质量评估测试卷及答案解析


综合质量评估
第一~四章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2012·惠州高一检测)若 A={x|1<x≤ 3 },B={x|0<x≤1},则 A∪B=( (A){x|x>0} (C){x|0≤x≤ 3 } 2.下列函数是幂函数的是

( (A)y=2x2 (C)y=3x ) (B)y=x3+x (D)y= x 2 )
1

)

(B){x|x≤ 3 } (D){x|0<x≤ 3 }

3.已知 a=log20.3,b=20.1,c=0.21.3,则 a,b,c 的大小关系是( (A)a<b<c (C)a<c<b (B)c<a<b (D)b<c<a
1 -x 的图像关于( x

4.(2012·莆田高一检测)函数 f(x)= (A)y 轴对称 (C)坐标原点对称

)

(B)直线 y=-x 对称 (D)直线 y=x 对称

5.若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参 考数据如下表:

那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根可以为(精度为 0.1)( (A)1.2 (B)1.3 (C)1.43

) (D)1.5 )

6.(2012·北京高一检测)下列各组函数中,表示同一个函数的是(
x2 ?1 (A)y= 与 y=x+1 x ?1

(B)y=x 与 y=logaax(a>0,a≠1) (C)y= x 2 -1 与 y=x-1 (D)y=lgx 与 y= lgx2 7.已知函数 y=ex 的图像与函数 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称,则( (A)f(2x)=e2x(x∈R) (B)f(2x)=ln2·lnx(x>0) (C)f(2x)=2ex(x∈R) (D)f(2x)=ln2+lnx(x>0) 8.如图,与函数 y=ax,y=logax,y=log(a+1)x,y=(a-1)x2 依次对应的图像是( (A)①②③④ (B)①③②④ (C)②③①④ (D)①④③② 9.(易错题)已知 ab>0,下面四个等式中: ①lg(ab)=lga+lgb; ②lg =lga-lgb; ③ lg( )2=lg ;
1 2 a b a b
[来源:学_科_网 Z_X_X_K] [来源:学.科.网]

1 2

)

)

a b

④lg(ab)=

1 log 10 (ab)

其中正确命题的个数为( (A)0 (B)1

) (C)2 (D)3

10.(2012·曲靖高一检测)设函数 f(x)=x3+bx+c 在[-1,1]上是增加的,且 f(- )·f( )<0,则方程 f(x)在[-1,1]内( (A)可能有 3 个实数根 (C)有唯一实数根
1 2 1 2

)

(B)可能有 2 个实数根 (D)没有实数根 )

11.下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的是( (A)y=-3
|x|
1

( B)y= x 3 (D)y=x-x2

(C)y=log3x2

12.(2012·杭州高一检测)衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积缩小,刚放 进的新丸体积为 a,经过 t 天后体积与天数 t 的关系式为:V=a·e-kt.若新丸经 过 50 天后,体积变为 a,则一个新丸体积变为 (A)125 天 (B)100 天 (C)75 天
4 9 8 a 需经过的天数为( 27

)

(D)50 天

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填在题 中的横线上) 13.计算:(1)log23·log3 2=___________; (2) (3 ? ?)2 =___________.
? x, x ? 0, 14.(2012·陕西高考)设函数 f(x)= ? 则 f(f(-4))=_________. ? 1 x ( ) , x < 0, ? ? 2
?e x , x ? 0, 1 14.设 g(x)= ? 则 g(g( ))=__________. 2 ?lnx, x>0,

15.(2012·南安高一检测)已知函数 f(x)=loga(2x-1)(a>0,a≠1)的图像恒过 定点 P,则 P 点的坐标是________. 16.(能力题)若 f(a+b)=f(a)·f(b),且 f(1)=2, 则
f ? 2? f ? 3? f ? 2 012? =___________. ? ??? f ?1? f ? 2? f ? 2 011?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤) 17.(10 分) (2012·嘉峪关高一检测)设集合 A={x|-5≤x≤3},B={x|x<-2 或 x>4},求 A∩B,( A)∪( B). 18.(12 分) (2012·福州八县联考)若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且 x∈(0,+∞)时,f(x)=2x. (1)求 f(x)的表达式; (2)在所给的坐标系中直接画出函数 f(x)的图像.(不必列表) 19.(12 分)已知函数 f(x)=log2(x-3). (1)求 f(51)-f(6)的值; (2)求 f(x)的定义域; (3)若 f(x)≥0,求 x 的取值范围. 20.(12 分) (能力题)已知函数 f(x)=2x,g(x)= (1)求函数 g(x)的值域; (2)求满足方程 f(x)-g(x)=0 的 x 的值. 21.(12 分)(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市 的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密
1 +2. x 2

度 x(单位: 辆/千米)的函数. 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时, 造成堵塞, 此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小 时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数, 单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小 时) 22.(12 分) (2012·晋江高一检测)已知函数 f(x)=xm- ,且 f(4)=3. (1)求 m 的值; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并应用单调性的定义给予证明.
4 x

答案解析

1.【解析】选 D.由题意 A∪B={x|0<x≤ 3 }. 2.【解析】选 D.结合幂函数的形式 y=xα可知,D 选项正确. 3.【解析】选 C.a=log20.3<0,b=20.1>1,0<c=0.21.3<1,所以 a<c<b. 4.【解析】选 C.因为函数 f(x)= -x 是奇函数,故其图像关于坐标原点对称. 5.【解析】选 C.≧1.438-1.406 5<0.1,结合选项可知 1.43 为方程的一个近似 根,故选 C. 6.【解析】选 B.≧y=
x2 ?1 与 y=x+1 的定义域不同,故 A 不正确; x ?1
1 x

≧y=x 与 y=logaax(a>0,a≠1)的定义域及对应法则均相同,故 B 正确; ≧y= x 2 -1 与 y=x-1 的值域不同,故 C 不正确; ≧y=lgx 与 y= lgx2 的定义域不同,故 D 不正确. 7.【解析】选 D.指数函数的反函数是对数函数,显然 y=f(x)=lnx,则 f(2x)=ln2x=ln2+lnx. 8.【解析】选 B.结合图像知 0<a<1,故与函数 y=ax,y=logax,y=log(a+1)x, y=(a-1)x2 依次对应的图像是①③②④,故选 B. 9.【解析】选 B.当 a<0,b<0 时,lga,lgb 无意义,故①②不正确;由于当 ab=1 时 log(ab)10 不存在,故④不正确;结合对数的运算性质可知③正确.故选 B. 【误区警示】本题在求解过程中常常忽略 lg(ab)= 10.【解析】选 C.≧f(x)在[-1,1]上是单调的, 且 f(- )·f( )<0, ?f(x)在[-1,1]上有唯一实数根. 11.【解析】选 A.是偶函数排除了 B,D;在区间(0,+≦)上单调递减排除了 C,
1 2 1 2 1 2

1 log 10 (ab)

中 ab≠1 而错选 C.

故选 A. 12.【解题指南】先利用“V=a·e-kt”及“新丸经过 50 天后,体积变为 a”求 出 e-k 的值,然后借助指数幂的运算求一个新丸体积变为 【解析】选 C.≧新丸经过 50 天后体积变为 a, ?由 V=a·e-kt 得 =e-50k,?e-k= ( ) 50 . ?由
8 8 t 3 4 t =e-kt 得 = ( ) 50 ,? ? ,?t=75. 27 27 50 2 9 4 9 4 9 8 a 需经过的天数. 27 4 9

4 9

1

13.【解析】(1)log23·log32= (2) (3 ? ?)2 = |3-π|=π-3. 答案:(1)1

lg3 lg2 · =1. lg2 lg3

(2)π-3
1 2

-4 14. 【解析】 ≧x=-4<0, ?f (-4) = ( ) =16, 因为 x=16>0, 所以 f (16) = 16 =4.

答案:4
1 ln 1 1 1 14.【解析】g(g( ))=g(ln )= e 2 = . 2 2 2

答案:

1 2

15.【解析】由题意可知,当 2x-1=1,即 x=1 时,f(x)=0, ?点 P(1,0). 答案:(1,0) 16. 【解题指南】 注意到分子分母间的变量相差 1, 故可先探索 f(a+1)与 f(a)· f(1) 的关系. 【解析】令 b=1,则 f(a+1)=f(a)·f(1)=2f(a), 即
f ? a ? 1? =2. f ?a ?

? 则

f ? 2? f ? 3? f ? 2 012 ? =2, =2,…, =2, f ?1? f ? 2? f ? 2 011? f ? 2? f ? 3? f ? 2 012? =4 022. ? ??? f ?1? f ? 2? f ? 2 011?

答案:4 022 17.【解析】≧A={x|-5≤x≤3},B={x|x<-2 或 x>4} , ?A∩B=[-5,-2), ( A)∪( B)=(-≦,-5)∪[-2,+≦). 18.【解析】 (1)≧f(x)为定义在 R 上的奇函数, ?f(0)=0. 当 x∈(-≦,0)时,-x∈(0,+≦),则 f(-x)=2-x. 又 f(x)为定义在 R 上的奇函数, ?f(-x)=-f(x),则 f(x)=-f(-x)=-2-x.
?2 x, x ? (0, ??), ? x ? 0, ?f(x)= ?0, . ??2? x,x ? (??, 0) ?

(2)

【举一反三】已知函数 f(x)=
[1, 4], ? ?log 2 x, x ? ? 2 ? ?? x ? 5 ? ? 1, x ? (4, 7].

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

(1) 在给定的直角坐标系内画出 f(x)的图像; (2)写出 f(x)的单调递增区间(不需要证明) ; (3)写出 f(x)的最大值和最小值(不需要证明). 【解析】(1)作图.

(2)单调递增区间为[1,4]与[5,7]. (3)最大值是 5;最小值是 0. 19.【解析】 (1)f(51)-f(6)=log2(51-3)-log2(6-3)=log2 48 =log216=4.
3

(2)由 x-3>0 得 x>3. (3)≧f(x)≥0,即 log2(x-3)≥0, ?x-3>0 且 x-3≥1,?x≥4, 即 x 的取值范围是[4,+≦). 【变式训练】已知函数 f(x)=ax-2(x≥0)的图像经过点(4, ), 其中 a>0 且 a≠1. (1)求 a 的值;
[来源:学科网 ZXXK]

1 9

(2)求函数 y=f(x)(x≥0)的值域.
1 9

[来源:Z_xx_k.Com]

【解析】(1)函数图像过点(4, ),
1 3 1 (2)由(1)知 f(x)=( )x-2(x≥0). 3

所以 a4-2=a2= ,?a= .

1 9

由 x≥0,得 x-2≥-2,?0<( )x-2≤( )-2=9, ?函数 y=f(x)(x≥0)的值域为(0,9] . 20.【解析】 (1)g(x)=
1 2 1 1 +2=( )|x|+2, x 2 2

1 3

1 3

因为|x|≥0,所以 0<( )|x|≤1, 即 2<g(x)≤3,故 g(x)的值域是(2,3]. (2)由 f(x)-g(x)=0,得 2x1 -2=0, x 2

当 x≤0 时,显然不满足方程, 即只有 x>0 满足 2x1 -2=0, 2x

整理得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2,故 2x=1〒 2 . 当 x>0 时,2x>1,故 2x=1+ 2 ,?x=log2(1+ 2 ). 21.【解析】(1)由题意知当 0≤x≤20 时,v(x)=60; 当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b(a≠ 0),
1 ? a=- , . ? ?200a+b=0, ? 3 再由已知得 ? 解得 ? ?20a+b=60, ? b= 200 ? 3 ?

故函数 v(x)的表达式为 v(x)= ? ?1
?60, (200-x), ? ?3 0 ? x ? 20, . 20<x ? 200

(2)依题意并由(1)可得
0 ? x ? 20, ?60x, ? f(x)= ? 1 x(200-x), 20<x ? 200. ? ?3

当 0≤x≤20 时,f(x)为增加的,故当 x=20 时,其最大值为 60〓20=1 200;

当 20<x≤200 时, f(x)= x(200-x)=- (x-100)2+
1 3 1 3 10 000 , 3

10 000 . 3 10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333, 3

所以,当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/ 小时. 22.【解析】 (1) ≧f(4)=3,?4m- =3,?m=1. (2) 因为 f(x)=x- , 定义域为{x|x≠0}, 关于原点成对称区间, 又 f(-x)=-x=-(x- )=-f(x),所以 f(x)是奇函数. (3)f(x)在(0,+≦)上单调递增,证明: 设 x1>x2>0,则 f(x1)-f(x2)=x1=(x1-x2)(1+
4 4 -(x2- ) x1 x2
4 x 4 x 4 ?x 4 4

4 ). x1 x 2 4 >0, x1 x 2

因为 x1>x2>0,所以 x1-x2>0,1+ 所以 f(x1)>f(x2),

因此 f(x)在(0,+≦)上为单调递增的.


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