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云南省玉溪一中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学(理) Word版含答案

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玉溪一中高 2016 届高二上学期 12 月月考数学
理 科 试 题
命题人:龚其斌 耿兴沛

一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分共 60 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的)。 1. 不等式 x 2 ? 2 x 的解集是( A. ? x x ? 2?
B.? x x ? 2?


C.? x 0 ? x ? 2? D.? x x ? 0或x ? 2?

2. S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, a 2 ? a8 ? 6 ,则 S 9 ? ( A. 27
2

)

B.108

C.54

D. 27 )
开始

3.“命题 ?x ? R, x 2 ? ax ? 4a ? 0 为假命题”是“ ?16 ? a ? 0 ”的( A.充要条件 C.充分不必要条件 4.抛物线 y ? A. y ? ?1 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D. y ? ?
1 16


S ? 0, n ? 1

1 2 x 的准线方程是( 4

S ? S ?n n ? 2n

B. x ? ?1

C. x ? ?

1 16

5.执行如图所示的程序框图,若输出 S ? 15 , 则框图中①处可以填入( A. n ? 4 B. n ? 8 ) D. n ? 16 )
结束
2

① 是 输出 S

C. n ? 16

6.若 a, b, c 为实数,则下列命题正确的是( A.若 a ? b ,则 ac ? bc
2 2

B.若 a ? b ? 0 ,则 a ? ab ? b 2 D.若 a ? b ? 0 ,则 ,则 的最小值是( D. 1
2

C.若 a ? b ? 0 ,则 7.已知 A. 4

1 1 ? a b

b a ? a b

)

B. 3

C. 2
2

8.若 ab≠0,则 ax-y+b=0 和 bx +ay =ab 所表示的曲线只可能是(



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9.在 △ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边长分别是 a, b, c .若 sin C ? sin( B ? A) ? sin 2 A , 则 △ ABC 的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 10. 过双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 引它的一条渐近线的垂线, a2 b2

垂足 为 M ,延长 FM 交 y 轴于 E ,若 M 为 EF 的中点,则双曲线的离心率为 ( A. 2 ) B. 3 C. 3 D. 2
2

11.如图所示,是一个空间几何体的三视图,且这个空间 几何体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表 面积是( ) 49 7 28 28 A. ? B. ? C. ? D. ? 9 3 3 9
正视图 侧视图

2

2

2 俯视图
2

12.椭圆

x ? y 2 ? 1的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 P, F1 , F2 是一 4

3 3

个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( A. 或
1 2
3 3

B.

C.

1 2

D.以上均不对 .

二.填空题:(本大题共 4 题,每题 5 分共 20 分)。 13. 在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为

?x ? 2 y ? 4 ? 0 y?2 ? x?0 14、若实数 x, y 满足 ? ,则 z ? 的取值范围为 x ?1 ? y?0 ?
15. 若 等 边 ?ABC 的 边 长 为 2 , 平 面 内 一 点 M 满 足 CM ? CB ? CA , 则
MA ? MB ?
1 3 1 2

.

16.下列 4 个命题: ①“如果 x ? y ? 0 ,则 x 、 y 互为相反数”的逆命题 ②“如果 x 2 ? x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的否命题

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③在 ?ABC 中, “ A ? 30 ? ”是“ sin A ?

1 ”的充分不必要条件 2

④“函数 f ( x) ? tan( x ? ? ) 为奇函数”的充要条件是“ ? ? k? (k ? Z ) ” 其中真命题的序号是_________. 三、解答题(本大题共计 6 小题,总分 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 函数 y ? A sin(? x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

) 的最小值是 ?2 ,在一个周期内图象最

高点与最低点横坐标差是 3? ,图象又过点 ? 0,1? , 求: (1)函数解析式, (2)函数的最大值、 以及达到最大值 时 x 的集合; 18.(本小题满分 12 分) 某校从参加某次知识竞赛的同学中,选 取 60 名同学将其成绩(百分制,均为整 数 ) 分 成 [40,50) , [50,60) , [60,70) ,
[70,80) , [80,90) , [90,100] 六组后,得到

部分频率分布直方图(如图) ,观察图形 中的信息,回答下列问题. (1)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数; (3)若从第 1 组和第 6 组两组学生中,随机抽取 2 人,求所抽取 2 人成绩之差的 绝对值大于 10 的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥中 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,

?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点.
(1)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (2) 若 平 面 PAD ? 平 面 ABCD , 且 PA ? PD ? AD ? 2 , 点 M 在 线 段 PC 上 , 且

P

D

C
B

Q
A

PM ? 2MC ,求三棱锥 P ? QBM 的体积.
20.(本小题满分 12 分)

各项均不相等的等差数列 ?an ? 的前四项的和为 S 4 ? 14 ,且 a1,a3,a7 成等比数 列.

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(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an 与前 n 项和 S n ;

? 1 ? (2)记 Tn 为数列 ? ? 的前 n 项和,求 Tn ? a n ? a n ?1 ?
21. (本 小题 满分 12 分 )设 ?ABC 的内 角 A, B, C 的对边 分别 为 a, b, c ,满足
2a sin A ? (2b ? 3c) sin B ? (2c ? 3b) sin C .

(1)求角 A 的大小; 22. (本小题满分 12 分)

(2)若 a ? 2 , b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积.

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 右焦点 F2 的直线交椭圆于 A , B 两点, F1 为其左焦 a 2 b2 3 点,已知△ AF1 B 的周长为 8,椭圆的离心率为 . 2 (Ⅰ)求椭圆的标准方程;
过椭圆
→ (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点 P,Q,且 OP → ⊥OQ ?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.

玉溪一中高 2016 届高二上学期 12 月月考理科数学试题 参考答案
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D B D A B A C 二.填空题:(本大题共 4 题,每题 5 分共 20 分)。 13. ; 15. 3/5 ; 9 D 10 D 11 C 12 A

2 14. , (??,?4] ? [ ,??) 3

-8 / 9

;

16.

①②

.

三、解答题(本大题共计 6 小题,总分 70 分) 17.(本题 10 分) 解(1)易知:A = 2 半周期
从而: ? ?

T ? 3? 2

∴T = 6 ? 即

2?

?

? 6? ( ? ? 0 )

1 3

设: y ? 2sin( x ? ? )

1 3

令 x=0

有 2sin ? ? 1 又:| ? |?

?
2

∴? ?

?
6

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∴所求函数解析式为 y ? 2 sin( x ? (2)令

1 ? 1 ? ? x ? ? 2k? ? ,即 x ? 6k? ? ? 时, y ? 2 sin( x ? ) 有最大值 2,故当 3 6 2 3 6 1 ? ?x | x ? 6k? ? ? , k ? z?时, y ? 2 sin( x ? ) 取最大值 2 . ??10 分 3 6 18. 解: (1) 0.3 ????????????2 分 220 (2) ????????????6 分 3
(3)第 1 组: 60 ? 0.1 ? 6 人(设为 1,2,3,4,5,6) 第 6 组: 60 ? 0.1 ? 3 人(设为 A,B,C) 共有 36 个基本事件,满足条件的有 18 个,所以概率为

1 3

? ) ?????5 分 6

1 ????12 分 2

19. (1)? PA ? PD , Q 为 AD 的中点,? PQ ? AD ,又? 底面 ABCD 为菱形,

?BAD ? 60? ,? BQ ? AD ,又 PQ ? BQ ? Q ? AD ? 平面 PQB ,又
? AD ? 平面 PAD ,? 平面 PQB ? 平面 PAD ;----------------------------6 分
(2)? 平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , PQ ? AD

? PQ ?





ABCD ,

BC ?





ABCD

,

? PQ ?

BC

,



BC ? BQ , QB ? QP ? Q , ? BC ? 平面 PQB ,又 PM ? 2 MC ,
? VP ?QBM ? VM ? PQB ?

1 1 2 2 ? ? 3 ? 3 ? ? 2 ? ---------------------------12 分 3 2 3 3

20. 解:1)设数列
解得 所以 或 ,解得

的公差为 由数列 .

,由已知得

2分 3分

的各项均不相等,所以 4分





6分

(2)因为

9分

所以

12 分

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21.解: (Ⅰ)由已知及正弦定理可得 2a 2 ? (2b ? 3c)b ? (2c ? 3b)c ,
整理得 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc , 所以 cos A ? ?????????? 2 分 ?????????? 4 分

3 . 2

? . ?????????? 5 分 6 a b ? (Ⅱ)由正弦定理可知 ,又 a ? 2 , b ? 2 3 , A ? , ? sin A sin B 6
又 A ? (0, ? ) ,故 A ? 所以 sin B ? 又 B ? (0, 若B?

3 . 2

?????????? 6 分 ?????????? 8 分

5? ? 2? . ) ,故 B ? 或 6 3 3

? ? 1 ,则 C ? ,于是 S ?ABC ? ab ? 2 3 ; ?????????? 10 分 3 2 2 2? ? 1 若B? ,则 C ? ,于是 S ?ABC ? ab sin C ? 3 . ………………………… 12 分: 3 6 2

(1)

+y2=1( 2)存在圆心在原点的圆 x2+y 2=

满足条件

(1)由已知得

解得

∴b2=a2-c2=1,

故椭圆Γ的方程为

+y2=1.

(2)假设满足条件的圆存在,其方程为 x2+y2=r2(0< r<1). 当直线 PQ 的斜率存在时,设其方程为 y=kx+t,



消去 y 整理得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0.

设 P (x1,y1),Q(x2,y2),

则 x1+x2=-

,x1x2=

.①

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,∴x1x2+y 1y 2=0.

又 y1=kx1+t,y 2=kx2+t, ∴x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0, 即(1+k 2)x1x2+kt(x1+x 2)+t2=0. ②

将①代入②得

+t2=0

即 t2=

(1+k 2).

∵直线 PQ 与圆 x2+y2=r 2 相切,

∴r=

∈(0,1),

∴存在圆 x2+y2=

满足条件.

当直线 PQ 的斜率不存在时,也适合 x2+y2=

.

综上所述,存在圆心在原点的圆 x2+y2=

满足条件.


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