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2009学年第二学期徐汇区高三数学(文科)学习能力诊断卷(附答案)


2009 学年第二学期徐汇区高三年级数学学科(文科试卷)
一. (120 分钟,满分 150 分) 填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分)
x ?1 的定义域是________________. x?2

2010.4

1.函数 y ?

1 ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 1

} ,则 A ? B ? _______________. 2 3 3.已知△ABC 中, cot A ? ? ,则 cos A ? _______________. 4
2.设集合 A ? {x | ? 4. 若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? 2an (n ? N ) ,则前 6 项的和 S 6 ? 字作答) 5. ( x ? 2) 的展开式中 x 的系数为_____________.
6
?

.(用数

3

6.若球 O1、O2 表示面积之比

S1 R ? 9 ,则它们的半径之比 1 =_____________. R S2 2

7.函数 f ( x) ? 2 x ? 4( x ? 4) 的反函数为________________.
4 2 k 8.三阶行列式 ? 3 5 4 第 2 行第 1 列元素的代数余子式为 ?10 ,则 k ? ____________. ?1 1 ? 2

? x ? y ? 2 ? 0, ? 9.若实数 x, y 满足 ? x ? 4, 则 s ? x ? y 的最大值为 ? y ? 5, ?

.

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 ?F1 PF2 的大小为 10.椭圆 9 2
_______________. 11.一个几何体的三个视图都是等腰直角三角形(如图) ,且直角边长为 1, 则此几何体的体积为 . 12.有 5 只苹果,它们的质量分别为 125 a 121 127(单位:克) :若该样本的 b 中位数和平均值均为 124 , 则该样本的标准差 s =_____________.(克) (用数字作答) 13.某学生参加一次世博志愿者测试,已知在备选的 6 道试题中,预计该学生能答对 4 题, 但有 2 题会答错。 规定每位考生都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试, 答对 2 题或 3 题则 通过测试,则该学生通过测试的概率是______________.(用数值表示) 14.设 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?1.5? ? 1, ? ?1.5? ? ?2 . 若集合 A ? x x ? ? x ? ? 1 ? 0 , B ? ? x
2

?

?

? 1 ? ? 2 x ? 4 ? ,则 A ? B =_________. ? 2 ?
1

二.选择题: (本题满分 16 分,每小题 4 分) 3?i 15. 复数 等于---------------------------------------------------------------------------------( 1? i
A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i



16.下列函数中,与函数 y ? A . f ( x) ? log 2 x

1 有相同定义域的是--------------------------------------( x



B. f ( x) ?

1 x

C. f ( x) ?| x |

D. f ( x) ? 2

x

17.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则------------------------( A. PA ? PB ? 0

??? ? ??? ?

??? ?



B

??? ? ??? ?

?

B. PB ? PC ? 0

??? ? ??? ?

?

C. PC ? PA ? 0

??? ? ??? ?

?

D. PA ? PB ? PC ? 0 C

??? ? ??? ? ??? ?

?

A

P 第 17 题图

2 2 18. 已知 AC , BD 为圆 O : x ? y ? 4 的两条互相垂直的弦, AC , BD 交于点 M 1, 2 ,

?

?

且 AC ? BD ,则四边形 ABCD 的面积等于----------------------------------------------( A4 B5 C6 D7



三. 解答题: (本大题共 5 题,满分 78 分) 19 . ( 本 题 满 分 14 分 ) 在 ?ABC 中 , a 、 b 、 c 是 ?A 、 ?B 、 ?C 的 对边 , 已知
?B ? 450 , ?C ? 600 ,
a?2

?

3 ? 1 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC .

?

20. (本题满分 14 分)求满足

z ?1 2 ? 1 且 z ? ? R 的复数 z . z ?1 z

21. (本题满分 16 分,第一小题 8 分;第二小题 8 分)

足b ?i ? a . (1) 求点 P ? x, y ? 的轨迹方程; (2) 过点

? ?

已知 i , j 是 x, y 轴正方向的单位向量, 设 a = ( x ? 3)i ? yj , b = ( x ? 3)i ? yj ,且满

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

3, 0 的直线 l 交上述轨迹于 A, B 两点,且 AB ? 8 3 ,求直线 l 的方程.

?

22. (本题满分 16 分;第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分,第三小题 6 分) 已知函数 f ( x) ?

x?a (a ? 0) ax
2

(1)判断并证明 y ? f ( x) 在 x ? (0,??) 上的单调性; (2)若存在 x0 ,使 f ? x0 ? ? x0 ,则称 x0 为函数 f ? x ? 的不动点,现已知该函数有且仅有一 个不动点,求 a 的值; (3)若 f ( x) ? 2 x 在 x ? (0,??) 上恒成立 , 求 a 的取值范围.

23. (本题满分 18 分;第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 8 分) 设数列 ?an ?? n ? 1, 2,?? 是等差数列,且公差为 d ,若数列 ?an ? 中任意(不同)两项之和 仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”. (1)若 a1 ? 4, d ? 2 ,求证:该数列是“封闭数列” ; (2)试判断数列 an ? 2n ? 7 n ? N

?

?

,为什么? ? 是否是“封闭数列”

(3)设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,若公差 d ? 1, a1 ? 0 ,试问:是否存在这样的“封闭数 列” ,使 lim ?

?1 1 1 ? ?? ? n ?? S Sn ? 1 S2

? 11 ? ? ;若存在,求 ?an ? 的通项公式,若不存在,说明理由. ? 9

3

2009 学年第二学期徐汇区高三年级数学学科 学 习 能 力 诊 断 卷 文科试卷参考答案及评分标准(2010.4)
一. 填空题: 1. ? ??, ?2 ? ? [1, ??) 2. {x ?1 ? x ? 2} 5.160 9.9 13. 6.3 10. 120
?

3. ?

3 5

4. 63 8. ?14 12. 5

7. f ?1 ( x) ?

4 5

14. 15.D

? 2?
16.A 17.C

1 2 x ? 2( x ? 2) 2 1 11. 6

二.选择题: 三.解答题:

18.B

19.解: A ? 180 ? ? B ? C ? ? 75 ,--------------------------------------------------------------2 分
0 0

sin A ? sin 750 ? sin ? 450 ? 300 ? ?

6? 2 ----------------------------------------------------6 分 4

由正弦定理

2 3 ?1 a b b ? ? ? ? b ? 4 ,-----------------------------------10 分 sin A sin B 6? 2 2 4 2

?

?

∴ S?ABC ?

1 1 ab sin C ? ? 2 2 2

?

3 ?1 ? 4 ?

?

3 ? 6 ? 2 3 。----------------------------14 分 2

20.解:设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,-------------------------------------------------------------------2 分



z ?1 ? 1 ? z ?1 ? z ?1 , z ?1

即 ? a ? 1? ? bi ? ? a ? 1? ? bi

? ? a ? 1? ? b 2 ? ? a ? 1? ? b 2 ,得 a ? 0 ,-------------------------------------8 分
2 2

? z ? bi ,又由 bi ?
b?

2 ?R得 bi

2 ? 0 ? b ? ? 2 ? z ? ? 2i ------------------------------------------- 14 分 b ? ? ?2 ? ? 21.解:(1)? b ? i ? ( x ? 3)i ? yi ? j ? x ? 3 ,------------------------------2 分
4

∴x? 3 ?
2

( x ? 3) 2 ? y 2 ,--------------------------------------------5 分

化简得 y ? 4 3 x ,-----------------------------------------------------8 分 (2) 设 l : x ? ty ? 3 , 由 ? 分 设 A ? x1 , y1 ? 、 B( x2 , y2 ) 由 AB ? 8 3 得

? ? x ? ty ? 3 ? ? y ? 4 3x
2

? y 2 ? 4 3 ty ? 3 ? y 2 ? 4 3ty ? 12 ? 0 --10

?

?

1?


1 1 y1 ? y2 ? 1 ? 2 ? 2 t t

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2 ? 1 ?

1 ? t2

? 4 3t ?

2

? 48 ? 8 3

----12

1?

1 ? t 2 ? 1 ? 2 ? t 2 ? 1 ? t ? ?1 ,----------------------------------------------------------14 分 2 t

所以直线 l 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 或 x ? y ? 3 ? 0 .-------------------------------------------16 分 22.解: (1) f ( x) ?

1 1 ? a x

对任意的 x 1 , x 2? (0, ??)且x 1 ? x 2 ------------------------------------------- 1 分

x ?x 1 1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 1 2 -------------------------------- 3 分 a x1 a x2 x1 x 2
∵ x1 ? x 2 ? 0 ∴ x1 ? x 2 ? 0, x1 x 2 ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,函数 y ? f ( x) 在 x ? (0,??) 上单调递增。----------------5 分

x?a ? ax 2 ? x ? a ? 0 ,------------------------------------7 分 ax 1 2 令 ? ? 1 ? 4a ? 0 ? a ? (负值舍去)--------------------------------------9 分 2 1 1 2 1 2 2 将 a ? 代入 ax ? x ? a ? 0 得 x ? x ? ? 0 ? x ? 2 x ? 1 ? 0 ? x0 ? 1 --------10 分 2 2 2 1 1 (3)∵ f ( x) ? 2 x ∴ ? 2 x ? ----------------------------------------12 分 a x
(2)解:令 x ? ∵x?0 ∴ 2x ?

2 1 )--------------------14 分 ? 2 2 (等号成立当 x ? 2 x
? 2 ? 2 , ?? ? ? a 的取值范围是 ? ? ? -------- 16 分 4 ? 4 ?
5



1 1 ? (2 x ? ) a x

min

?2 2?a?

23. (1)证明: an ? 4 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 2 ,-------------------------------------------------1 分 对任意的 m, n ? N ,有
?

am ? an ? ? 2m ? 2 ? ? ? 2n ? 2 ? ? 2 ? m ? n ? 1? ? 2 ,---------------------------------------------3 分

? m ? n ? 1? N ? 于是,令 p ? m ? n ? 1 ,则有 a p ? 2 p ? 2 ? ?an ? -------------------------5 分
(2)? a1 ? ?5, a2 ? ?3,? a1 ? a2 ? ?8 ,---------------------------------------------------------7 分 令 an ? a1 ? a2 ? ?8 ? 2n ? 7 ? ?8 ? n ? ? 所以数列 an ? 2n ? 7 n ? N

1 ? N ? ,-----------------------------------------9 分 2

?

?

? 不是封闭数列;---------------------------------------------------10 分
? ?

(3)解:由 ?an ? 是“封闭数列” ,得:对任意 m, n ? N ,必存在 p ? N 使

a1 ? ? n ? 1? ? a1 ? ? m ? 1? ? a1 ? ? p ? 1? 成立,----------------------------------------------------11 分
于是有 a1 ? p ? m ? n ? 1 为整数,又? a1 ? 0 ? a1 是正整数。-------------------------------13 分 若 a1 ? 1 则 Sn ?

?1 1 1 n(n ? 1) ?? ? ,所以 lim ? ? n ?? S Sn 2 ? 1 S2

? 11 ? ? 2 ? ,-----------------------14 分 9 ?

若 a1 ? 2 ,则 Sn ?

?1 1 1 ? 11 n(n ? 3) ? ? ? ? ? ,------------------------16 分 ,所以 lim ? ? n ?? Sn ? 9 2 ? S1 S 2

若 a1 ? 3 ,则 S n ?

n(2a1 ? n ? 1) n ? n ? 3? ? ,于是 2 2
? 11 ? ? ,------------------------------------------17 分 ? 9

?1 1 1 1 2 ?? ? ? ,所以 lim ? ? n ?? S Sn S n n(n ? 3) ? 1 S2
综上所述, a1 ? 2,? an ? n ? 1 n ? N

?

?

。---------------- 18 分 ? ,显然,该数列是“封闭数列”

6


2009学年第二学期徐汇区高三数学(文科)学习能力诊断卷(附答案)

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