nbhkdz.com冰点文库

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料6


第6节函数的奇偶性和周期性
【重点知识梳理】 一、函数的奇、偶性和周期性 1.奇、偶函数的有关性质: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件; (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反之亦然; (3)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0; (4)利用奇函数的图象关于原点对称可知,奇函数在原点两侧的对称区间

上的单调性相 同;利用偶函数的图象关于 y 轴对称可知,偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反. 2.若函数满足 f(x+T)=f(x),由函数周期性的定义可知 T 是函数的一个周期;应注意 nT(n∈Z 且 n≠0)也是函数的周期. 二、利用定义判断函数奇偶性的方法 (1)首先求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件; (2)如果函数的定义域关于原点对称,可进一步判断 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是否对 定义域内的每一个 x 恒成立(恒成立要给予证明,否则要举出反例). 【注意】判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(-x)与 f(x)的关系, 只有对各段上的 x 都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.
?1,x∈Q, ? ex-1 例 1 、设 Q 为有理数集,函数 f(x) = ? g(x) = x ,则函数 h(x) = e +1 ? ?-1,x∈?RQ,

f(x)· g(x)(

) B.是偶函数但不是奇函数 D.既不是偶函数也不是奇函数

A.是奇函数但不是偶函数 C.既是奇函数也是偶函数 三、函数奇偶性的应用

(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式. 利用奇偶性关于 f(x)的方程,从而可得 f(x)的解析式. (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数. 常常采用待定系数法:利用 f(x)± f(-x)=0 产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可 得知字母的值. (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函 数在关于原点对称的区间上的单调性相反.

例 2、 (1)(已知 y=f(x)+x2 是奇函数, 且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2, 则 g(-1)=___-1___. f?x?+f?-x? (2)设偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0,则不等式 >0 的解 x 集为 ( ) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2)

A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) 四、周期性及其应用 1.周期性常用的结论:

对 f(x) 定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; 1 (2) 若 f(x+a)= ,则 T=2a; f?x? 1 (3) 若 f(x+a)=- ,则 T=2a. f?x? 2.周期性与奇偶性相结合的综合问题中,周期性起到转换自变量值的作用,奇偶性起 到调节符号作用. 例 3. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x, 恒有 f(x+2)=-f(x). 当 x∈[0,2] 时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式. 五、抽象函数 抽象函数是高中数学的难点, 大多数同学感觉找不着头绪, 对抽象函数的研究往往要通 过函数的性质来体现,如函数的奇偶性、单调性和周期性.利用赋值法将条件进行转化是解 决抽象函数问题的重要策略.下面从 5 个不同的方面来探寻一些做题的规律. 1.抽象函数的定义域 抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域,利用代换法得到不等式(组)进行求解. 例 4. 已知函数 y = f(x) 的定义域是 [0,8] ,则函数 g(x) = ________. f?x2-1? 的定义域为 2-log2?x+1?

2.抽象函数的函数值 例 5.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则 f(-2)

=(

)

A.2

B.3

C.6

D.9

3.抽象函数的奇偶性 函数的奇偶性就是要判断-x 对应的函数值与 x 对应的函数值之间的关系,从而得到函 数图象关于原点或 y 轴对称,结合函数的图形作出进一步的判断. 例 6.已知函数 f(x)对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)· f(y),且 f(0)≠0,求证: f(x)是偶函数.

4.抽象函数的单调性与抽象不等式 高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点, 常出现一些综合性问题, 利用导数进 行判断求解, 并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围, 再根据单 调性求解或证明抽象不等式问题. 5.抽象函数的周期性 有许多抽象函数都具有周期性, 特别是在求自变量值较大的函数值时, 就要考虑寻找函 数的周期,从而利用周期把函数值转化为已知求出. 1 例 7. 已知函数 f(x)满足:f(1) = , 4f(x)f(y) = f(x+ y)+ f(x- y)(x, y∈R),则 f(2014)= 4 ________.

【高频考点突破】 考点一 函数奇偶性的判断 例1 (1)下列函数为偶函数的是( B.y=x3 ) C.y=ex ) D.y=ln x2+1

A.y=sinx

(2)下列命题中,正确命题的个数是(

①函数 f(x)= 2-|x|- |x|-2既是奇函数又是偶函数; 9-x2 ②函数 f(x)= 是奇函数; |x+4|-4

2 ? ?x +x(x<0), ? ③f(x)= 2 是偶函数. ? ?x -x(x>0)

A.0

B.1

C.2

D.3 )

【变式探究】 (1)已知二次函数 f(x)=x2-ax+4, 若 f(x+1)是偶函数, 则实数 a 的值为( A.-1 B.1 C.-2 D.2 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-3,则 f(-2)=( 1 A.1 B.-1 C. 4 D.- 11 4 )

考点二 函数的单调性与奇偶性 例 2、(1)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 B.y=-x3 1 C.y= x D.y=x|x| )

(2)对于函数:①f(x)=|x+2|;②f(x)=(x-2)2;③f(x)=cos(x-2).有如下两个命题: 命题甲:f(x+2)是偶函数; 命题乙:f(x)在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数. 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( A.①② B.①③ C.② D.③ )

【变式探究】 (1)已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x+8)为偶函数,则 ( ) A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) ) D.f(7)>f(10)

(2)已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)

B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)

考点三 函数的奇偶性与周期性 例 3、 (1)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意 x∈R 都有 f(x)=f(x+4), 当 x∈[- 2,0)时,f(x)=2x,则 f(2 014)-f(2 013)的值为( 1 A.- 4 B. 1 4 C.4 D.-4 )

3? (2)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则 f? ?2? =________.

考点四 函数性质的综合应用 例 4、(1)已知函数 f(x+1)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1,x2, 不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 恒成立,则不等式 f(1-x)<0 的解集为( A.(1,+∞) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(-∞,1) )

4 (2)已知函数 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=x+ ,且当 x∈[-3,-1]时,n≤f(x)≤m x 恒成立,则 m-n 的最小值是________.

【当堂巩固】 lg? 1 -x2? 1.函数 f(x)= 是( |x+3|-3 A.奇函数 B.偶函数 ) C.既是奇函数又是偶函数 ) D.2 D.非奇非偶函数

2.若函数 y=(x+1)(x-a)为偶函数,则 a=( A.-2 B.-1 C.1

1? 3.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f? ?3?的 x 的取值范围 是( ) 1 2? A.? ?3,3? 1 2? B.? ?3,3? 1 2? C.? ?2,3? 1 2? D.? ?2,3? )

4. 若函数 f(x)、 g(x)分别是 R 上的奇函数、 偶函数, 且满足于 f(x)-g(x)=ex, 则有( A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2) C.f(2)<g(0)<f(3) D.g(0)<f(2)<f(3)

1 ? 5.函数 f(x)=loga2x-2logax,(a>0 且 a≠1)在区间? ?2,2?上为减函数,则实数 a 的取值 范围为( ) B.(0,1)∪(2,+∞) C.[2,+∞) D.(1,+∞) )

A.(0,1)∪(1,2]

6.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(1)<f(80)<f(-25) B.f(80)<f(11)< f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

7.函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x- 1)都是奇函数,则(

)

A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数 8.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x >0 时,f(x)=1-2 x,则不等式 f(x)<-


1 的解集是( 2

) B.(-∞,-1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)

A.(-∞,-1)

9.已知对于 任意实数 x,函数 f(x)满足 f(-x)=f(x).若方程 f(x)=0 有 2 015个实数 解,则这 2 015个实数解之和为__________. 10.函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是增函数,若 f(1)=0,求不等式

?x-1??<0 的解集. f? x ? ? 2??


杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料6

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料6_数学_高中教育_教育专区。专题七 不等式 ?x ? y ≤ 0 , ? 1.(15 北京理科)若 x , y 满足 ? x ? y ≤...

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料6

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料6_数学_高中教育_教育专区。第5讲 平【2016 年高考考点定位】 面 向 量 高考对向量的概念及线性运算、平面向量基 本...

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料6

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料6_数学_高中教育_教育专区。第6节函数的奇偶性和周期性【重点知识梳理】 一、函数的奇、偶性和周期性 1.奇、偶函数的...

杨浦高中补习班杨浦高中培训机构新王牌数学资料6

杨浦高中补习班杨浦高中培训机构新王牌数学资料6_数学_高中教育_教育专区。定语从句例题: 1. The road conditions there turned out to be very good, ___ was...

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料7

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料7_数学_高中教育_教育专区。第6讲 1. 2. 3. 4. 矩阵的有关概念: 矩阵变换: 矩阵的运算: 矩阵的运算律: 矩 阵 ...

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料9

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料9_数学_高中教育_教育专区。第8讲一...4 C. 3 D.6 6.【四川省雅安中学 2014 届高三下期 3 月月考数学(文) ...

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料8

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料8_数学_初中教育_教育专区。专题九 ...( k=k+1 开始 (D)6 【答案】B 考点:程序框图. ) 结束 k≥3 A.2 B...

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料1

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料1_数学_高中教育_教育专区。第1节 ...UM={2,3},则实数 p 的值是 ( ) A.-4 B.4 C.-6 D.6 考点三 ...

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料5

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料5_数学_高中教育_教育专区。专题六 数列 1.(15 北京理科)设 ?an ? 是等差数列. 下列结论中正确的是 A.若 a1 ? ...

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料15

杨浦高中补习班杨浦培训机构新王牌数学资料15_数学_高中教育_教育专区。专题十八 ...x 的系数等于 2 . (用数字作答) 6.(15 年新课标 1 理科) 的展开式中,...