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河北省2012年普通高中高考模拟考试 数学文


河北省 2012 年普通高考模拟考试

数 学 试 题(文)
本试卷分第 I 卷和第 1l 卷两部分。共 to 页,时间 150 分钟,满分 300 分。考试结束后, 将本试 卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色.墨水签字笔将自己的姓名、准 考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号

、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。
A 4 B } 1 . 设 全 集 U ?{ 1 , 2 , 3 , ? , 5 , 6 ? , { , 2 ( ?} , 1则 CU , A3 B ) , = { 3 , 4 , 5

( A.{1,2,3} C. ? 2.复数
3?i 1 ? 3i ?

) B.{1,2,4,5,6} D.{1,2,3,4,5,6}

A.i

( ) B.-i

C.2i

D.-2i
x

, ( = 3 . 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f ( x ) ? 2 ? 3则 f ? 2 )

( A.1 B.-1

) C.
1 4

D. ?

11 4

4.已知数列 { a n } 为等差数列,若 a 2 ? 3, a1 ? a 6 ? 12 ,则 a 7 ? a 8 ? a 9 = ( ) B.36
2

A.27

C.45

D.63

5.已知抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 到抛物线焦点的距离为 ( A. 10 C. 15 ) B.4 D.5

6.如图是一个容量为 200 的样本频率分布直方图,则样本 数据落在范围 ?13,17 ? 的频数为 A.81 C.24 7.函数 f ( x ) ? 2 ?
x

( B.36 D.12



1 2

x ? 2 的其中一个零点所在的区间为


1 A. (0, ) 2



8.设函数 f ( x ) ? 则( )

3 3 C. (1, ) D. ( , 2) 2 2 ? 3 cos(2 x ? ? ) ? sin(2 x ? ? )(| ? |? ) ,且其图象关于直线 x ? 0 对称, 2

1 B. ( ,1) 2

A. y ? f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, B. y ? f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, C. y ? f ( x ) 的最小正周期为 D. y ? f ( x ) 的最小正周期为
x
2

?
2

) 上为增函数 ) 上为减函数 ) 上为增函数 ) 上为减函数
y
2

?
2

?
2 ? 2

,且在 (0, ,且在 (0,
x

?
4

?
4
2

9.已知椭圆 C1 : 取值范围为

m?2

?

y

2

n

? 1 与双曲线 C 2 :

m

?

n

? 1 共焦点,则椭圆 C1 的离心率 e 的

( A. (
2 2 ,1)


2 2 )

B. (0,

C. (0,1)

1 D. (0, ) 2

10 . 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 此 几 何 体 的 对 应 直 观 图 中 ? PAB 的 面 积 为 ( ) A. 7 B. 2 C. 3 D. 5

11.根据如图所示程序框图,若输入 m=2146,n=1813,则输出 m 的值为 ( ) A.1 B.37 C.148 D.333
? | 2 x ? 1 |, x ? 2 ? 12.已知函数 f ( x ) ? ? 3 ,则 f ( x ) 的值域为 ,x ? 2 ? ? x ?1

( A. ? 0, ?? ?

) C. ?1, ?? ? D. [0, 3]

B. [1, 3]

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必 须做答。 第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13 . 已 知 向 量 a ? ( ? 3, 4), b ? (2, ? 1) , ? 为 实 数 , 若 向 量 a ? ? b 与 向 量 b 垂 直 , 则

?=


n ?1

14 . 已 知 数 列 { a n } 满 足 a n ? 2
Sn =

? 2 n ? 1( n ? N ) , 则 数 列 { a n } 的 前 n 项 和
*



? 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 ? 15 . 若 变 量 x , y 满 足 线 性 约 束 条 件 ? x ? 4 y ? 8 ? 0 , 则 z ? 2 x? y的 最 大 值 ?x ?1 ? 0 ?





16.在三棱柱 ABC— A ' B ' C ' 中,已知 AA ' ? 平面 ABC,AB=AC= AA ' ? 2, BC ? 2 3 ,且此

三棱柱的各个顶点都在一个球面上,则球的表面积为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)



在 ? ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (2 a ? c ) cos B ? b cos C . (1)求 B; (2)设 b ? 2 3 , a ? c ? 6 ,求 ? ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形,AB=2, BC ? 形,平面 PAB ? 平面 ABCD,E 是棱 PA 的中点。 (1)求证:PC//平面 EBD; (2)求三棱锥 P—EBD 的体积。
2 ,且侧面 PAB 是正三角

19. (本小题满分 12 分) 某学校为了准备参加市运动会,对本校甲、乙两个田径队中 30 名跳高运动员进行了测 试,并用茎叶图表示出本次测试 30 人的跳高成绩(单位:cm) ,跳高成绩在 175cm 以 上(包括 175cm)定义为“合格” ,成绩在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“不合 格” 。 (1)求甲队队员跳高成绩的中位数; (2)如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员共抽取 5 人,则 5 人中“合格” 与“不合格”的人数各为多少? (3)从甲队 178cm 以上(包括 178cm)选取两人,至少有一人在186cm以上(包 括186cm)的概率为多少。

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 的方程为 x ? y ? 4 ,过点 M(2,4)作圆 C 的两条切线,切点分别为 A,B,
2 2

直线 AB 恰好经过椭圆 T :

x a

2 2

?

y b

2 2

( a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点。

(1)求椭圆 T 的方程; ??? ???? 5 ? 1 (2)是否存在斜率为 的直线 l 与曲线C交于P、Q两不同点,使得 O P ? O Q ? (O 2 2 为坐标原点) ,若存在,求出直线 l 的方程,否则,说明理由。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? e ?
x

1 x?a

.

(1)当 a ?

1 2

时,求 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程;

(2)当 a ? 1 时,判断方程 f ( x ) ? 0 实根的个数。

请考生在(22)(23)(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 、 、 做题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E,F 为 BA 延长线上一点,且 满足 BD·BE=BA·BF。求证: (1) EF ? FB ; (2) ? DFB ? ? DBC ? 90 ?.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的方程
? 3 t ? x ? ?2 ? ? 2 (t 为参数) 为 ? ? 4 cos ? ,直线 l 的方程为 ? ,直线 l 与曲线 C 的公共点 ?y ? 1 t ? ? 2

为 T。 (1)求点 T 的极坐标; (2)过点 T 作直线 l ', l ' 被曲线 C 截得的线段长为 2,求直线 l ' 的极坐标方程。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ?| x ? 1 | ? | x ? 3 | . (1)求 x 的取值范围,使 f ( x ) 为常函数; (2)若关于 x 的不等式 f ( x ) ? a ? 0 有解,求实数 a 的取值范围。

参考答案
一、选择题:BABCD,CCBAA, BD 二、填空题:13,2;14, S n ? 2 ? n ? 1 ;15, 5 ;16, 20? .
n 2

三、解答题: 17. 【解析】 : (Ⅰ)由正弦定理得:
(2 a ? c ) cos B ? b cos C ? (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C

……………2 分

即: 2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? sin( B ? C ) ? sin A 在 ? ABC 中, 0 ? A ? ? ? sin A ? 0 1 ? ? cos B ? , 又 0 ? B ? ? , B ? . ? 2 3
2 2 ?

………4 分

…………………………6 分
2

(Ⅱ)由余弦定理得:12 ? a ? c ? 2 ac cos 60 ? ( a ? c ) ? 3 ac ……………. 分 .8 则 ac ? 8
? S ? ABC ? 1 2 ac sin B ? 1 2 ?8 ? 3 2 ?2 3.

……………. .10 分 ……………. .12 分

18. 【解析】 : (I)证明:在矩形 ABCD 中,连结 AC,设 AC、BD 交点为 O,则 O 是 AC 中点. 又 E 是 PA 中 点 , 所 以 EO 是 △ PAC 的 中 位 线 , 所 以 PC//EO...............3 分 .............. 又 EO? 平面 EBD,PC ? 平面 EBD.所以 PC//平面 EBD...... 分 ......6 (II) 取 AB 中点 H,则由 PA=PB,得 PH⊥AB, P 又平面 PAB⊥平面 ABCD,且平面 PAB∩平面 ABCD=AB, 所以 PH⊥平面 ABCD. ………. 分 .8 取 AH 中点 F, E 是 PA 中点, EF//PH, 由 得 所以 EF⊥平面 ABCD. E 1 1 B ∵ V P ? EBD ? V P ? ABD ? V E ? ABD ? S ? ABD ? PH ? S ? ABD ? EF , 3 3 O H 3 F S 由题意可求得: ? ABD = 2 , PH= 3 , EF= , ……….10 . D A 2 分 则 V P ? EBD ? 19. 【解析】 : (Ⅰ)中位数 ?
176 ? 178 2 ? 177 cm.

C

1 3

?

2? 3?

1 3

?

2?

3 2

?

6 6



………. .12 分

………. .2

分 (Ⅱ)根据茎叶图,有“合格”12 人,“不合格”18 人, 5 1 ? , 用分层抽样的方法,每个运动员被抽中的概率是 30 6 1 所以选中的“合格”有 12 ? ? 2 人, ………. 分 .4 6 1 “不合格”有 18 ? ? 3 人. ………. 分 .6 6 (Ⅲ)甲队 178cm 以上(包括 178cm)的人数共 6 人,从中任取 2 人基本事件为: (178,181)(178,182)(178,184) , , (178,186) (178,191) (181,182)(181,184)(181,186)(181,191) , , , ,

(182,184)(182,186)(182,191) , , , (184,186)(184,191) , (186,191)共有 15 个; ………8 分 其中至少一人在 186cm 以上(包括 186cm)的事件为: (178,186) (178,191)(181,186)(181,191)(182,186)(182,191) , , , , , (184,186)(184,191)(186,191) , , ,共有 9 个; ………. .10 分 9 3 ? . 则至少有一人在 186cm 以上(包括 186cm)的概率为 ………. .12 分 15 5
y 20.解析】Ⅰ) 【 ( 由题意: 一条切线方程为: ? 2 , 设另一条切线方程为: ? 4 ? k ( x ? 2) .2 . x

分 则:
| 4 ? 2k | k ?1
2

? 2 ,解得: k ?

3 4

,此时切线方程为: y ?
6 5 8 5

3 4

x?

5 2

切线方程与圆方程联立得:x ? ? 分

,y?

, 则直线 AB 的方程为 x ? 2 y ? 2

………. 4

令 x ? 0 ,解得 y ? 1 ,∴ b ? 1 ; 令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,∴ a ? 2
x
2

故所求椭圆方程为

4

? y ?1
2

……….6 分

1 ? ?y ? 2 x ? m 1 ? (Ⅱ)设存在直线 y ? x ? m 满足题意,联立 ? 2 2 ? x ? y2 ? 1 ? 4 ?

整理得 x ? 2 mx ? 2 m ? 2 ? 0 ,
2 2

令 P ( x1 , y 1 )

, Q ( x 2 , y 2 ) ,则
2

∴ x1 ? x 2 ? ? 2 m , x1 x 2 ? 2 m ? 2 ,
? ? ( 2 m ) ? 8 ( m ? 1) ? 0 ,即
2 2

m ?2
2

???.8 分

??? ???? ? 由 OP ? OQ ? 0 ,得: x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0

1 1 x1 x 2 ? y 1 y 2 ? x1 x 2 ? ( x1 ? m )( x 2 ? m ) 2 2

?

5

1 5 2 5 2 x1 x 2 ? m ( x1 ? x 2 ) ? m ? ( m ? 1) ? 4 2 2 2
2

所以, m ? ? 2 不满足 m ? 2 分 因此不存在直线满足题意. 分 21. 【解析】 : (Ⅰ) f ( x ) ? e ?
x

……….10

……….12

1 x?a

, f '( x ) ? e ?
x

1 (x ? a)
2

, f '(0) ? 1 ?

1 a
2



当a ?

1 2

时, f '(0) ? ? 3 .又 f (0) ? ?1 .

………. 分 .2 ………. 分 .4

所以 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? ? 3 x ? 1 . (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 ( ?? , a ) ? ( a , ?? ) . 当 x ? ( a , ?? ) 时, e ? 0,
x

1 x?a

? 0 ,所以 f ( x ) ? e ?
x

1 x?a

?0.

即 f ( x ) 在区间 ( a , ?? ) 上没有实数根.
1 x?a e (x ? a) ? 1
x

………. 分 .6

当 x ? ( ?? , a ) 时, f ( x ) ? e ?
x

?

x?a



令 g ( x) ? e ( x ? a) ? 1.
x x

………8 分

只要讨论 g ( x ) ? 0 根的个数即可. g '( x ) ? e ( x ? a ? 1) , g '( a ? 1) ? 0 . 当 x ? ( ?? , a ? 1) 时, g '( x ) ? 0 , g ( x ) 是减函数; 当 x ? ( a ? 1, a ) 时, g '( x ) ? 0 , g ( x ) 是增函数. 所 以
g ( x)
a ?1

在 .





( ?? a ,

上)











g ( a ? 1) ? 1 ? e

………. .10 分
a ?1

? a ? 1 时, g ( a ? 1) ? 1 ? e

? 0 ,即 f ( x ) 有两个实根.

………. .12

分 22. 【解析】 : (Ⅰ)证明:连接 AD ,在 ? ADB 和 ? EFB 中

? BD ? BE ? BA ? BF ?

BD

BA BE 又 ? DBA ? ? EBF ? ? ADB ∽ ? EFB

?

BF

………. 分 .2 ………. 分 .4

则 ? EFB ? ? ADB ? 90
? EF ? FB

?

………. 分 .5
?

(Ⅱ)在 ? ADB 中, ? ADB ? ? ADE ? 90 又 ? EFB ? 90
?

? E、 F 、 A、 D 四点共圆; ? ? DFB ? ? AEB

………. 分 .7 ………. 分 .9
?

又 AB 是⊙ O 的直径,则 ? ACB ? 90 ,
? ? DFB ? ? DBC ? ? AEB ? ? DBC ? 90
?

………. .10 分

E D

F

A

O

B

C 23. 【解析】 : (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 x ? 4 x ? y ? 0 .
2 2

………. 分 .2

? 3 t ? x ? ?2 ? ? 2 代入上式并整理得 t 2 ? 4 3t ? 12 ? 0 . 将? ?y ? 1 t ? ? 2

解得 t ? 2 3 .∴点 T 的坐标为 (1, 3 ) . 其极坐标为 (2,

………. 分 .4 ???5 分
3 ? k ? 0 . ………. 分 .7

?
3

)

(Ⅱ)设直线 l ? 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 1), 即 kx ? y ?

由(Ⅰ)得曲线 C 是以 (2, 0) 为圆心的圆,且圆心到直线 l ? 的距离为 3 .
3?k

则,

k ?1
2

?

3 .解得 k ? 0 ,或 k ?

3.

直线 l ? 的方程为 y ?

3 ,或 y ?

3x .

………. 分 .9

π 其极坐标方程为 ρsinθ= 3 ,或 θ= 3 (ρ∈R) .??????????10 分 24. 【解析】 :
? ? 2 x ? 2, x ? ? 3 ? (Ⅰ) f ( x ) ? x ? 1 ? | x ? 3 |? ? 4, ? 3 ? x ? 1 ? 2 x ? 2, x ? 1 ?

………. 分 .4

所以当 x ? [ ? 3,1] 时, f ( x ) 为常函数. (Ⅱ)由(1)得函数 f ( x ) 的最小值为 4, 所以实数 a 的取值范围为 a ? 4 .

………. 分 .5 ………. 分 .8 …. .10 分


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