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2018高考数学基础知识训练(5)

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2018 高考数学基础知识训练(5)
一、填空题 1.定义:区间 ? x1 , x2 ? ? x1 ? x2 ? 的长度为 x2 ? x1 .已知函数 y ? 2| x| 的定义域为 ? a, b? ,值域 为 ?1, 2? ,则区间 ? a, b? 的长度的最大值与最小值的差为_________. 2.设集合 A={ x | x <-1 或 x >1},B

={ x | log2 x >0},则 A∩B= _______________. 3. 已知扇形的圆心角为 150 ? ,面积为

? , 则此扇形的周长为_______________. 15

4.一钟表分针长 10cm,经 40 分钟,分针端点所转过的弧长是_________ cm. 5. 在以原点为圆心, 半径为 1 的单位圆中, 一条弦 AB 的长度为 3 , AB 所对圆心角 ? 的 弧度数为_______________. 6.已知角 ? 的终边经过点 P(? x, ?6) ,且 cos ? ? ? 7. ? 是第四象限角, tan ? ? ? 8.已知 sin( 540 ? ? ) ? ?
0

5 ,则 x 的值是_______________. 13

5 ,则 sin ? ? _______________. 12

4 , 则 cos(? ? 900 ) ? _______________. 5 f ( a ? h) ? f ( a ) 无限趋近于_________. 2h

9.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 4,那么这个圆心角所对弧长为______________. 10. 若 f ' (a)=2,则当 h 无限趋近于 0 时,

11.已知 tan ? ? ?2 ,则 sin ? cos ? 的值为_______________. 12.若角 ? 的终边上一点的坐标为 ? sin

? ?

?
6

, cos

2? ? ? ,则 2 sin ? ? tan ? 的值为_____. 3 ?
1 ,则 tan a ? _______________. 5
2

13.已知 ? 是三角形的内角,若 sin a ? cos a ? 14.给出下列四个结论:

①命题“ ?x ? R, x ? x ? 0" 的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ” ;
2

②“若 am ? bm , 则 a ? b ”的逆命题为真;
2 2

③函数 f ( x) ? x ? sin x (x ? R )有 3 个零点; ④对于任意实数 x,有 f (? x) ? ? f ( x), g ( ? x) ? g ( x), 且 x>0 时, f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0, 则 x<0 时 f ?( x) ? g ?( x). 其中正确结论的序号是 .(填上所有正确结论的序号)

二、解答题 15.已知 f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ) tan(?? ? ? ) sin(?? ? ? )

(1)化简 f (? ) . (2)若 ? 是第三象限角,且 cos( ? ? 16.已知 tan ? ? ?

4 ? ,求: (1) tan(? ? ) 的值; 3 4 6 sin ? ? cos ? 2 2 (2) 的值; (3) 3 sin ? ? 4 sin ? cos? ? 5 cos ? 的值. 3sin ? ? 2 cos ?

3? 1 ) ? , 求 f (? ) 的值. 2 5

17.已知二次函数 f(x)满足:①在 x=1 时有极值;②图象过点(0,-3),且在该点处的切线与 直线 2x+y=0 平行. ⑴求 f(x)的解析式; 2 ⑵求函数 g(x)=f(x )的单调递增区间. 18. 某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C ? x ? ,当 年 产 量 不 足 80 千 件 时 , C ? x ? ? 时, C ? x ? ? 51x ?

1 2 x ? 10 x ( 万 元 ) ; 当 年 产 量 不 小 于 80 千 件 3

10000 ? 1450 (万元).通过市场分析,若每件售价为 500 元时,该厂年内 x

生产的商品能全部售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式. (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
2 19.已知函数 f ( x) ? ? sin x ? sin x ? a ,若 1 ? f ( x) ? 4 对一切 x ? R

恒成立.求实数 a 的取值范围. 20.设函数 f ( x) ? x ? ax ? 2x ? b( x ? R, )其中a, b ? R.
4 3 2

(1)当 a ? ?

10 时, 讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

(2)若函数 f ( x)仅有x ? 0处有极值 , 求a 的取值范围; (3)若对于任意的 a ? [?2,2],不等式f ( x) ? 1在[?1,0] 上恒成立,求 b 的取值范围.

参考答案: 1. 1 2.{ x | x >1} 3.

?

3 40? 4. 3 2 5. ? 3 5 6. 2 5 7. ? 13 4 8. 5 4 9. sin 1
10. -1

?

4 5

2 5 12. ?2 4 13. ? 3
11. ? 14. ①④ 15.解: (1)

f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ) tan(?? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin ? cos? (? tan a)(? tan? ) ? ? sin a tan? sin ?
3 ? 1 ? ) ? cos( ? ? ) ? ? sin ? ? 2 2 5

(2) cos( ? ?

1 2 6 ? sin ? ? ? , ?? 为第三象限角,? cos? ? ? 5 5

? f (? ) ? sin a tan a ? ?

6 . 60

4 ? ?1 tan ? ? 1 1 4 ? 16.解: (1) tan(? ? ) ? = 3 ? ? ???(7 分) 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 4 7 4 3 4 (2)由(1)知, tanα=- , 3 4 6(? ) ? 1 6 sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 7 3 所以 = = ? ????????(10 分) 4 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2 3(? ) ? 2 6 3

?

tan ? ? tan

?

(3) 3 sin ? ? 4 sin ? cos? ? 5 cos ? ?
2 2

3 sin 2 ? ? 4 sin ? cos? ? 5 cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ?

=

3 tan2 ? ? 4 tan? ? 5 9 ? 5 tan2 ? ? 1
2

????????????????? (14 分)

17.解:⑴设 f(x)=ax +bx+c,则 f ?(x)=2ax+b.

? f ?(1) ? 0, ?2a ? b ? 0, ?a ? 1, ? ? ? 由题设可得: ? f ?(0) ? ?2, 即 ?b ? ?2, 解得 ?b ? ?2, ? f (0) ? ?3, ?c ? ? 3 . ?c ? ? 3 . ? ? ?
所以 f(x)=x -2x-3. 2 4 2 3 ⑵g(x)=f(x )=x -2x -3,g ?(x)=4x -4x=4x(x-1)(x+1).列表:
2

x f?(x) f(x)

(-∞,-1) - ↘

-1 0

(-1,0) + ↗

0 0

(0,1) - ↘

1 0

(1,+∞) + ↗

由表可得:函数 g(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). 18.解:⑴当 0 ? x ? 80, x ? N * 时,

L ? x? ?

500 ?1000 x 1 2 1 ? x ? 10 x ? 250 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 ????(2 分) 10000 3 3
*

当 x ? 80, x ? N 时,

L ? x? ?

500 ?1000 x 10000 10000 ? ? ? 51x ? ? 1450 ? 250 ? 1200 ? ? x ? ? 10000 x x ? ?

??(4 分)

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250, ? 0 ? x ? 80, x ? N * ? ? ? 3 ? L ? x? ? ? 10000 ? * ?1200 ? ? x? ? ? , ? x ? 80, x ? N ? ? x ? ? ?
⑵当 0 ? x ? 80, x ? N * 时, L ? x ? ? ?

?????????(7 分)

1 2 ? x ? 60 ? ? 950 , 3

? 当 x ? 60 时, L ? x ? 取得最大值 L ? 60? ? 950 (万元)??????(9 分)
当 x ? 80, x ? N * 时,

10000 ? 10000 ? L ? x ? ? 1200 ? ? x ? ? 1200 ? 200 ? 1000 ???(12 分) ? ? 1200 ? 2 x? x ? x ?
?当x ? 10000 ,即x ? 100 时, L ? x ? 取得最大值 1000 万元,即生产量为 100 千件时,该 x

厂在这一商品的生产中所获利润最大 ??????????????(14 分)

19.解:∵ y ? f ( x) ? ? sin 2 x ? sin x ? a , 令 t ? sin x ,则 y ? ?t 2 ? t ? a ( ?1 ? t ? 1 ) ,
2 由于 y ? ?t ? t ? a 的对称轴是 t ?

1 , 2

∴在 ?1 ? t ? 1 上,根据二次函数的单调性,有: 当t ?

1 1 2 1 1 时, y 取得最大值, ymax ? ?( ) ? ? a ? ? a , 2 2 2 4

当 t ? ?1 时, y 取得最小值, ymin ? ?(?1)2 ? (?1) ? a ? a ? 2 , 又∵ 1 ? f ( x) ? 4 对一切 x ? R 恒成立,

, 恒成立, 即: 1 ? y ? ?t ? t ? a ? 4 对一切 t ? [?11]
2

?1 ? ymax ? 4 15 ? ?a?4 ?3? a ? 所以有: ? ,即 ? 4 , 4 ? ymin ? 1 ? ?a ? 2 ? 1
∴实数 a 的取值范围是 ?3, ? . 4

? 15 ? ? ?

20. 解: (1) f ?( x) ? 4x ? 3ax ? 4 x ? x(4 x ? 3ax ? 4).
3 2 2

10 时, f ?( x) ? x(4 x 2 ? 10 x ? 4) ? 2 x(2 x ? 1)( x ? 2). 3 1 令 f ?( x) ? 0, 得x1 ? 0, x 2 ? , x3 ? 2. 3分 2
当a ? ? 当 x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(??,0)
单调递减

0 0 极小值

1 (0, ) 2
+ 单调递增

1 2
0 极大值

1 ( ,2) 2
单调递减

2 0 极小值

(2,??)
+ 单调递增

所以 f ( x)在(0, )和(2,?? ) 上是增函数, 在区间 (?? ,0)和( ,2) 上是减函数

1 2

1 2

6分

(2) f ?( x) ? x(4x 2 ? 3ax ? 4),显然x ? 0不是方程 4x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根。

? f ( x)仅在x ? 0 处有极值。
则方程 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 有两个相等的实根或无实根,
2

? ? 9a 2 ? 4 ? 16 ? 0.
解此不等式,得 ?

8分

8 8 ?a? , 3 3

这时, f (0) ? b 是唯一极值。 因此满足条件的 a的取值范围是 [? , ]

8 8 3 3

10 分

2 注:若未考虑 ? ? 9a ? 4 ? 0. 进而得到 a的范围为 [? , ] ,扣 2 分。

8 8 3 3

(3)由(2)知,当 a ? [?2,2]时,4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立。 当 x ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x)在区间 (??,0] 上是减函数, 因此函数 f ( x)在[?1,0]上的最大值是 f (?1). 12 分

又? 对任意的 a ? [?2,2],不等式f ( x) ? 1在[?1,0] 上恒成立。

? f (?1) ? 1,即3 ? a ? b ? 1.
于是 b ? a ? 2在a ? [?2,2] 上恒成立。

? b ? ?2 ? 2,即b ? ?4.
因此满足条件的 b的取值范围是 (??,?4). 14 分


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