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2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第6讲 双曲线练习 理

时间:2016-07-26


2017 版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第 6 讲 双曲线练 习 理
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.(2015?浙江卷)双曲线 -y =1 的焦距是______,渐近线方程是________. 2 解析 由双曲线方程得 a =2,b =1,∴c =3, ∴焦距为 2 3,渐近线方程为 y=± 答案 2 3 2 x. 2
2

2 2

x2

2

y=±

2 x 2
2 2

x y π 2.(2016?南昌模拟)若双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线倾斜角为 ,则双曲 a b 6
线 C 的离心率为________.

b 3 b2 c2-a2 1 2 3 解析 由题意 = ,∴ 2= 2 = ,e= . a 3 a a 3 3
答案 2 3 3
2

y2 3.(2015?北京卷)已知(2,0)是双曲线 x - 2=1(b>0)的一个焦点,则 b=________. b
解析 由题意:c=2,a=1,由 c =a +b .得 b =4-1=3,又 b>0,所以 b= 3. 答案 3
2 2 2 2

x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一 a b
个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为________. 解析 由题意知,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 y=2x,所以 =2,即 b =4a .又双曲线的一个焦点是直线 l 与 x 轴的交点,所以该焦点的坐标为 (-5,0),所以 c=5,即 a
2 2 2 2

x2 y2 a b

b a

2

? ?b =4a , +b =25,联立得? 2 2 ?a +b =25, ?
2

2

2

解得 a =5,b =20,故双曲线的方程为 - =1. 5 20 答案

x2

y2

x2
5

- =1 20

y2

1

5.(2016?苏北四市调研)已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 9 16 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 解析 由 - =1,得 a=3,b=4,c=5. 9 16 ∴PQ=4b=16>2a. 又∵A(5,0)在线段 PQ 上,∴P,Q 在双曲线的右支上, 且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点, 由双曲线定义知?
?PF-PA=2a=6, ? ? ?QF-QA=2a=6,

x2

y2

x2

y2

∴PF+QF=28.

∴△PQF 的周长是 PF+QF+PQ=28+16=44. 答案 44 6.如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 4 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则

x2

2

C2 的离心率是________. x2 y2 解析 F1F2=2 3.设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b
∵AF2+AF1=4,AF2-AF1=2a, ∴AF2=2+a,AF1=2-a. 在 Rt△F1AF2 中,∠F1AF2=90°, ∴AF1+AF2=F1F2, 即(2-a) +(2+a) =(2 3) , ∴a= 2,∴e= = 6 2
2 2 2 2 2 2

c a

3 2



6 . 2

答案

7.(2016?南京师大附中模拟)若双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离 1 等于焦距的 ,则该双曲线的离心率为________. 4 解析 双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线 y= x 的距离等于 b,依题意

x2 y2 a b

x2 y2 a b

b a

c 4 2 3 b= ,4b2=4(c2-a2)=c2,3c2=4a2,∴e2= ,e= .
2 3 3 答案 2 3 3
2

8.(2015?重庆卷改编)设双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的右焦点是 F, 左、 右顶点分别是 A1,

x2 y2 a b

A2,过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率
为________. 解析 不妨令 B 在 x 轴上方,因为 BC 过右焦点 F(c,0),且垂直 于 x 轴,所以可求得 B,C 两点的坐标分别为?c, ?,?c,- ?, a a

? ?

b2? ?

? ?

b2?

?

又 A1,A2 的坐标分别为(-a,0),(a,0),

b? → ? b? → ? 所以A1B=?c+a, ?,A2C=?c-a,- ?,

2

2

?

a?

?

a?

→ → 因为 A1B⊥A2C,所以A1B?A2C=0, 即(c+a)(c-a)- ? =0, 即 c -a - 2=0,所以 b - 2=0, 故 2=1,即 =1,又双曲线的渐近线的斜率为± ,故该双曲线的渐近线的斜率为±1. 答案 ±1 二、解答题 9.(2015?江南十校联考)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2, 且过点 P(4,- 10). (1)求双曲线的方程; → → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1?MF2=0. (1)解 ∵e= 2,∴可设双曲线的方程为 x -y =λ (λ ≠0). ∵双曲线过点(4,- 10),∴16-10=λ ,即 λ =6. ∴双曲线的方程为 x -y =6. (2)证明 法一 由(1)可知,a=b= 6, ∴c=2 3,∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3 =- .∵点 M(3,m)在双曲线上, 9-12 3
2 2 2 2 2 2 2

b2 b2 a a

b4 a

2

b4 a

b2 a

b a

b a

m

m

kMF1?kMF2=
2

m2

m2

∴9-m =6,m =3, → → 故 kMF1?kMF2=-1,∴MF1⊥MF2.∴MF1?MF2=0. 法二 由(1)可知,a=b= 6,∴c=2 3,
3

∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0),

MF1=(-2 3-3,-m),MF2=(2 3-3,-m),
→ → 2 2 ∴MF1?MF2=(3+2 3)?(3-2 3)+m =-3+m , ∵点 M(3,0)在双曲线上,∴9-m =6,即 m -3=0, → → ∴MF1?MF2=0.
2 2





y2 x2 10.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 2x+y=0,且顶点到渐近线的距 a b
2 5 离为 . 5 (1)求此双曲线的方程; (2)设 P 为双曲线上一点,A,B 两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若

AP=PB,求△AOB 的面积. a ? ?b=2, ? ?a=2, (1)依题意得? 解得? ?b=1, |2?0+a| 2 5 ? = , ? 5 ? 5 y2
2

→ →



故双曲线的方程为 -x =1. 4 (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为 y=±2x,设 A(m,2m),B(-n,2n),其中 m>0,n> → → ?m-n,m+n?. 0,由AP=PB得点 P 的坐标为? ? ? 2 ? 将点 P 的坐标代入 -x =1, 4 整理得 mn=1.

y2

2

?π ? 设∠AOB=2θ ,∵tan? -θ ?=2, ?2 ?
1 4 则 tan θ = ,从而 sin 2θ = . 2 5 又 OA= 5m,OB= 5n, 1 ∴S△AOB= OA?OBsin 2θ =2mn=2. 2 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.(2015?江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x -y =1 右支上的一个动点.若 点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为________.
2 2

4

解析 双曲线 x -y =1 的渐近线为 x±y=0,直线 x-y+1=0 与渐近线 x-y=0 平行, 故两平行线的距离 d= |1-0| 1 +1
2 2

2

2



2 .由点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,得 2

c≤

2 2 ,故 c 的最大值为 . 2 2 2 2

答案

12.(2016?柳州、北海、钦州三市联考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与抛物线 y =8x 有 一个公共的焦点 F ,且两曲线的一个交点为 P ,若 PF = 5 ,则双曲线的渐近线方程为 ________. 解析 抛物线 y =8x 的焦点坐标为(2, 0), 准线方程为直线 x=-2, ∵双曲线 2- 2=1(a >0, b>0)与抛物线 y =8x 有一个公共的焦点 F, 则双曲线的半焦距 c=2, ∴a +b =4①, 又∵PF=5,∴点 P 的横坐标为 3,代入抛物线 y =8x 得 y=±2 6,则 P(3,±2 6),∵
2 2 2 2 2

x2 y2 a b

2

x2 y2 a b

x2 y2 点 P 在双曲线上,则有 2- 2 =1②,联立①②,解得 a=1,b= 3,∴双曲线 2- 2=1 a b a b
9 24 的渐近线方程为 y=± 3x. 答案 y=± 3x

x2 y2 13.(2016?南京、盐城模拟)已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点, a b
过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A,B,若 AB=AF2,∠F1AF2=90°,则双曲 线的离心率为________. 解析 ∵AB=AF2,∠F1AF2=90°,∴BF2= 2AF2.又由双曲线的定义知 BF1-BF2=2a, ∴AF1+AB- 2AF2=2a, 即 AF1+(1- 2)?AF2=2a.又 AF2-AF1=2a, ∴AF2=2(2+ 2)a,
2 2 2 2 AF1 =2(1+ 2)a.在 Rt△ AF1F2 中, AF2 2)a] + [2(1+ 2)a] = 1 + AF 2 = F1F 2 ,即 [2(2 +

(2c) ,∴ 2=9+6 2,∴e= 9+6 2= 6+ 3. 答案 6+ 3

2

c2 a

x2 y2 14.已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y a b
=2x,l2:y=-2x. (1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两 点(A,B 分别在第一、四象限),且△OAB 的面积恒为 8.试探究:

5

是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若 不存在,说明理由.

b c2-a2 解 (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x,所以 =2,所以 =2,故 a a c= 5a,
从而双曲线 E 的离心率 e= = 5. 由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 2=1. a 4a 如图,设直线 l 与 x 轴相交于点 C. 若 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点, 则 OC=a,AB=4a. 又因为△OAB 的面积为 8, 1 所以 OC?AB=8, 2 1 因此 a?4a=8,解得 a=2, 2 此时双曲线 E 的方程为 - =1. 4 16 若存在满足条件的双曲线 E, 则 E 的方程只能为 - =1. 4 16 以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E: - =1 也满足条件. 4 16 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<-2,

c a

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

? ? 则 C?- ,0?.记 A(x1,y1),B(x2,y2).
m ? k

?

由?

?y=kx+m, ? ? ?y=2x,

2m 2m 得 y1= ,同理,得 y2= . 2-k 2+k

1 由 S△OAB= OC?|y1-y2|,得 2 2m ? 1? m? ? 2m - ??? - ? ?=8, 2? k? ?2-k 2+k? 即 m =4|4-k |=4(k -4).
2 2 2

y=kx+m, ? ? 2 2 由?x y - =1, ? ? 4 16

6

得(4-k )x -2kmx-m -16=0.因为 4-k <0, 所以 Δ =4k m +4(4-k )(m +16) =-16(4k -m -16). 又因为 m =4(k -4), 所以 Δ =0,即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. 因此,存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

x2 y2

7


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