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高二数学三角函数的图象和性质-

时间:2018-02-08


三角函数的图象和性质
正弦函数,余弦函数的图象和性质
正弦,余弦函数的图形 正弦,余弦函数的性质

函数y=Asin( wx+y)的图象 正切函数的图象和性质

一正弦函数,余弦函数的图象和性质
1 图象 (1)利用正弦线画正弦函数的图象:在直角坐标系x轴上任选一点o, 以o为圆心做单位圆,从⊙o与x轴交点 a起把o 分成12等份,过 ⊙o上各分点做x轴垂线,得到对应于0,∏/6,∏/3,∏/2,…, 2∏等角的正弦线。再把x轴上从0到2∏这段分为12等份,把角x的 正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点重合。再用光滑曲线把 这些正弦线的终点连接起来。即得 y=sin x, x[0,2∏]
1

0.5

1 -0.5

2

3

4

5

6

-1

(2)因y=sin x,x∈[2k∏,2(k+1)∏]的图象与y=sinx,x∈[0,2∏]的图象 相同,所以将y=sin x,x∈[0,2∏],向右平移2∏个单位,即可得 y=sin x, x∈R.所以正弦函数的图象为:
u 1

0.5

1 -0.5

2

3

4

5

6

x

-1

u 1

0.5

2 -0.5

4

6

8

10

12

x

-1

(3)余弦函数图象
利用余弦于正弦的关系,可得到余弦曲线: Y=cos x=cos(-x)=sin[∏/2-(-x)]=sin(∏/2+x)
sin x +p 2

8H? < 8<
1
cosx 1

0.5
0.5

-6

1 -4

2 -2

3

4 2

5
4

6 6

-0.5
-0.5

-1
-1

2 性质
观察正弦,余弦函数的图象,并进行对比
sinx 1

8<
2 4 6 -1

0.5

-6

-4

-2 -0.5

8<
cosx 1 2 4 6 -1

0.5

-6

-4

-2 -0.5

Y=sin x 定义域 值域

Y=cos x

备注

R
[-1,1]
当且仅当x=∏/2+2k∏时y=1当 且仅当x=-∏/2+2k∏时y=1

R
[-1,1]
当且仅当x=2k∏时 y=1 当且仅当x=(2k∏+1)时 y=1

周期性
奇偶性

2k∏ 最小正周期2∏ 奇函数 即 sin(-x)=-sinx
是增函数 在[∏/2+2k∏, 3∏/2+2k∏] 上是减函数

2k∏ 最小正周期2∏ 偶函数 即cos(-x)=cosx
函数 在[2k∏,(2k+1)∏]上是减函 数

周期函数满足: f(x+T)=f(x) T为周期

单调性 在[-∏/2+2k∏, ∏/2+2k∏]上 在[(2k-1)∏,2k∏]上是增

例题1 画图 (五点作图法)
(1)y=1+sin x, x∈[0,2∏]
x sinx 0 0 ∏/2 1 2 ∏ 3∏/2 0 1 -1 0 2∏ 0 1

(2)y=- cos x , x∈[0,2∏]
x cosx 0 1 ∏/2 0 ∏ -1 3∏/2 0 2∏ 1

1+sinx 1
2

- cosx

-1
1

0

1

0

-1

1.5 1 0.5
1 2 3 4 5 0.5

6

1 -0.5 -1

2

3

4

5

6

-0.5

-1

例2求下列函数周期
(1)y=sin2x, x∈R 解: 令z=2x,则z∈R ,而y=sinz , z∈R的周期为2∏,即z只要并且 至少要增加到z+2∏即可. 又z+2∏=2z+2∏=2(x+∏) ∴x只要并 且至少增加到x+∏ ∴T=∏
y 1

0.5

1 -0.5

2

3

4

5

6

-1

(2) y=2sin(1/2-∏/6),x∈R

解:令z=x/2-∏/6,则z∈R.而y=2sinz,z∈R的周期是2∏。由于 z+2∏=(x/2-∏/6)+2∏=(x+4∏)/2-∏/6.所以x只要并且至少要增加 到x+4∏.所以T=4∏
y 2

1

5 -1

10

15

20

25

x

-2

结论:
一般的,函数y=Asin(wx+b), x∈R 和函数y=Acos(wx+b),X∈R (其中A,w,b为常数且 A≠0,w>0)的周期T=2∏/w

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拂袖:“那请你们 好生养着吧!我先走了。”乐韵回房乐不可支转告宝音:“白跑一趟,臊了一鼻子灰走了!”宝音微微一笑:“我们去回 访她。”刚刚推病高卧给人家一个没脸,怎么又转脸巴巴去找人家?——不过,也对,不去见人,化个丑妆作什么呢?宝音又悄悄吩咐几句, 乐韵喜上眉梢,依言搀宝音出来,小丫头飘儿迎上,还没说什么,宝音俯在乐韵肩头一顿咳嗽,声倒不高,却气都喘不上来似的。飘儿便插不 上嘴。咳完了,宝音也没再给飘儿张嘴的机会,吩咐乐韵:“开中门。咱们还到后院去。”第二十一章移树杀雏惹鬼啼(3)中门已经是开着 的。挡着木芙蓉花树的步障,开了一角。做粗活的人,已经回避了。明蕙跟先前那婆子说话儿。那婆子原是机伶的,才被明蕙派到这儿搅事。 一听宝音说要见老太太,她怎能听听就算?她自己要是立刻跑去找明蕙报信,固然目标太大,叫个孩子过来,钻篱角儿把信送出去了。明蕙一 听,也唬一跳。她做的这事,可经不了老太太那儿——说是明秀爱花,二太太准了。可明秀这性子,怎会开口挖表妹窗下的花树?重阳那天是 赞了一句,这花好。明蕙凑了句趣,给四姐院里种着就更合适了!明秀笑了笑,也没驳。明蕙以此得计,拿着鸡毛当令箭的调人去。管这边园 子的,原有她的亲眷,调得动。到二太太那儿,只含糊说园子里有些花木要移一移。二太太当时正忙着别的事,“嗯”一声,这就算请了准了。 韩毓笙真要跟两位太太告状,太太们本不太待见她,准不问情由,把她推开去。但她说的是给老太太请安——韩毓笙毕竟是她亲外孙女儿,病 了这么久,忽说身上爽利了,特来请安,老太太没有挡她在门外的理,这一面是准保见得上的。韩毓笙在老太太面前,若是傻乎乎的告恶状, 老太太未必肯听,但如果措词巧妙一点,说些别的??能说些什么别的出来?想起韩毓笙自重阳以来一些微妙的变化,明蕙心里突突的跳,不 敢冒险,还是来堵一堵韩毓笙。一路没堵着她,找到屋里,她又睡了!明蕙来都来了,就去找那婆子,再问问端的。适才飘儿就是想告诉姑娘, 七 到后院去了,叫开中门。她们不敢不开。一步一步,本就是宝音给明蕙铺下的,何劳飘儿来告诉?宝音不要飘儿开口,这样才可以叫她在 后院吃惊道:“蕙妹妹!你怎么在这里?”明蕙才与那婆子说到一半,不得不回头挤出一脸笑:“表姐!你不是病着、躺着么?怎么到这儿来 了?”宝音轻咳两声:“可不是迷迷糊糊躺着,猛可的一惊,听说蕙妹妹你来过,要起来追??”弱不胜风摇了两摇,更多份量倚在乐韵身上, “出得门来,又走不远,料想是追妹妹不着了,只好到这边走走,且喜你倒在这里。”明蕙细看韩毓笙,脸白得似纸,嘴唇发青,眼睛半眯着, 似乎连张开眼的


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