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不等式选讲专题复习导学案


《不等式选讲专题复习》导学案
【教学目标】 1、知识与技能: (1)理解绝对值的几何意义; (2)掌握绝对值三角不等式及其几何意义; 2、过程与方法: (1)利用绝对值不等式的几种解法,解决绝对值不等式求解问题; (2)利用三角不等式解决恒成立、存在等问题。 3、情感态度价值观: 通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想。 【教学重点】 掌握绝对值不等式

的几种解法。 【教学难点】利用绝对值不等式解决恒成立问题、存在等问题。 【教学方法】探究法,讨论法,学生自主学习方法 【教学内容】 一、绝对值不等式的解法 1、含绝对值的不等式

(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解法 不等式 |x|<a |x|>a (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c? ②|ax+b|≥c? (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 2.绝对值的三角不等式 (1)定理 1:若 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. (2)定理 2:设 a,b,c 是实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b- c)≥0 时,等号成立. 推论 1:||a|-|b||≤|a+b|. 推论 2:||a|-|b||≤|a-b|. a>0 a=0 a<0

二、例题讲解 例 1、 (2012 年全国新课标卷)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围。 【解析】 (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

方法一:由数轴及绝对值的几何意义知: x ? (??,1] ? [4,??)

0

1

2

3

4

5

方法二: f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? ? 或? ? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1或 x ? 4
所以 x ? (??,1] ? [4,??)

方法三:令 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 2 ,

所以

f(x)=

? 2 x ? 5, x ? 2 1,2 ? x ? 3 2 x ? 5, x ? 3

f(x)的图像如下:

y
3 2 1 0 1 2 3 4 5

x

所以 x ? (??,1] ? [4,??) (2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立 ? ?3 ? a ? 0

变式训练 1:已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 1, a ? R (1)当 a ? 2 时,解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)当 x ? (?3,1) 时, f ( x) ? a ? 1 ,求 a 的取值范围。

例 2、已知关于 x 的不等式 2x ? 1 ? x ? 1 ? log2 a (其中 a ? 0 ) (1)当 a ? 4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围。 解: (1)令 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 1 ,当 a ? 4 时, f ( x) ? 2

1 1 时, ? x ? 2 ? 2 ,得 ? 4 ? x ? ? ; 2 2 1 2 当 ? ? x ? 1 时, 3 x ? 2 ,得 ? 4 ? x ? ; 2 3 当 x ? 1 时, x ? 0 ,此时的 x 不存在。
当x? ? 综上所述:不等式的解集为 ? x ? 4 ? x ?

? ?

2? ? 3?

? x ? 2, x ? ? 3 x, ?

1 2

(2)设

f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ?1 ?
? 3 ? 2
3 2

故 f ( x) ? ?? ,??) ,即 f(x)的最小值为 ?

1 ? x ?1 2 x ? 2, x ? 1

所以 f ( x) ? log2 a 有解,则 log 2 a ? ?

3 2 ,解得 a ? 2 4

即 a 的取值范围是 [

2 ,??) 4

变式训练 2、设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 4 ? a 。 (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的最小值, (2)若存在 x 使得 f ( x) ?

4 成立,求实数 a 的取值范围。 a

例 3、已知关于 x 的不等式 ax ? 2 ? ax ? a ? 2(a ? 0) (1)当 a ? 1 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围。 解: (1)当 a=1 时,不等式为 x ? 2 ? x ? 1 ? 2 由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的点 x 到 1、2 的距离之和大于或等 于 2.

?x ?

5 1 或? 2 2

所以不等式的解集为 ? x x ?

? ?

1 或x ? 2

5? ? 2?

注:也可用零点分段法求解,用图像法求解。 (2)? ax ? 2 ? ax ? a ? a ? 2 所以原不等式的解集为 R 等价于 a ? 2 ? 2

? a ? 4或a ? 0, 又a ? 0,

所以 a ? 4

变式训练 3、已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? 2, g ( x) ? ? x ? 1 ? 4 (1)若不等式 f ( x) ? g ( x) ? 3 ,求 x 的取值范围; (2)若不等式 f ( x) ? g ( x) ? m ? 1 的解集为 R,求 m 的取值范围。

三、小结: 本节课我们复习了绝对值不等式的几何意义,进一步了解了绝对值不等式的几种解法, 几何意义及数轴上的意义的解法,零点法,图像法,还复习了恒成立问题及存在性问题的解 答。 四、作业 资料书绝对值不等式的相关题目 五、板书设计 一、绝对值不等式的应用 1、含绝对值的不等式

(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解法 (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 2.绝对值的三角不等式
二、例题讲解


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