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江苏省南通市启东中学2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷

时间:2015-12-21


2014-2015 学年江苏省南通市启东中学高一(上)第一次月考数 学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在相应位置上. 1.若集合 A={x|﹣1<x<3},B={x|2<x<4},则集合 A∩B= . 2.已知 A={﹣1,3,m},集合 B={3,4},若 B? A,则实数 m= .

3.函数 y

=

定义域

. (区间表示)

4.若 f(1﹣x)=x ,则 f(1)=

2

. .

5.若集合 A={1,2,3},B={1,3,4},则 A∪B 的真子集个数为 6.函数 f(x)=x(1﹣x)的单调增区间为 .

7.给定映射 f: (x,y)→(x+2y,2x﹣y) ,则映射 f 下的对应元素为(3,1) ,则它原来 的元素为 .

8. 若函数

的定义域和值域都是[1, b], 则 b 的值为



9.若集合 A={x|kx +4x+4=0},x∈R 中只有一个元素,则实数 k 的值为 10.函数 f(x)=1﹣ 的最大值是 .

2



11.若函数 y=

的定义域为 R,则实数 a 的取值范围



12.函数 f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数且为增函数,若 f(1﹣a)+f(1﹣a )>0, 求 a 的范围. 13.函数 f(x)是偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x﹣1,则不等式 f(x)>0 在[﹣2, 2]上的解集为 . (用区间表示)

2

14.对于实数 a,b,定义运算“*” :a*b=

,设 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1) ,

且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则 m 的取值范 围是 .

二、解答题(本大题 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.已知集合 A={x|x =1},B={x|ax=1}.若 B? A,求实数 a 的值. 16.已知函数 f(x)的定义域为 D,若存在 x0∈D,使等式 f(x0)=x0 成立,则称 x=x0 为函 数 f(x)的不动点,若 x=±1 均为函数 f(x)= (1)求 a,b 的值. (2)求证:f(x)是奇函数. 17. 某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为 20000 元, 每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数:R(x)= 其中 x 是仪器的月产 的不动点.
2

量. (1)将利润表示为月产量的函数; (2) 当月产量为何值时, 公司所获利润最大?最大利润是多少元? (总收益=总成本+利润. ) 18.已知集合 A={x|x ﹣2x﹣8<0},B={x|x +2x﹣3>0},C={x|x ﹣3ax+2a <0}试求实数 a 的取值范围使 C? A∩B. 19.已知二次函数 f(x)=x ﹣4x﹣4 在闭区间[t,t+2](t∈R)上的最大值记为 g(t) ,求 g(t)的表达式,并求出 g(t)的最小值. 20.已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f(1)=2,任取 a,b∈[﹣1,1],a+b ≠0,都有 >0 成立.
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(1)证明函数 f(x)在[﹣1,1]上是单调增函数. (2)解不等式 f(x)<f(x ) . (3)若对任意 x∈[﹣1,1],函数 f(x)≤2m ﹣2am+3 对所有的 a∈[0, ]恒成立,求 m 的取值范围.
2 2

2014-2015 学年江苏省南通市启东中学高一 (上) 第一次 月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在相应位置上. 1.若集合 A={x|﹣1<x<3},B={x|2<x<4},则集合 A∩B= {x|2<x<3} . 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 解答: 解:∵A={x|﹣1<x<3},B={x|2<x<4}, ∴A∩B={x|2<x<3}. 故答案为:{x|2<x<3} 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.已知 A={﹣1,3,m},集合 B={3,4},若 B? A,则实数 m= 4 . 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 先由 B? A 知,集合 B 是集合 A 的子集,然后利用集合子集的定义得集合 A 必定含有 4 求出 m 即可. 解答: 解:已知 A={﹣1,3,m},集合 B={3,4}, 若 B? A,即集合 B 是集合 A 的子集. 则实数 m=4. 故填:4. 点评: 本题主要考查了集合的关系,属于求集合中元素的基础题,也是高考常会考的题型.

3.函数 y=

定义域 (﹣2,﹣1)∪(﹣1,+∞) . (区间表示)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件,即可求出函数的定义域. 解答: 解:要使函数 f(x)有意义,则 ,





解得 x>﹣2 且 x≠﹣1, 即函数的定义域为(﹣2,﹣1)∪(﹣1,+∞) ,

故答案为: (﹣2,﹣1)∪(﹣1,+∞) 点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 4.若 f(1﹣x)=x ,则 f(1)= 0 . 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的解析式,进行转化即可. 解答: 解:∵f(1﹣x)=x , 2 ∴f(1)=f(1﹣0)=0 =0, 故答案为:0 点评: 本题主要考查函数值的计算,比较基础. 5.若集合 A={1,2,3},B={1,3,4},则 A∪B 的真子集个数为 15 . 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 A 与 B,求出两集合的并集,找出并集的真子集个数即可. 解答: 解:∵A={1,2,3},B={1,3,4}, ∴A∪B={1,2,3,4}, 则 A∪B 的真子集个数为 2 ﹣1=15. 故答案为:15 点评: 此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.
4 2 2

6.函数 f(x)=x(1﹣x)的单调增区间为 (﹣∞, ]



考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)=﹣ + ,可得函数的增区间. + ,故函数的增区间为(﹣∞, ],

解答: 解:由于函数 f(x)=x(1﹣x)=﹣ 故答案为: (﹣∞, ].

点评: 本题主要考查二次函数的单调性,属于基础题. 7.给定映射 f: (x,y)→(x+2y,2x﹣y) ,则映射 f 下的对应元素为(3,1) ,则它原来 的元素为 (1,1) . 考点: 映射. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题已知映射 f 的对应法则和映射的象,可列出参数 x、y 相应的关系式,解方程组 求出原象,得到本题题结论.

解答: 解:∵映射 f: (x,y)→(x+2y,2x﹣y) ,映射 f 下的对应元素为(3,1) , ∴ ,





∴(3,1)原来的元素为(1,1) . 点评: 本题考查的是映射的对应关系,要正确理解概念,本题运算不大,属于容易题.

8.若函数

的定义域和值域都是[1,b],则 b 的值为 3 .

考点: 函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 先根据 f(x)在[1,b]上为增函数,当 x=1 时,f(x)=1,当 x=b 时,f(x)= (b ﹣1) +1=b,可得然后把 b 代入即可得出答案. 解答: 解:∵函数 b]上为增函数, ∴当 x=1 时,f(x)=1,当 x=b 时,f(x)= (b﹣1) +1=b, 解得:b=3 或 b=1(舍去) , ∴b 的值为 3, 故答案为:3. 点评: 本题考查了函数的值域及函数的定义域的求法,属于基础题,关键是根据 f(x)在 [1,b]上的单调性求解. 9.若集合 A={x|kx +4x+4=0},x∈R 中只有一个元素,则实数 k 的值为 0 或 1 . 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: 集合 A 表示的是方程的解;讨论当二次项系数为 0 时是一次方程满足题意;再讨论 二次项系数非 0 时,令判别式等于 0 即可. 解答: 解:当 k=0 时,A={x|4x+4=0}={﹣1}满足题意 当 k≠0 时,要集合 A 仅含一个元素需满足 △=16﹣16k=0 解得 k=1 故 k 的值为 0;1 故答案为:0 或 1 点评: 本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为 0 的情况、考虑判 别式的情况. 10.函数 f(x)=1﹣ 的最大值是 1 .
2 2 2

的定义域和值域都是[1,b],且 f(x)在[1,

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由观察法可直接得到函数的最大值. 解答: 解:∵ ∴1﹣ ≤1, 的最大值是 1. ≥0,

即函数 f(x)=1﹣

故答案为:1. 点评: 本题考查了函数的最大值的求法,本题用到了观察法,属于基础题.

11.若函数 y=

的定义域为 R,则实数 a 的取值范围 [0, )



考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意得不等式组,解出即可. 解答: 解:由题意得: ,

解得:0≤a< , 故答案为:[0, ) . 点评: 本题考查了二次函数,二次根式的性质,是一道基础题. 12.函数 f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数且为增函数,若 f(1﹣a)+f(1﹣a )>0, 求 a 的范围. 考点: 专题: 分析: 解答: 奇偶性与单调性的综合. 函数的性质及应用. 将不等式进行转化,利用函数的单调性和奇偶性,即可得到结论. 解答:解:∵f(x)为奇函数,
2 2 2 2

∴f(1﹣a)+f(1﹣a )>0 可化为 f(1﹣a)>﹣f(1﹣a )=f(a ﹣1) , 又 f(x)在定义域(﹣1,1)上递增,









解得 0<a<1. ∴a 的取值范围为:0<a<1. 点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用,考查抽象不等式的求解,考查学生的 转化能力.综合考查函数的性质. 13.函数 f(x)是偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x﹣1,则不等式 f(x)>0 在[﹣2, 2]上的解集为 (1,2] . (用区间表示) 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求出当 x∈[0,2]时,解集为(1,2],再由函数的奇偶性求出当 x∈[﹣2,0]时, 解集为(1,2],即可求出不等式 f(x)>0 在[﹣2,2]上的解集. 解答: 解:当 x∈[0,2]时,f(x)=x﹣1>0,即有 x>1,解集为(1,2], 函数 f(x)是偶函数,所以图象是对称的,当 x∈[﹣2,0]时,解集为(1,2], 综上所述,不等式 f(x)>0 在[﹣2,2]上的解集为(1,2], 故答案为:解集为(1,2]. 点评: 本题主要考察了函数奇偶性的性质,属于基础题.

14.对于实数 a,b,定义运算“*” :a*b=

,设 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1) ,

且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则 m 的取值范 围是 .

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: 根据题意确定函数的解析式为 f(x)= ,画出函数的图象从图象上观察当

关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根时 m 的取值范围. 解答: 解:由 2x﹣1≤x﹣1 可得 x≤0,由 2x﹣1>x﹣1 可得 x>0. ∴根据题意得 f(x)= .

即 f(x)=



画出函数的图象,从图象上观察当关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的 实数根时,

函数的图象和直线 y=m 有三个不同的交点. 再根据函数的极大值为 f( )= , 可得 m 的取值范围是(0, 故答案为 (0, ) . ) ,

点评: 本题主要考查函数的零点的定义,函数的零点与方程的根的关系,体现了转化、数 形结合的数学思想,属于中档题. 二、解答题(本大题 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.已知集合 A={x|x =1},B={x|ax=1}.若 B? A,求实数 a 的值. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 已知 B? A,分两种情况:①B=? ,②B≠? ,然后再根据子集的定义进行求解; 解答: 解:显然集合 A={﹣1,1},对于集合 B={x|ax=1}, 当 a=0 时,集合 B=? ,满足 B? A,即 a=0; 当 a≠0 时,集合 ,而 B? A,则 ,或 ,
2

得 a=﹣1,或 a=1, 综上得:实数 a 的值为﹣1,0,或 1. 点评: 此题主要考查子集的定义及其性质,此题还用到分类讨论的思想,注意 B=? ,这种 情况不能漏掉; 16.已知函数 f(x)的定义域为 D,若存在 x0∈D,使等式 f(x0)=x0 成立,则称 x=x0 为函 数 f(x)的不动点,若 x=±1 均为函数 f(x)= (1)求 a,b 的值. (2)求证:f(x)是奇函数. 的不动点.

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)直接利用定义把条件转化为 f(﹣1)=﹣1,f(1)=1 联立即可求 a,b 的值及 f(x)的表达式; (2)根据奇函数的定义进行证明.

解答: 解: (1)有题意可得:

解得:



(2)由(1)知, 定义域是 R, 设任意 x,则, f(﹣x)= =﹣

,故 f(x)=



=﹣f(x) ,

故函数 f(x)是奇函数. 点评: 本题考查的知识点是函数解析式的求法,函数的奇偶性,属于基础题. 17. 某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为 20000 元, 每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数:R(x)= 其中 x 是仪器的月产

量. (1)将利润表示为月产量的函数; (2) 当月产量为何值时, 公司所获利润最大?最大利润是多少元? (总收益=总成本+利润. ) 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: (1)先设月产量为 x 台,写出总成本进而得出利润函数的解析式; (2)分两段求出函数的最大值:当 0≤x≤400 时,和当 x>400 时,最后得出当月产量为多 少台时,公司所获利润最大及最大利润即可. 解答: 解: (1)设月产量为 x 台,则总成本为 20000+100x, 从而利润

(2)当 0≤x≤400 时,f(x)= 所以当 x=300 时,有最大值 25000; 当 x>400 时,f(x)=60000﹣100x 是减函数, 所以 f(x)=60000﹣100×400<25000.



所以当 x=300 时,有最大值 25000, 即当月产量为 300 台时,公司所获利润最大,最大利润是 25000 元. 点评: 函数模型为分段函数,求分段函数的最值,应先求出函数在各部分的最值,然后取 各部分的最值的最大值为整个函数的最大值,取各部分的最小者为整个函数的最小值. 18.已知集合 A={x|x ﹣2x﹣8<0},B={x|x +2x﹣3>0},C={x|x ﹣3ax+2a <0}试求实数 a 的取值范围使 C? A∩B. 考点: 一元二次不等式的解法;集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: 先求出集合 A 与集合 B,从而求出 A∩B,讨论 a 的正负,根据条件 C? A∩B 建立不 等关系,解之即可. 解答: 解:依题意得:A={x|﹣2<x<4},B={x|x>1 或 x<﹣3,} ∴A∩B={x|1<x<4} (1)当 a=0 时,C=Φ,符合 C? A∩B; (2)当 a>0 时,C={x|a<x<2a}, 要使 C? A∩B,则 ,
2 2 2 2

解得:1≤a≤2; (3)当 a<0 时,C={x|2a<x<a}, ∵a<0,C∩(A∩B)=Φ, ∴a<0 不符合题设. ∴综合上述得:1≤a≤2 或 a=0. 点评: 本题主要考查了一元二次不等式的解法,以及集合关系中的参数取值问题,同时考 查了分类讨论的数学思想,属于中档题. 19.已知二次函数 f(x)=x ﹣4x﹣4 在闭区间[t,t+2](t∈R)上的最大值记为 g(t) ,求 g(t)的表达式,并求出 g(t)的最小值. 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先不二次函数的一般式转化成顶点式,进一步求出对称轴方程,根据轴固定和区 间不固定进行分类讨论,然后确定函数的单调性,进一步求出最大值和最小值. 解答: 解: (1)二次函数 f(x)=x ﹣4x﹣4=(x﹣2) ﹣8 二次函数的开口方向向上,对称轴方程:x=2 ①当 t=1 时,x∈[t,t+2]距离对称轴的距离相等,所以 ②当 0<t<1 时,x=t+2 距离对称轴的距离比 x=t 的距离远,所以
2 2 2

③当 1<t<2 时,x=t 离对称轴的距离必 x=t+2 的距离远,所以

④当 t<0 时,函数为单调递减函数,所以

⑤当 t>2 时,函数是单调递增函数,所以 (2)①当 0<t<2 时,f(x)min=﹣8 ②当 t<0 时,函数为单调递减函数,所以 ③当 t>2 时,函数为单调递增函数,所以 故答案为:①当 t=1 时, ②当 0<t<1 时, ③当 1<t<2 时, ④当 t<0 时, ⑤当 t>2 时, (2)①当 0<t<2 时,f(x)min=﹣8 ②当 t<0 时, ③当 t>2 时, 点评: 本题考查的知识点:二次函数一般式与顶点式的转换,对称轴方程,二次函数轴固 定与区间不固定之间的讨论,求二次函数的最值. 20.已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f(1)=2,任取 a,b∈[﹣1,1],a+b ≠0,都有 >0 成立.

(1)证明函数 f(x)在[﹣1,1]上是单调增函数. (2)解不等式 f(x)<f(x ) . (3)若对任意 x∈[﹣1,1],函数 f(x)≤2m ﹣2am+3 对所有的 a∈[0, ]恒成立,求 m 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)根据函数的奇偶性及已知不等式可得差的符号,由单调性的定义可作出判断; (2)根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f” ,转化为具体不等式可求,注 意函数定义域; (3)对所有 x[﹣1,1],f(x)≤2m ﹣2am+3 成立,等价于 f(x)max≤2m ﹣2am+3,由单 调性易求 f(x)max,从而可化为关于 a 的一次函数,利用一次函数的性质可得关于 m 的不 等式组. 解答: 解: (1)证明:任取 x1、x2∈[﹣1,1],且 x1<x2, 又 f(x)是奇函数,
2 2 2 2

于是 f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)=



据已知

>0,x1﹣x2<0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) . ∴f(x)在[﹣1,1]上是增函数. (2)f(x)<f(x ) ,由函数单调性性质知,x<x ,而﹣1≤x≤1,﹣1≤x ≤1 故不等式的解集为{x|﹣1≤x<0}. (3)对所有 x[﹣1,1],f(x)≤2m ﹣2am+3 成立,等价于 f(x)max≤2m ﹣2am+3, 由 f(x)在[﹣1,1]上的单调递增知,f(x)max=f(1)=2, 2 2 所以 2≤2m ﹣2am+3,即 0≤2m ﹣2am+1, 又对 a∈[0, ]恒成立,则有 ,解得 m≤ 或 m≥1,
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故实数 m 的取值范围为 m≤ 或 m≥1. 点评: 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用,考查恒成立问题.考查转化思想, 在解题时要利用好单调性和奇偶性的定义.


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