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点差法公式在高考中的妙用


点差法公式在高考中的应用
圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型,在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般 方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公 式及参数法求解。 若已知直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算

量。我们称这种代点作差的方法为“点差法” , 它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨,以飨读者。 定理 1 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)中,若直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点,点 P( x0 , y0 ) 是弦 a2 b2

MN 的中点,弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ,则 k MN ?

y0 b2 ?? 2 . x0 a

? x1 2 y1 2 ? 2 ? 2 ? 1,??(1) ?a b 证明:设 M、N 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,则有 ? 2 2 ? x2 ? y 2 ? 1.??(2) ? b2 ? a2
(1) ? (2) ,得

x1 ? x2 y ?y ? 1 2 2 ? 0. 2 a b

2

2

2

2

?

y 2 ? y1 y 2 ? y1 b2 ? ?? 2. x2 ? x1 x2 ? x1 a

又? k MN ?

y 2 ? y1 y1 ? y 2 2 y y , ? ? . x2 ? x1 x1 ? x2 2 x x
y b2 ?? 2. x a

? k MN ?

x2 y2 同理可证,在椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)中,若直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点,点 P( x0 , y0 ) 是 b a
弦 MN 的中点,弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ,则 k MN ?

y0 a2 ?? 2 . x0 b

定理 2 在双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a >0, b >0)中,若直线 l 与双曲线相交于 M、N 两点,点 a2 b2

P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中点,弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ,则 k MN ?

y0 b 2 . ? x0 a 2

1

? x1 2 y1 2 ? 2 ? 2 ? 1,??(1) ?a b 证明:设 M、N 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,则有 ? 2 2 ? x2 ? y 2 ? 1.??(2) ? b2 ? a2
x ?x y ?y (1) ? (2) ,得 1 2 2 ? 1 2 2 ? 0. a b
2 2 2 2

?

y 2 ? y1 y 2 ? y1 b 2 ? ? . x2 ? x1 x2 ? x1 a 2

又? k MN ?

y 2 ? y1 y1 ? y 2 2 y0 y0 , ? ? . x2 ? x1 x1 ? x2 2 x0 x0

? k MN ?

y0 b 2 ? . x0 a 2
y2 x2 b >0) ? ?1 ( a >0, 中, 若直线 l 与双曲线相交于 M、 N 两点, 点 P( x0 , y0 ) a2 b2

同理可证, 在双曲线

是弦 MN 的中点,弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ,则 k MN

y0 a 2 . ? ? x0 b 2

定理 3 在抛物线 y 2 ? 2mx(m ? 0) 中,若直线 l 与抛物线相交于 M、N 两点,点 P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中点,弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ,则 k MN

? y0 ? m .

2 ? ? y1 ? 2m x1 ,??(1) 证明:设 M、N 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,则有 ? 2 ? ? y 2 ? 2m x2 .??(2)

(1) ? (2) ,得 y1 ? y2 ? 2m( x1 ? x2 ).

2

2

?

y 2 ? y1 ? ( y 2 ? y1 ) ? 2m. x2 ? x1 y 2 ? y1 , y 2 ? y1 ? 2 y0 . x2 ? x1

又? k MN ?

? k MN ? y0 ? m .
注意:能用这个公式的条件: (1)直线与抛物线有两个不同的交点; (2)直线的斜率存在. 同理可证,在抛物线 x ? 2my(m ? 0) 中,若直线 l 与抛物线相交于 M、N 两点,点 P( x0 , y0 ) 是弦
2

MN 的中点,弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ,则

1 k MN
2

? x0 ? m .

注意:能用这个公式的条件: (1)直线与抛物线有两个不同的交点; (2)直线的斜率存在,且不等于 零.

典题妙解
例 1(09 年四川)已知椭圆 右准线方程为 x ? 2 . (Ⅰ) 求椭圆的标准方程; (Ⅱ) 过点 F1 的直线 l 与该椭圆相交于 M、N 两点,且 | F2 M ? F2 N |? 解: (Ⅰ)根据题意,得

x2 y2 2 ? 2 ? 1( a > b >0)的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,离心率 e ? , 2 2 a b

2 26 ,求直线 l 的方程. 3

? c 2 e? ? , ? ? a 2 ? 2 ? x ? a ? 2. ? c ?
? a ? 2, b ? 1, c ? 1 .
? 所求的椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

(Ⅱ)椭圆的焦点为 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) . 设直线 l 被椭圆所截的弦 MN 的中点为 P ( x, y ) . 由平行四边形法则知: F2 M ? F2 N ? 2F2 P . 由 | F2 M ? F2 N |?

2 26 26 得: | F2 P |? . 3 3
26 . ???????????????????????????① 9

? ( x ? 1) 2 ? y 2 ?

若直线 l 的斜率不存在,则 l ? x 轴,这时点 P 与 F1 (?1,0) 重合,| F2 M ? F2 N |?| 2F2 F1 |? 4 ,与题设 相矛盾,故直线 l 的斜率存在. 由 k MN ?

y b2 y y 1 ? ?? . ? ? 2 得: x ?1 x 2 x a

1 ? y 2 ? ? ( x 2 ? x). ???????????????????????????② 2
3

2 ②代入①,得 ( x ? 1) ?

1 2 26 ( x ? x) ? . 2 9

整理,得: 9 x 2 ? 45x ? 17 ? 0 .

17 2 ,或 x ? ? . 3 3 17 由②可知, x ? 不合题意. 3 2 1 ? x ? ? ,从而 y ? ? . 3 3 y ? ?1. ?k ? x ?1
解之得: x ?

? 所求的直线 l 方程为 y ? x ? 1 ,或 y ? ? x ? 1 .
例 2. 设双曲线 C 的中心在原点,以抛物线 y 2 ? 2 3x ? 4 的顶点为双曲线的右焦点,抛物线的准线为双曲 线的右准线. (Ⅰ)试求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? 2 x ? 1 与双曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB ; (Ⅲ)对于直线 l : y ? kx ? 1 ,是否存在这样的实数 k ,使直线 l 与双曲线 C 的交点 A, B 关于直线

l ' : y ? ax ? 4 ( a 为常数)对称,若存在,求出 k 值;若不存在,请说明理由.
解: (Ⅰ)由 y 2 ? 2 3x ? 4 得 y ? 2 3 ( x ?
2

2 3

),

? p ? 3 ,抛物线的顶点是 (

2 3

,0) ,准线是 x ? ?

3 2 1 . ? ? 2 3 2 3

2 ? ?c ? 3 , 1 2 ? 2 . ? a ? , b ? 1. ? 在双曲线 C 中, ? 2 3 ?a ? 1 . ? 2 3 ?c
? 双曲线 C 的方程为 3x 2 ? y 2 ? 1.
(Ⅱ)由 ?

? y ? 2 x ? 1, ?3x ? y ? 1.
2 2

2 得: x ? 4 x ? 2 ? 0 .

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?4, x1 x2 ? 2 .

? | AB |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? (1 ? 2 2 )[( ?4) 2 ? 4 ? 2] ? 2 10 .
(Ⅲ)假设存在这样的实数 k ,使直线 l 与双曲线 C 的交点 A, B 关于直线 l 对称,则 l 是线段 AB 的垂直
4
' '

平分线. 因而 a ? ? 由 k AB ?

1 1 ' ,从而 l : y ? ? x ? 4 . 设线段 AB 的中点为 P( x0 , y0 ) . k k

y y0 b 2 ? 2 得: k ? 0 ? 3 ,? ky0 ? 3x0 .????????????????① x0 x0 a
1 ? x0 ? 4 得: ky0 ? ? x0 ? 4k .???????????????????② k

由 y0 ? ?

由①、②得: x0 ? k , y0 ? 3 . 由 y0 ? kx0 ? 1 得: 3 ? k 2 ? 1 ,? k ? ? 2 .

?3 x 2 ? y 2 ? 1, 又由 ? 得: (k 2 ? 3) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0. ? y ? kx ? 1.
? 直线 l 与双曲线 C 相交于 A、B 两点,

? ? ? 4k 2 ? 8(k 2 ? 3) >0,即 k 2 <6,且 k 2 ? 3 .
? 符合题意的 k 的值存在, k ? ? 2 .
例 3. (05 全国Ⅲ文 22)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点在抛物线 y ? 2 x 2 上, l 是 AB 的垂直平分线. (Ⅰ)当且仅当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论. (Ⅱ)当 x1 ? 1, x2 ? ?3 时,求直线 l 的方程.
2 解: (Ⅰ)? x ?

1 1 1 y ,? p ? , F (0, ) . 2 4 8

设线段 AB 的中点为 P( x0 , y0 ) ,直线 l 的斜率为 k ,则 x1 ? x2 ? 2 x0 . 若直线 l 的斜率不存在,当且仅当 x1 ? x2 ? 0 时,AB 的垂直平分线 l 为 y 轴,经过抛物线的焦点 F. 若直线 l 的斜率存在,则其方程为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 , k AB ? ? 由

1 . k

1 k AB

? x0 ? p 得: ? kx 0 ?

1 1 ,? x 0 ? ? . 4 4k 1 1 1 ? ? kx 0 ? y 0 ? ? y 0 , y 0 ? ? ,与 y0 ? 0 相矛盾. 8 4 4

若直线 l 经过焦点 F,则得:

? 当直线 l 的斜率存在时,它不可能经过抛物线的焦点 F.
综上所述,当且仅当 x1 ? x2 ? 0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 F. (Ⅱ)当 x1 ? 1, x2 ? ?3 时, A(1,2), B(?3,18), x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 ? ?1, y 0 ? 1 ? 10. 2 2



1 k AB

? x0 ? p 得: k ?

1 . 4
5

? 所求的直线 l 的方程为 y ?

1 ( x ? 1) ? 10 ,即 x ? 4 y ? 41 ? 0. 4

练习
1. (05 湖北)设 A、B 是椭圆 3x 2 ? y 2 ? ? 上的两点,点 N (1,3) 是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直平分线 与椭圆相交于 C、D 两点. (1)确定 ? 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (2)略.

y2 ? 1 上两点,点 N (1,2) 是线段 AB 的中点. 2.(02 江苏)设 A、B 是双曲线 x ? 2
2

(1)求直线 AB 的方程; (2)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 四点是否共圆,为什么? 3. (08 陕西理 20) 已知抛物线 C:y ? 2 x 2 ,直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A、B 两点,M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N. (Ⅰ)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅱ)是否存在实数 k 使 NA ? NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理由

参考答案
2 2 1. 解: (1)? 点 N (1,3) 在椭圆 3x 2 ? y 2 ? ? 内,? 3 ? 1 ? 3 < ? ,即 ? >12.

? ? 的取值范围是 (12,??) .
由 3x ? y ? ? 得
2 2

y2

?

?

x2

?
3

? 1 ,? a 2 ? ? , b 2 ?

?
3

,焦点在 y 轴上.

若直线 AB 的斜率不存在,则直线 AB ? x 轴,根据椭圆的对称性,线段 AB 的中点 N 在 x 轴上,不合题 意,故直线 AB 的斜率存在. 由 k AB ?

3 ? y a2 ? ? 2 得: k AB ? ? ? ,? k AB ? ?1. ? 1 x b 3

? 所求直线 AB 的方程为 y ? 3 ? ?1 ? ( x ? 1) ,即 x ? y ? 4 ? 0 .
从而线段 AB 的垂直平分线 CD 的方程为 y ? 3 ? 1 ? ( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0 . 2. 解: (1) a ? 1, b ? 2 ,焦点在 x 上. 由 k AB ?
2 2

y0 b 2 得: k AB ? 2 ? 2 ,? k AB ? 1. ? x0 a 2
6

? 所求的直线 AB 方程为 y ? 2 ? 1 ? ( x ? 1) ,即 x ? y ? 1 ? 0 .
(2)设直线 CD 的方程为 x ? y ? m ? 0 ,点 N (1,2) 在直线 CD 上,

? 1 ? 2 ? m ? 0 , m ? ?3 .

? 直线 CD 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 .
又设弦 CD 的中点为 M ( x, y ) ,由 k CD ?

y b2 y ? 2 得: ? 1 ? ? 2 ,即 y ? ?2 x . x x a

由?

? x ? y ? 3 ? 0, 得 x ? ?3, y ? 6 . ? y ? ?2 x.

? 点 M 的坐标为 (?3,6) .

? x ? y ? 1 ? 0, ? 又由 ? 得 A(?1,0), B(3,4) . y2 2 ? 1. ?x ? 2 ?
由两点间的距离公式可知: | MA |?| MB |?| MC |?| MD |? 2 10 . 故 A、B、C、D 四点到点 M 的距离相等,即 A、B、C、D 四点共圆.
2 8.(Ⅰ)证明: x ?

1 1 y, m ? p ? ,设点 M 的坐标为 ( x0 , y0 ) . 2 4

当 k ? 0 时,点 M 在 y 轴上,点 N 与原点 O 重合,抛物线 C 在点 N 处的切线为 x 轴,与 AB 平行. 当 k ? 0 时,由

1 k AB

? x0 ? p 得: x 0 ?

k . 4

? y N ? 2 x0 ?

2

k2 k k2 . 得点 N 的坐标为 ( , ) . 8 4 8

k2 k k k2 ? m( x ? ) ,即 y ? m( x ? ) ? 设抛物线 C 在点 N 处的切线方程为 y ? . 8 4 4 8
2 代入 y ? 2 x ,得: 2 x ? m( x ?
2

k k2 )? , 4 8

整理得: 2 x ? m x ?
2

km k 2 ? ? 0. 4 8

? ? m 2 ? 8(

km k 2 ? ) ? m 2 ? 2km ? k 2 ? (m ? k ) 2 ? 0 , 4 8

? m ? k ,即抛物线 C 在点 N 处的切线的斜率等于直线 AB 的斜率.
故抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行.
7

y A M

B O

N

x

(Ⅱ)解:若 NA ? NB ? 0 ,则 NA ? NB ,即 ?ANB ? 90? .

? | AB |? 2 | AM |? 2 | BM |? 2 | MN | .
k2 ?8 y 0 ? kx0 ? 2 ? , 4
? | MN |? y 0 ? y N ?
? y ? kx ? 2, ? y ? 2x .
2

k 2 ? 8 k 2 k 2 ? 16 ? ? . 4 8 8

由?

得 2 x 2 ? kx ? 2 ? 0 .

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?
2 2

k , x1 x 2 ? ?1 . 2
2

k2 1 (k 2 ? 1)(k 2 ? 16) . ? | AB |? (1 ? k )[(x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (k ? 1)( ? 4) ? 4 2
?

1 k 2 ? 16 (k 2 ? 16) 2 2 2 (k 2 ? 1)(k 2 ? 16) ? 2 ? . 即 (k ? 1)(k ? 16) ? . 2 8 4
2

化简,得: k ? 1 ?

k 2 ? 16 2 ,即 k ? 4 . 4

? k ? ?2 .
故存在实数 k ? ?2 ,使 NA ? NB ? 0 .

8


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