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高三数学一轮 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)1.3全称量词与存在量词、逻辑联结词课件 新人教A版

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[知识能否忆起]

1.全称量词与全称命题
(1)“ 所有 ”、“每一个 ”、“任何”、“任意一 条”、“一切”都是在指定范围内,表示整体或全部的 含义,这样的词叫作全称量词. (2)含有 全称量词 的命题,叫作全称命题.

2.存在量词与特称命题 (1)“ 有些 ”、“至少有一个 ”、“有一个”、“存

”都有表示个别或一部分的含义,这样的词叫作存在量
词. (2)含有

存在量词
的命题叫作特称命题.

3.全称命题与特称命题的否定 否定 (1)要说明一个全称命题是错误的,只需找出一个反例 特称 就可以了,实际上是要说明这个全称命题的 的.全称命题的否定是 命题.

是正确

(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性
质”是错误的,就要说明所有的对象都不满足这一性 质.实际上是要说明这个特称命题的 否定 是正确的, 特称命题的否定是 全称 命题. 4.逻辑联结词 且 (1)逻辑联结词通常是指“ “ ”. 或 ”、“ 非 ”、

(2)命题p且q,p或q,綈p的真假判断.
綈p

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

p且q

p或q


假 假 假


真 真 假

假 假 真 真

[小题能否全取] 1.(2011· 北京高考)若p是真命题,q是假命题,则( )

A.p且q是真命题 C.綈p是真命题
答案:D

B.p或q是假命题 D.綈q是真命题

2.(教材习题改编)已知命题p:3≥3;q:3>4,则下列 选项正确的是
A.p或q为假,p且q为假,綈p为真 B.p或q为真,p且q为假,綈p为真 C.p或q为假,p且q为假,綈p为假 D.p或q为真,p且q为假,綈p为假
解析:因为p真,q假,所以p或q为真,p且q为假,綈p为假.

(

)

答案:D

3.(2012· 湖南高考)命题“?x0∈?RQ,x 3 ∈Q”的否 0 定是
A.存在x??RQ,使得x3∈Q C.任意x??RQ,x3∈Q

(

)

B.存在x∈?RQ,x3?Q D.任意x∈?RQ,x3?Q

解析:其否定为?x∈?RQ,x3?Q.

答案:D

4.(2011· 安徽高考)命题“存在 x∈R,使得 x2+2x+5= 0”的否定是________.

答案:对所有的x∈R,都有x2+2x+5≠0
5.命题“?x0∈R,2x2-3ax0+9<0”为假命题,则实数 a 0 的取值范围为________.
解析: 0∈R,2x2-3ax0+9<0 为假命题, ?x 则?x∈R, 0 2x2-3ax+9≥0 恒成立,有 Δ=9a2-72≤0,解得- 2 2≤a≤2 2.

答案:[-2 2,2 2 ]

1.逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的 “并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意 义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.

2.正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加 以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;

“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.
命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有 且只有一个为真,而原命题与否命题的真假无必然联系.

[例 1]

(2012· 齐齐哈尔质检)已知命题 p:?x0∈R,

使 tan x0=1,命题 q:x2-3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}, 给出下列结论:

①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(綈 q)”是假

命题;③命题“(綈 p)∨q”是真命题;④命题“(綈
q)”是假命题.其中正确的是 ( )

A.②③ C.①③④

B.①②④ D.①②③④

[自主解答]

命题 p:?x0∈R,使 tan x0=1 是真命

题,命题 q:x2-3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}也是真命题, 故①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(綈 q)”是假命

题;③命题“(綈 p)∨q”是真命题;④命题“(綈 p)∨(綈 q)”是假命题.

[答案]

D

1.“p且q”“p或q”“綈p”形式命题真假的判断步骤

(1)准确判断简单命题 p、q 的真假;
(2)判断“p且q”“p或q”“綈p”命题的真假.

2.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

(1)p或q:p、q中有一个为真,则p或q为真,即一真全
真; (2)p且q:p、q中有一个为假,则p且q为假,即一假即 假; (3)綈 p:与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反.

1.(1)如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列四个结论:
①命题“p且q”是真命题;②命题“p且q”是假命题;③ 命 题“p或q”是真命题;④命题“p或q”是假命题. 其中正确的结论是 ( )

A.①③
C.②③

B.②④
D.①④

(2)(2012· 江西盟校联考)已知命题p:“任意x∈[0,1],a≥ex”, 命题q:“?x∈R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命题, 则实数a的取值范围是 A.(4,+∞) C.[e,4] ?p与q均为真命题. “p且q”是真命题,则p与q都是真命题.p真则?x∈[0,1], B.[1,4] D.(-∞,1] ( )

解析: “非p或非q”是假命题?“非p”与“非q”均为假命题

a≥ex,需a≥e;q真则x2+4x+a=0有解,需Δ=16-4a≥0,所
以a≤4.p且q为真,则e≤a≤4. 答案: (1) A (2) C

[例2] (2013· 东北三校联考)下列命题中的假命题是 (

)

A.存在x∈(0,+∞),lg x=0
?1? 1 x B.任意x∈(1,+∞),?2? >log x 2 ? ?

C.任意x∈R,x2>0 D.任意x∈R,3x>0

[自主解答]

由于lg

1=0,因此A正确;由于x∈

?1? ?1? 1 x (1,+∞)时?2? >0,log x<0,所以?2?x>log 1 x成立,因此 2 ? ? ? ?
2

B正确;由于02=0,因此C不正确;由于3x>0恒成立, 因此D正确.

[答案]

C

1.全称命题真假的判断方法

(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的
集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立. (2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集 合M中的一个特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可. 2.特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合 M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一特

称命题就是假命题.

2.(2012· 宝鸡模拟)下列命题中的假命题是

(

)

A.存在x∈R,使lg x=-1 B.存在x∈R,使sin x=1 C.对任意x∈R,都有x3>0 D.对任意x∈R,都有2x>0 1 解析:对A,当x= 时,lg x=-1,是真命题;对B, 10

π π 当x= 时,有sin =1,是真命题;对于C选项x=-1 2 2 时,x3=-1<0,是假命题;对D,由指数函数的图像与 性质可知是真命题.

答案:C

[例3]

(2013· 武汉适应性训练)命题“所有不能被2整

除的整数都是奇数”的否定是 ( )

A.所有能被2整除的整数都是奇数 B.所有不能被2整除的整数都不是奇数

C.存在一个能被2整除的整数是奇数
D.存在一个不能被2整除的整数不是奇数

[自主解答]

命题“所有不能被2整除的整数都

是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不 是奇数”,选D. [答案] D

若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”,

其否定为________.
答案:所有能被2整除的整数都不是奇数

(1)弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题
否定的前提. (2)注意命题所含的量词,没有量词的要结合命题 的含义加上量词,再进行否定.
(3)要判断“綈p”命题的真假,可以直接判断,也 可以判断“p”的真假,p与綈p的真假相反.

(4)常见词语的否定形式有: 至少有 至多有 一个 一个 对任意x∈A 使p(x)真

原语 是 都是 句 否定 形式 不都 不是 是

>



一个也 至少有 没有 两个

存在x∈A 使p(x)假

3.(2012· 辽宁高考)已知命题p:?x1,x2∈R,(f(x2)- f(x1))(x2-x1)≥0,则綈p是 ( )

A.对任意a∈R,方程ax2-3x+2=0无正实根 B.对任意a∈R,方程ax2-3x+2=0有负实根 C.存在a∈R,方程ax2-3x+2=0有负实根 D.存在a∈R,方程ax2-3x+2=0无正实根

解析: “任意”的否定是“存在”,“有正实根”的否定 是“无正实根”.故命题“对任意a∈R,方程ax2-3x+2 =0有正实根”的否定是“存在a∈R,方程ax2-3x+2=0 无正实根”.

答案:D

[典例]

(2012· 湖北高考)命题“存在一个无理数,

它的平方是有理数”的否定是
A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数

(

)

[尝试解题]

特称命题的否定为全称命题,即将

“存在”改为“任意”,并将其结论进行否定.原命
题的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理 数”. [答案] B

1.因只否定量词不否定结论,而误选A. 2.对含有一个量词的命题进行否定时,要明确否定

的实质,不应只简单地对量词进行否定,应遵循否定的
要求,同时熟记一些常用量词的否定形式及其规律.

?针对训练

(2012· 辽宁高考改编)已知命题p:对任意x1,x2∈R, (f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则綈p是
A.存在x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.对任意x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.存在x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.对任意x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 解析:命题p的否定为“存在x1,x2∈R,(f(x2)-f(
x1))(x2-x1)<0”. 答案:C

(

)

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.(2012· 济宁模拟)有下列四个命题: p1:若a· b=0,则一定有a⊥b;

p2:?x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y; p3:?a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=a1-2x+1都恒
?1 ? 过定点?2,2?; ? ?

p4:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充 要条件是D2+E2-4F≥0.其中假命题的是( )
解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(三)”

A.p1,p4 C.p1,p3

B.p2,p3 D.p2,p4

解析:对于p1:∵a· b=0?a=0或b=0或a⊥b,当a=
0,则a方向任意,a,b不一定垂直,故p1假,否定B、 D,又p3显然为真,否定C. 答案: A

2. 若命题 p: 关于 x 的不等式 ax+b>0

? b? ? ? ?xx>- ?, 的解集是 a? ? ? ?

命题 q:关于 x 的不等式(x-a)(x-b)<0 的解集是 {x|a<x<b},则在命题“p∧q”“p∨q”“綈 p”“綈

q”中,是真命题的有________.

解析: 依题意可知命题 p 和 q 都是假命题, 所以“p∧q” 为假、“p∨q”为假、“綈 p”为真、“綈 q”为真.
答案:綈 p,綈 q

3.已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;q:方
程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真,p且q为 假,求m的取值范围.
解:若方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根 x1,x2, ?Δ>0, ? 则?x1+x2<0, ?x x >0, ? 1 2
?Δ=m2-4>0, ? 即? ?m>0. ?

解得 m>2,即 p:m>2. 若方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根,

则 Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0. 解得 1<m<3,即 q:1<m<3. ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假, ∴p、q 两命题应一真一假,即 p 为真、q 为假或 p 为假、q 为真.
?m>2, ? ∴? ?m≤1或m≥3 ? ?m≤2, ? 或? ?1<m<3. ?

解得 m≥3 或 1<m≤2. ∴m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).


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