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导数各类题型方法总结(绝对经典)


第一章
一,
1 x

导数及其应用
导数的概念
f (2 ? ?x) ? f (2) 的值是( ) ?x 1 B. 2 C. D. -2 4
) D.1

第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为
主元) ; (请同学们参看 2010 省统测

2) 例 1:设函数 y ? f ( x) 在区间 D 上的导数为 f ?( x) , f ?( x) 在区间 D 上的导数为 g ( x) ,若 在区间 D 上, g ( x) ? 0 恒成立,则称函数 y ? f ( x) 在区间 D 上为“凸函数” ,已知实数 m 是常 数, f ( x) ?

1..已知 f ( x) ? , 则 lim ?x ?0
A. ?

变式 1: 设f ??3? ? 4, 则 lim f ?3 ? h ? ? f ?3? 为 ( h ?0 2h A.-1 B.-2
?x ?0

1 4

x 4 mx 3 3x 2 ? ? 12 6 2 (1)若 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 3? 上为“凸函数” ,求 m 的取值范围;
(2) 若对满足 m ? 2 的任何一个实数 m , 函数 f ( x) 在区间 ? a, b ? 上都为 “凸函数” 求 b ? a ,

C.-3

的最大值. ( )

变式 2: 设f ? x ? 在x0可导, 则 lim A. 2 f ?? x 0 ?

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? 3?x ? ?x

等于
D. 4 f ?? x 0 ?

B. f ??x0 ?

C. 3 f ?? x 0 ?

x 4 mx 3 3x 2 x3 mx 2 得 f ?( x) ? ? ? ? ? 3x 12 6 2 3 2 ? g ( x) ? x 2 ? mx ? 3
解:由函数 f ( x) ? (1) ? y ? f ( x) 在区间 ? 0, 3? 上为“凸函数” , 则 ? g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 在区间[0,3]上恒成立
2

导数各种题型方法总结
请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2 变更主元;3 根分布;4 判别式法 5、二次函数区间最值求法: (1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒 成立问题” 以及“充分应用数形结合思想” 创建不等关系求出取值范围。 , 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基 础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 f ( x) ? 0 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知;
'

解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于 g max ( x) ? 0

? 3 ? g ( 0 ) 0 ?? ? 0 ?? ?m?2 ? ? 9 ? ? g ( 3 ) 0 ? ? m3 ? 3 0

解法二:分离变量法:
∵ 当 x ? 0 时, ? g ( x) ? x ? mx ? 3 ? ?3 ? 0 恒成立,
2

当 0 ? x ? 3 时, g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 恒成立
2

x2 ? 3 3 ? x ? 的最大值( 0 ? x ? 3 )恒成立, x x 3 而 h( x) ? x ? ( 0 ? x ? 3 )是增函数,则 hmax ( x) ? h(3) ? 2 x ?m ? 2
等价于 m ? (2)∵当 m ? 2 时 f ( x) 在区间 ? a, b ? 上都为“凸函数”
2 则等价于当 m ? 2 时 g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 恒成立

变更主元法
2 再等价于 F (m) ? mx ? x ? 3 ? 0 在 m ? 2 恒成立 (视为关于

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种:

m 的一次函数最值

问题)

第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)
1

2 ? ? F ( ? 2 ) 0 ? ? x2? x ? ?3 0 ? ?? ?? ? ?1 ? x ? 1 2 ?2 x ? x ? 3 ? 0 ? F (2) ? 0 ? ?b ? a ? 2



g ( x) max ? g (a ? 2) ? ?2a ? 1. g ( x) min ? g (a ? 1) ? ?4a ? 4.
于是,对任意 x ? [a ? 1, a ? 2] ,不等式①恒成立,等价于

例 2:设函数-2 ( x) ? ?2 x 3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b(0 ? a ? 1, b ? R) f (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式 f ?( x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围.

1 3

? g (a ? 2) ? ?4a ? 4 ? a, 4 解得 ? a ? 1. ? 5 ? g (a ? 1) ? ?2a ? 1 ? ?a
又 0 ? a ? 1, ∴

4 ? a ? 1. 5

(二次函数区间最值的例子)
解: (Ⅰ) f ?( x) ? ? x ? 4ax ? 3a ? ? ? x ? 3a ?? x ? a ?
2 2

点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域 的关系 第三种:构造函数求最值 题型特征: f ( x) ? g ( x) 恒成立 ? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立;从而转化为第一、二 种题型
例 3;已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 图象上一点 P(1, b) 处的切线斜率为 ?3 , 3a

?0 ? a ? 1

f ?( x)
a 3a a

令 f ?( x) ? 0, 得 f (x) 的单调递增区间为(a,3a) 令 f ?( x) ? 0, 得 f (x) 的单调递减区间为(- ? ,a)和(3a,+ ? )

t ?6 2 x ? (t ? 1) x ? 3 (t ? 0) 2 (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)当 x ?[?1, 4] 时,求 f ( x) 的值域; (Ⅲ)当 x ? [1, 4] 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。 g ( x) ? x 3 ?
?b ? 1 ? a (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) 在 [?1,0] 上单调递增,在 [0, 2] 上单调递减,在 [2, 4] 上单调递减 又 f (?1) ? ?4, f (0) ? 0, f (2) ? ?4, f (4) ? 16 ∴ f ( x) 的值域是 [?4,16] t 2 (Ⅲ)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? x ? (t ? 1) x ? 3 x ? [1, 4] 2 2 思路 1:要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立,只需 h( x) ? 0 ,即 t ( x ? 2 x) ? 2 x ? 6 分离变量
思路 2:二次函数区间最值 解: (Ⅰ) f ( x) ? 3x ? 2ax ∴ ?
/ 2

3 3 ∴当 x=a 时, f (x) 极小值= ? a ? b; 4

? f / (1) ? ?3

当 x=3a 时, f (x) 极大值=b.
2 2



解得 ?

? a ? ?3 ?b ? ? 2

(Ⅱ)由| f ?(x) |≤a,得:对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], ?a ? x ? 4ax ? 3a ? a 恒成立① 则等价于 g ( x) 这个二次函数 ?

? g max ( x ) ? a ? g min ( x ) ? ? a

g ( x) ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 的对称轴 x ? 2a

?0 ? a ? 1 ,

a ? 1 ? a ? a ? 2a (放缩法)

即定义域在对称轴的右边, g ( x) 这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。

g ( x) ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 在[a ? 1, a ? 2] 上是增函数.

(9 分)

? a ? 1,
x ? 2a

a ? 2?

2

综上, a 的取值范围是 {a 0 ? a ? 2} .

二、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法 1:转化为 f ' ( x) ? 0或f ' ( x) ? 0 在给定区间上恒成立, 回归基础题型 解法 2:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增或减区间, 然后让所给区间是求的增或减区间的子集;
做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b),要 ” 弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集
例 4:已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

例 5、已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (2 ? a) x 2 ? (1 ? a) x(a ? 0). 3 2

(I)求 f ( x) 的单调区间; (II)若 f ( x) 在[0,1]上单调递增,求 a 的取值范围。子集思想 (I) f ?( x) ? x ? (2 ? a) x ? 1 ? a ? ( x ? 1)( x ? 1 ? a).
2 2 1、 当a ? 0时, f ?( x) ? ( x ? 1) ? 0恒成立,

1 3 a ?1 2 x ? x ? (4a ? 1) x . 12 2

(Ⅰ)如果函数 g ( x) ? f ?( x) 是偶函数,求 f (x) 的极大值和极小值; (Ⅱ)如果函数 f (x) 是 (??,
解:

当且仅当 x ? ?1 时取“=”号, f ( x)在(??, ??) 单调递增。 2、 当a ? 0时,由f ?( x) ? 0, 得x1 ? ?1, x2 ? a ? 1, 且x1 ? x2 ,

? ?) 上的单调函数,求 a 的取值范围.

f ?( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? (4a ? 1) . 4
此时

f ?( x)
f ( x) ? 1 3 1 x ? 3x , f ?( x) ? x 2 ? 3 , 12 4
-1 a-1

单调增区间: (? ?, ?1 ) a ( ? 1, ? ) , ? 单调增区间: (? 1, ? 1 ) a (II)当? f ( x)在[0,1]上单调递增, 则 ? 0 , 1是上述增区 ?

(Ⅰ)∵

f ?( x) 是偶函数,∴ a ? ?1.



f ?( x) ? 0 ,解得: x ? ?2 3 .
列表如下:

间的子集: 1、 a ? 0 时, f ( x)在(??, ??) 单调递增 符合题意

x
f ?(x) f (x)
可知:

(-∞,-2 + 递增

3)

-2

3

(-2

3 ,2 3 )


2 0

3

(2

3 ,+∞)
+ 递增

2、 ? 0,1? ? ? a ? 1, ?? ? ,?a ?1 ? 0 综上,a 的取值范围是[0,1]。

?a ? 1

0 极大值

递减

极小值

f ( x) 的极大值为 f (?2 3 ) ? 4 3 ,

f ( x) 的极小值为 f (2 3 ) ? ?4 3 .

(Ⅱ)∵函数

f (x) 是 (??, ? ?) 上的单调函数,

三、题型二:根的个数问题 题 1 函数 f(x)与 g(x)(或与 x 轴)的交点======即方程根的个数问题 解题步骤
第一步:画出两个图像即“穿线图” (即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是 先增后减再增”还是“先减后增再减” ; 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) 主要看极大值和极小值与 ;



f ?( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? (4a ? 1) ? 0 ,在给定区间 R 上恒成立判别式法 4 1 2 2 则 ? ? (a ? 1) ? 4 ? ? (4a ? 1) ? a ? 2a ? 0, 解得: 0 ? a ? 2 . 4
3

0

的关系;
第三步:解不等式(组)即可;

例 6、已知函数 f ( x) ?

1 3 (k ? 1) 2 1 x ? x , g ( x) ? ? k x ,且 f (x) 在区间 (2,??) 上为增函数. 3 2 3

又∵ x ? ?1 是 f ( x) 的极值点,则 f ?(?1) ? 3a ? 1 ? 2 ? 0 ? a ? ?1

(1) 求实数 k 的取值范围; (2) 若函数 f (x) 与 g (x) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围. 解: (1)由题意 f ?( x) ? x ? (k ? 1) x ∵ f (x) 在区间 (2,??) 上为增函数,
2

f ?( x)
-1

? f ?( x) ? 3x 2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ? 1) ? 0

∴ f ?( x) ? x ? (k ? 1) x ? 0 在区间 (2,??) 上恒成立(分离变量法)
2

f 极大值 ( x) ? f (?1) ?

3 2

2 22 f 极小值 ( x )? f ( ? ? ) 3 7

即 k ? 1 ? x 恒成立,又 x ? 2 ,∴ k ? 1? 2 ,故 k ? 1 ∴ k 的取值范围为 k ? 1

(k ? 1) 2 x 1 (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? x ? kx ? , 3 2 3 2 h?( x) ? x ? (k ? 1) x ? k ? ( x ? k )( x ? 1) 令 h?( x) ? 0 得 x ? k 或 x ? 1 由(1)知 k ? 1 , 2 ①当 k ? 1 时, h ?( x) ? ( x ? 1) ? 0 , h(x ) 在 R 上递增,显然不合题意? ②当 k ? 1 时, h(x ) , h ?(x) 随 x 的变化情况如下表: x (??, k ) (k ,1) (1,??) 1 k ? ? — h ?(x) 0 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ h(x ) 3 2 k ?1 k k 1 ? ? ? 2 6 2 3 k ?1 由于 ? 0 ,欲使 f (x) 与 g (x) 的图象有三个不同的交点,即方程 h( x) ? 0 有三个不同的 2 ?k ? 1 k3 k2 1 ? ? ? 0 , 即 (k ? 1)( k 2 ? 2k ? 2) ? 0 ∴ ? 2 实根,故需 ? ,解得 6 2 3 ?k ? 2 k ? 2 ? 0
3

2 3

(2)设函数 g ( x) 的图像与函数 f ( x) 的图像恒存在含 x ? ?1 的
三个不同交点,

等价于 f ( x) ? g ( x) 有含 x ? ?1 的三个根,即: f (?1) ? g (?1) ? d ? ?

1 (b ? 1) 2

? x3 ?

1 2 1 1 x ? 2 x ? bx 2 ? x ? (b ? 1) 整理得: 2 2 2 1 1 3 2 即: x ? (b ? 1) x ? x ? (b ? 1) ? 0 恒有含 x ? ?1 的三个不等实根 2 2 1 1 (计算难点来了: h( x) ? x3 ? (b ? 1) x 2 ? x ? (b ? 1) ? 0 有含 x ? ?1 的根, ) 2 2
则 h( x ) 必可分解为 ( x ? 1)(二次式) ? 0 ,故用添项配凑法因式分解,

1 1 x 3 ? x 2 ? x 2 ? (b ? 1) x 2 ? x ? (b ? 1) ? 0 2 2
1 ?1 ? x 2 ( x ? 1) ? ? (b ? 1) x 2 ? x ? (b ? 1) ? ? 0 2 ?2 ?

k ?1? 3
综上,所求 k 的取值范围为 k ? 1 ? 3 根的个数知道,部分根可求或已知。

1 2 3 例 7、已知函数 f ( x) ? ax ? x ? 2 x ? c 2
(1)若 x ? ?1 是 f ( x) 的极值点且 f ( x) 的图像过原点,求 f ( x) 的极值;

1 x 2 ( x ? 1) ? ?(b ? 1) x 2 ? 2 x ? (b ? 1) ? ? 0 ? 2? 1 十字相乘法分解: x 2 ( x? 1 )? ? ( ? 1 x ? b ?? ? 1 ) x?? b ) ( 2
1 1 ? ? ( x ? 1) ? x 2 ? (b ? 1) x ? (b ? 1) ? ? 0 2 2 ? ?

1 ?

0

1 2 (2)若 g ( x) ? bx ? x ? d ,在(1)的条件下,是否存在实数 b ,使得函数 g ( x) 的图像与函 2
数 f ( x) 的图像恒有含 x ? ?1 的三个不同交点?若存在,求出实数 b 的取值范围;否则说明理由。
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1 1 ? x3 ? (b ? 1) x 2 ? x ? (b ? 1) ? 0 恒有含 x ? ?1 的三个不等实根 2 2 1 1 2 等价于 x ? (b ? 1) x ? (b ? 1) ? 0 有两个不等于-1 的不等实根。 2 2

解: (1)∵ f ( x) 的图像过原点,则 f (0) ? 0 ? c ? 0

f ?( x) ? 3ax 2 ? x ? 2 ,
4

1 1 ? ? ? (b ? 1) 2 ? 4 ? (b ? 1) ? 0 ? ? 4 2 ?? ? b ? (??, ?1) ? (?1,3) ? (3, ??) 1 1 2 ?(?1) ? (b ? 1) ? (b ? 1) ? 0 ? ? 2 2
1 3 7 2 x - x +10x, 3 2

解:函数的定义域为 R (Ⅰ)当 m=4 时,f (x)=

题 2:切线的条数问题====以切点 x0 为未知数的方程的根的个数
例 7、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极小值-4,使其导数 f '( x) ? 0 的 x 的
3 2

f ?( x) =x2-7x+10,令 f ?( x) ? 0 , 解得 x ? 5, 或 x ? 2 .
令 f ?( x) ? 0 , 解得 2 ? x ? 5 可知函数 f(x)的单调递增区间为 (??,2) 和(5,+∞) ,单调递减区间为 ? 2,5 ? . (Ⅱ) f ?( x) =x2-(m+3)x+m+6, 要使函数 y=f (x)在(1,+∞)有两个极值点, ? f ?( x) =x2 -(m+3)x+m+6=0 的根在(1,+∞)

取值范围为 (1,3) ,求: (1) f ( x) 的解析式; (2)若过点 P(?1, m) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切 线,求实数 m 的取值范围. (1)由题意得: f '( x) ? 3ax ? 2bx ? c ? 3a( x ? 1)( x ? 3), (a ? 0)
2

∴在 (??,1) 上 f '( x) ? 0 ;在 (1,3) 上 f '( x) ? 0 ;在 (3, ??) 上 f '( x) ? 0 因此 f ( x) 在 x0 ? 1 处取得极小值 ?4 ∴ a ? b ? c ? ?4 ①, f '(1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ②, f '(3) ? 27a ? 6b ? c ? 0 ③

? a ? ?1 ? 3 2 由①②③联立得: ?b ? 6 ,∴ f ( x) ? ? x ? 6 x ? 9 x ? c ? ?9 ?
(2)设切点 Q (t , f (t )) , y ? f (t ) ? f (t )( x ? t )
,

根分布问题:
1

y ? (?3t 2 ? 12t ? 9)( x ? t ) ? (?t 3 ? 6t 2 ? 9t ) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (3t 2 ? 12t ? 9) ? t (t 2 ? 6t ? 9) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (2t 2 ? 6t ) 过 (?1, m) m ? (?3t 2 ? 12t ? 9)(?1) ? 2t 3 ? 6t 2 g (t ) ? 2t 3 ? 2t 2 ? 12t ? 9 ? m ? 0
令 g '(t ) ? 6t ? 6t ? 12 ? 6(t ? t ? 2) ? 0 ,
2 2

? ?? ? (m ? 3) 2 ? 4(m ? 6) ? 0; ? 则 ? f ?(1) ? 1 ? (m ? 3) ? m ? 6 ? 0; , 解得 m>3 ?m ? 3 ? ? 1. ? 2

例 9、已知函数 f ( x) ?

求得: t ? ?1, t ? 2 ,方程 g (t ) ? 0 有三个根。

a 3 1 2 (2)令 g ( x) = x ? x , (a ? R, a ? 0) (1)求 f (x) 的单调区间; 3 2

? g ( ?1) ? 0 ??2 ? 3 ? 12 ? 9 ? m ? 0 ?m ? 16 ?? ?? 需: ? ? g (2) ? 0 ?16 ? 12 ? 24 ? 9 ? m ? 0 ?m ? ?11
故: ?11 ? m ? 16 ;因此所求实数 m 的范围为: (?11,16)

1 4 x +f(x) (x∈R)有且仅有 3 个极值点,求 a 的取值范围. 4
解: (1) f ( x) ? ax ? x ? x(ax ? 1)
' 2

题 3:已知 f ( x) 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数
解法:根分布或判别式法 例 8、
5

1 1 或x ? 0 ,令 f ' ( x) ? 0 解得 ? ? x ? 0 , a a 1 1 所以 f (x) 的递增区间为 (??,? ) ? (0,??) ,递减区间为 ( ? ,0) . a a
当 a ? 0 时,令 f ( x) ? 0 解得 x ? ?
'

当 a ? 0 时,同理可得 f (x) 的递增区间为 (0, ? (2) g ( x) ?

1 1 ) ,递减区间为 (??,0) ? (? ,??) . a a

(1)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c
(Ⅰ) 若函数 f ( x) 在 x ? 1 时有极值且在函数图象上的点 (0, 1) 处的切线与直线 3x ? y ? 0 平行, 求 f (x) 的解析式; (Ⅱ) 当 f ( x) 在 x ? (0, 1) 取得极大值且在 x ? (1,

2 3

1 4 a 3 1 2 x ? x ? x 有且仅有 3 个极值点 4 3 2

? g ?( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? x( x 2 ? ax ? 1) =0 有 3 个根,则 x ? 0 或 x 2 ? ax ? 1 ? 0 , a ? ?2
方程 x ? ax ? 1 ? 0 有两个非零实根,所以 ? ? a ? 4 ? 0,
2
2

2) 取得极小值时, 设点 M (b ? 2, a ? 1)

? a ? ?2 或 a ? 2
而当 a ? ?2 或 a ? 2 时可证函数 y ? g ( x) 有且仅有 3 个极值点

所在平面区域为 S, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 求直线 L 的方程.
2 解: (Ⅰ). 由 f ?( x) ? 2 x ? 2ax ? b , 函数 f ( x) 在 x ? 1时有极值 ,

其它例题:
1 、(

∴ 2a ? b ? 2 ? 0 上的函数 ∵ f (0) ? 1 ∴

在区间 ? ?2,1? 上的最大值是 5,最小值是-11. f ( x) ? ax ? 2ax ? b a ? 0) (
3 2

最值问题与主元变更法的例子).已知定义在 R

c ?1

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 t ? [?1,1] 时, f ?( x) tx ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围. ? 解: (Ⅰ)? f ( x) ? ax ? 2ax ? b,? f ( x) ? 3ax ? 4ax ? ax(3x ? 4)
3 2 ' 2

又∵ f ( x) 在 (0, 1) 处的切线与直线 3x ? y ? 0 平行, ∴ f ?(0) ? b ? ?3 ∴ f ( x) ? 故

a?

令 f ( x ) =0,得 x1 ? 0, x2 ?
'

因为 a ? 0 ,所以可得下表:

4 ? ? ?2,1? 3
0 0 极大

1 2
……………………. 7

2 3 1 2 x ? x ? 3x ? 1 3 2

x
f ( x)
'

? ?2, 0 ?
+ ↗

? 0,1?
-

分 (Ⅱ) 解法一: 由 f ?( x) ? 2 x ? 2ax ? b 及 f ( x) 在 x ? (0, 1) 取得极大值且在 x ? (1,
2

2) 取得

极小值,

f ( x)



因此 f (0) 必为最大值,∴ f(0) 5 因此 b ? 5 , ? f (?2) ? ?16a ? 5, f (1) ? ?a ? 5,? f (1) ? f (?2) , ?

? 即 f (?2) ? ?16a ? 5 ? ?11 ,∴ a ? 1 ,∴ f ( x) x ? 2 x ? 5.
3 2

? f ?(0) ? 0 ? ∴ ? f ?(1) ? 0 ? f ?(2) ? 0 ?

?b ? 0 ? 即 ? 2a ? b ? 2 ? 0 ? 4a ? b ? 8 ? 0 ?

令 M ( x,

, y)

则 ?

?x ? b ? 2 ? y ? a ?1

(Ⅱ)∵ f ?( x) ? 3x ? 4 x ,∴ f ?( x) tx ? 0 等价于 3x ? 4 x ? tx ? 0 , ?
2

2

令 g (t ) ? xt ? 3x ? 4 x ,则问题就是 g(t ) ? 0 在 t ? [?1,1] 上恒成立时,求实数 x 的取值范
2

围, 为此只需 ?

?3 x 2 ? 5 x ? 0 ? g ( ?1) ? 0 ,即 ? 2 , ? g(1) ? 0 ? x ?x?0

?a ? y ?1 ∴ ? ?b ? x ? 2
易得 A(?2,

?x ? 2 ? 0 ? ∴ ?2 y ? x ? 2 ? 0 ?4 y ? x ? 6 ? 0 ?

故点 M 所在平面区域 S 为如图△ABC,

0) , B(?2, ? 1) ,

C (2, ? 2) ,

D(0, ? 1) ,

解得 0 ? x ? 1 ,所以所求实数 x 的取值范围是[0,1]. 2、 (根分布与线性规划例子)
6

3 E (0, ? ) , 2

S?ABC ? 2

同时 DE 为△ABC 的中位线,

1 S?DEC ? S四边形ABED 3

∴ 所求一条直线 L 的方程为: x ? 0 另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 设直线 L 方程为

另一种情况由于直线 BO 方程为: y ?

1 x , 设直线 BO 与 AC 交于 H , 2

y ? kx ,它与 AC,BC 分别交于 F、G,
由 ?

则 k ? 0 , S四边形DEGF ? 1

? y ? kx ?2 y ? x ? 2 ? 0 ? y ? kx ?4 y ? x ? 6 ? 0

1 ? ? y? x 由 ? 2 ?2 y ? x ? 2 ? 0 ?
∵ S?ABC ? 2 ,

得直线 L 与 AC 交点为: H (?1,

1 ? ) 2

得点 F 的横坐标为: xF ? ?

2 2k ? 1 6 4k ? 1

1 1 1 S?DEC ? ? ? 2 ? , 2 2 2

由 ?

得点 G 的横坐标为: xG ? ?

1 1 1 1 S?ABH ? S?ABO ? S?AOH ? ? 2 ?1 ? ? 2 ? ? 2 2 2 2
∴ 所求直线方程为: x ? 0 或 y ?

∴ S四边形DEGF

? S?OGE ? S?OFD ? ? ?

1 3 6 1 2 ? ?1? ? 1即 2 2 4k ? 1 2 2k ? 1

1 x 2
3 2

16k 2 ? 2k ? 5 ? 0
5 1 (舍去) 故这时直线方程为: y ? x 8 2 1 综上,所求直线方程为: x ? 0 或 y ? x .…………….………….12 2
解得: k ? 或

3、 (根的个数问题)已知函数 f (x) ? ax ? bx ? (c ? 3a ? 2b)x ? d (a ? 0) 的图象如图所

1 2

k??

示。 (Ⅰ)求 c、d 的值; ( Ⅱ ) 若 函 数 f (x) 的 图 象 在 点 (2,f (2)) 处 的 切 线 方 程 为

分 (Ⅱ) 解法二: 由 f ?( x) ? 2 x ? 2ax ? b 及 f ( x) 在 x ? (0, 1) 取得极大值且在 x ? (1,
2

3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f ( x )的解析式; 2) 取得
(Ⅲ)若 x0 ? 5, 方程 f (x) ? 8a 有三个不同的根,求实数 a 的取 值范围。

极小值,

? f ?(0) ? 0 ? ∴ ? f ?(1) ? 0 ? f ?(2) ? 0 ?

?b ? 0 ? 即 ? 2a ? b ? 2 ? 0 ? 4a ? b ? 8 ? 0 ?

令 M ( x,

, y)

?x ? b ? 2 则 ? ? y ? a ?1

解:由题知: f ?(x) ? 3ax ? 2bx+c-3a-2b
2

(Ⅰ)由图可知 函数 f ( x )的图像过点( 0 , 3 ),且 f ??1? = 0 得?

?a ? y ?1 ∴ ? ?b ? x ? 2
易得 A(?2,

?x ? 2 ? 0 ? ∴ ?2 y ? x ? 2 ? 0 ?4 y ? x ? 6 ? 0 ?

故点 M 所在平面区域 S 为如图△ABC,

?d ? 3 ?d ? 3 ?? ? 3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0 ?c ? 0

0) , B(?2, ? 1) ,

C (2, ? 2) ,

D(0, ? 1) ,

3 E (0, ? ) , 2

(Ⅱ)依题意

f ??2? = – 3 且 f ( 2 ) = 5

S?ABC ? 2

同时 DE 为△ABC 的中位线,

1 S?DEC ? S四边形ABED 3

∴所求一条直线 L 的方程为: x ? 0

?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 解得 a = 1 , b = – 6 ? ?8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5
所以 f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 (Ⅲ)依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a>0 )
7

f ??x ? = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b

由 f ??5? = 0 ? b = – 9a



若方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根,当且仅当 3?

满足 f ( 5 )<8a<f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3 < 8a < 7a +

1 3 1 1 x ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? ? 0 3 2 6 1 3 1 2 1 令 ? ( x) ? x ? (a ? ) x ? 2ax ? (?2 ? x ? 1) ????????6 分 3 2 6


x

?2

(?2,1)


1

1 <a<3 11

?? ?( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? 2a ? ( x ? 2a)( x ? 1)
令 ? ?( x) ? 0 得 x ? 2a 或 x ? 1?????????????????7 分

? ?( x)
? ( x)
9 ?8a ? 2

a

1 2 当 2a ? ?2 即 a ? ?1 时 ?a ?

1 <a<3 时,方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根。???? 12 分 11 1 4、 (根的个数问题)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? 1(a ? R) 3
所以 当 (1)若函数 f ( x) 在 x ? x1 , x ? x2 处取得极值,且 x1 ? x2 ? 2 ,求 a 的值及 f ( x) 的单调区 间; (2)若 a ?

9 ? 0 , a ? 0 ,有一个交点;??????????9 分 2 1 当 2a ? ?2 即 ?1 ? a ? 时, 2
此时, ?8a ?

x
1 1 2 5 ,讨论曲线 f ( x) 与 g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? (?2 ? x ? 1) 的交点个数. 2 2 6
2

?2

(?2, 2a)


2a
0
2 2 1 a (3 ? 2a) ? 3 6

(2a,1)


1

? ?( x)
? ( x)
?8a ? 9 2

解: (1) f' ( x) ? x ? 2ax ? 1

a

? x1 ? x2 ? 2a, x1 ? x2 ? ?1
? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4a 2 ? 4 ? 2

? a ? 0 ???????????????????????????2 分
f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 ? x 2 ? 1
令 f ?( x) ? 0 得 x ? ?1, 或x ? 1 令 f ?( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 1 ∴ f ( x) 的单调递增区间为 (??, ?1) , (1, ??) ,单调递减区间为 (?1,1) ????5 分 (2)由题 f ( x) ? g ( x) 得

1 3 1 5 x ? ax 2 ? x ? 1 ? x 2 ? (2a ? 1) x ? 3 2 6
8

2 1 ? a 2 (3 ? 2a) ? ? 0 , 3 6 9 9 ∴当 ?8a ? ? 0 即 ?1 ? a ? ? 时,有一个交点; 2 16 9 9 当 ?8a ? ? 0,且a ? 0 即 ? ? a ? 0 时,有两个交点; 2 16 1 9 当 0 ? a ? 时, ?8a ? ? 0 ,有一个交点.?????????13 分 2 2 9 1 综上可知,当 a ? ? 或 0 ? a ? 时,有一个交点; 16 2 9 当? ? a ? 0 时,有两个交点.?????????????14 分 16 x3 2 10 5、 简单切线问题)已知函数 f ( x ) ? 2 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 ( , 5 a

3bx ?3. a2 (Ⅰ) 若函数 g (x) 在 x ? 1 处有极值,求 g (x) 的解析式;
函数 g ( x) ? f ( x) ? (Ⅱ) 若函数 g (x) 在区间 [?1,1] 上为增函数,且 b ? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [?1,1] 上都成立, 求实数 m 的取值范围.
2

解: (1)设 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 3x ? 12 x ? k ,(1)中的问题可转化为: x ?[?3,3]
3 2

时, h( x) ? 0 恒成立,即

[h( x)]min ? 0



h' ( x) ? 6 x 2 ? 6 x ? 12 ? 6( x ? 2)( x ? 1) ;
当 x 变化时, h( x), h ( x) 的变化情况列表如下:
'

函数中任意性和存在性问题探究
高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点,下面结合高考试题对此 类问题进行归纳探究 一、相关结论: 结论 1: ?x1 ? [a, b], ?x2 ? [c, d ], f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? [ f ( x)]min ? [ g ( x)]max ; 【如图一】 结论 2: ?x1 ? [a, b], ?x2 ? [c, d ], f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? [ f ( x)]max ? [ g ( x)]min ; 【如图二】 结论 3: ?x1 ? [a, b], ?x2 ? [c, d ], f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? [ f ( x)]min ? [ g ( x)]min ; 【如图三】 结论 4: ?x1 ? [a, b], ?x2 ? [c, d ], f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? [ f ( x)]max ? [ g ( x)]max ; 【如图四】 结论 5: ?x1 ? [a, b], ?x2 ? [c, d ], f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x) 的值域和 g ( x) 的值域交集不为空; 【如 图五】

x
3

-

(-3 ,-1) +

-1 0 极 大值

(1,2) - 减 函数

2 ) 0 极 小值

(2,3 + 增函 数 -9

3

h?
(x) h (x) -45 k

增 函数

k

因为 h(?1) ? k ? 7, h(2) ? k ? 20 ,所以,由上表可知 ≥45,即 k∈[45,+∞).

[h( x)]min ? k ? 45

,故 k-45≥0,得 k

小结: ①对于闭区间 I, 不等式 f(x)<k 对 x∈I 时恒成立 ? [f(x)]max<k, x∈I;不等式 f(x)>k 对 x∈I 时恒成立 ? [f(x)]min>k, x∈I. ②此题常见的错误解法:由[f(x)]max≤[g(x)]min 解出 k 的取值范围.这种解法的错误在于 条件“[f(x)]max≤[g(x)]min”只是原题的充分不必要条件,不是充要条件,即不等价. (2)根据题意可知, (2)中的问题等价于 h(x)= g(x)-f(x) ≥0 在 x∈[-3,3]时有解,故 [h(x)]max≥0. 由(1)可知[h(x)]max= k+7,因此 k+7≥0,即 k∈[7,+∞). (3)根据题意可知, (3)中的问题等价于[f(x)]max≤[g(x)]min,x∈[-3,3]. 由二次函数的图像和性质可得, x∈[-3,3]时, [f(x)]max=120-k. 仿照(1) ,利用导数的方法可求得 x∈[-3,3]时, [g(x)]min=-21. 由 120-k≥-21 得 k≥141,即 k∈[141,+∞). 说明:这里的 x1,x2 是两个互不影响的独立变量. 从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“ ? x”恒成立,还是

【例题 1】 :已知两个函数 f ( x) ? 8 x ? 16 x ? k , g ( x) ? 2 x ? 5 x ? 4 x, x ?[?3,3], k ? R ;
2 3 2

(1) 若对 ?x ? [?3,3] ,都有 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 k 的取值范围; (2) 若 ?x ? [?3,3] ,使得 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 k 的取值范围; (3) 若对

“ ? x”使之成立,同时还要看清不等式两边是同一个变量,还是两个独立的变量,然后再根据不 同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜.. 二、相关类型题: 〈一〉 " a ? f ( x)" 型; 、 形如 " a ? f ( x)"," a ? f ( x)" 型不等式,是恒成立问题中最基本的类型,它的理论基础是

?x1 , x2 ? [?3,3]

,都有

f ( x1 ) ? g ( x2 )

成立,求实数 k 的取值范围;
9

“ a ? f ( x) 在 ?x ? D 上 恒 成 立 , 则 a ? f ( x)max ( x ? D); a ? f ( x) 在 x ∈ D 上 恒 成 立 , 则

应是凸函数的性质,画草图即知 y ? log 2 2 x 符合题意; 〈四〉 " 、.

a ? f ( x)min ( x ? D); ”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0" 型 x1 ? x2

例 1 :已知二次函数 f ( x) ? ax ? x ,若 ? x ? [0,1] 时,恒有 | f ( x) |? 1 ,求实数 a 的取值范围.
2

例 4 已知函数 f ( x) 定义域为 [?1,1] , f (1) ? 1 ,若 m, n ?[?1,1] , m ? n ? 0 时,都有

解:? | f ( x) |? 1 ,∴ ?1 ? ax ? x ? 1 ;即 ?1 ? x ? ax ? 1 ? x ;
2 2

"

当 x ? 0 时,不等式显然成立,
2

f (m) ? f (n) ? 0" ,若 f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对所有 x ?[?1,1] , a ?[?1,1] 恒成立,求实数 t 取值 m?n
解 : 任 取 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

∴a∈R.

范围.

当 0 ? x ? 1 时,由 ?1 ? x ? ax ? 1 ? x 得: ? . ∴a?0. 又∵ (?

1 1 1 1 1 1 ? ? a ? 2 ? ,而 ( 2 ? )min ? 0 2 x x x x x x

1 1 ? )max ? ?2 ,∴ a ? ?2,??2 ? a ? 0 ,综上得 a 的范围是 x2 x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) , 由 已 知 x1 ? x2

a ?[?2,0] 。
〈二〉 " f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 )" 型 、 例 2 已知函数 f ( x) ? 2sin( 则 | x1 ? x2 | 的最小值为____. 解 ∵对任意 x∈R,不等式 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 恒成立, ∴ f ( x1 ), f ( x2 ) 分别是 f ( x) 的最小值和最大值. 对于函数 y ? sin x ,取得最大值和最小值的两点之间最小距离是 π,即半个周期.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 f,即 f ( x) 在 [?1,1] 上为增函数. x1 ? x2
∵ f (1) ? 1 ,∴ x ?[?1,1] ,恒有 f ( x) ? 1 ; ∴要使 f ( x) ? t ? 2at ? 1 对所有 x ?[?1,1] , ?[?1,1] 恒成立, 即要 t ? 2at ? 1 ? 1恒成立, a
2

?x ?

? ) ,若对 ? x ? R ,都有 " f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 )" 成立, 2 5

2

故 t ? 2at ? 0 恒成立,令 g (a) ? ?2at ? t ,只须 g (?1) ? 0 且 g (1) ? 0 ,
2
2

解得 t ? ?2 或 t ? 0 或 t ? 2 。 评注: 形如不等式 "

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0" 或 " ? 0" 恒成立,实际上是函数的单 x1 ? x2 x1 ? x2

调性的另一种表现形式,在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息. 〈五〉 " f ( x) ? g ( x)" 型: 、. 例 5: 已知 f ( x) ? 求实数 t 的取值范围. 解 : f ( x) ? g ( x) 在 x ? [0,1] 恒 成 立 , 即

? ) 的周期为 4,∴ | x1 ? x2 | 的最小值为 2. 5 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 〈三〉 " f ( 1 、. )? "型 2 2
又函数 f ( x) ? 2sin(

?x ?
2

1 若当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? g ( x) )恒成立, lg( x ? 1) ,g ( x) ? lg(2 x ? t ) , 2
x ? 1 ? 2 x ? t ? 0 在 x ? [0,1] 恒 成 立

例 3: (2005 湖北)在 y ? 2 x, y ? log 2 2 x, y ? x , y ? cos x 这四个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1
2

时,使 " f ( A.0

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? " 恒成立的函数的个数是( 2 2
B.1 C.2 D.3

)

? x ? 1 ? 2 x ? t 在 [0,1] 上的最大值小于或等于零.
令 F ( x) ?
10

x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 解:本题实质就是考察函数的凸凹性,即满足条件 " f ( 1 )? " 的函数, 2 2

x ? 1 ? 2 x ? t , F ' ( x) ?

1? 4 x ?1 ,∵ x ? [0,1] 2 x ?1

∴ F ( x) ? 0 ,即 F ( x) 在[0,1]上单调递减,F(0)是最大值.
'

(2)由条件(2)知 f (?1) ? f (1) ? 0 , 不妨设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,由(3)知 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 |? x2 ? x1 , 又∵ | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f ( x1 ) | ? | f ( x2 ) |?| f ( x1 ) ? f ( ?1) | ? | f ( x2 ) ? f (1) |

∴ f ( x) ? F (0) ? 1 ? t ? 0 ,即 t ? 1 。 〈六〉 " f ( x1 ) ? g ( x2 )" 型 、 例 6:已知函数 f ( x) ?

1 3 4 9x ? c ,若对任意 x1 , x2 ? [?2, 2] ,都有 x ? x 2 ? 3x ? , g ( x) ? ? 3 3 2

? x1 ? 1 ? 1 ? x2 ? 2 ? ( x2 ? x1 ) ? 2? | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ;∴ | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 1
〈八〉 "| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | " 型 、 已 知 函 数 f ( x) ? x ? ax ? b , 对 于 x1 , x2 ? (0,
3

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 c 的范围.
解:因为对任意的 x1 , x2 ? [?2, 2] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, ∴ [ f ( x)]max ? [ g ( x)]min , f ( x) ? x ? 2 x ? 3 , f ( x) ? 0 得 x ? 3, x ? ?1 x>3 或 x<-1; ∵ 令
' 2 '

例 9 :

3 )( x1 ? x2 ) 时 总 有 3

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | 成立,求实数 a 的范围.
解 由 f ( x) ? x ? ax ? b ,得 f ( x) ? 3x ? a ,
3

f ( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 3 ;∴ f ( x) 在 [?2, ?1] 为增函数,在 [?1, 2] 为减函数.
'

∵ f (?1) ? 3, f (2) ? ?6 ,∴ [ f ( x)]max

18 ? c ? 3, .∴ 3 ? ? ,∴ c ? ?24 。 2

'

2

〈七〉 "| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? t " ( t 为常数)型; 、 例 7 :已知函数 f ( x) ? ? x ? 2 x ,则对任意 t1 , t2 ? [?
4 3

当 x ? (0,

3 ) 时, a ? f ' ( x) ? 1 ? a ,∵ | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | , 3
∴?

1 , 2] ( t1 ? t2 )都有 2

∴|

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? ____ 恒成立,当且仅当 t1 =____, t 2 =____时取等号.
解:因为 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| [ f ( x)]max ? [ f ( x)]min | 恒成立,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 1 , x1 ? x2

?a ? ?1 ? ?1 ? a ? 0 ?1 ? a ? 1

评注 由导数的几何意义知道,函数 y ? f ( x) 图像上任意两点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 连线的斜 率k ?

1 由 f ( x) ? ? x ? 2 x , x ?[? , 2] , 易 求 得 2 1 5 [ f ( x)]min ? f (? ) ? ? ,∴ | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 。 2 16
4 3

[ f ( x)]max

3 27 ? f( )? 2 16



y2 ? y1 ( x1 ? x2 ) 的取值范围,就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围,利用这 x2 ? x1

个结论,可以解决形如 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? m | x1 ? x2 | |或 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? m | x1 ? x2 | (m>0)型的 不等式恒成立问题.

例8 : 已知函数 y ? f ( x) 满足:(1)定义域为 [?1,1] ;(2)方程 f ( x) ? 0 至少有两个实根 ?1 和

1;(3)过 f ( x) 图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于 1.
(1)证明 | f (0) |? 1 |; (2)证明:对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 1 . 证明 (1)略;
11

考前寄语:①先易后难,先熟后生;②一慢一快:审题要慢,做题要快;③不能小题 难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做;④我易人易我不大意,我难人难我不畏难; ⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对;⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得 分,似曾相识题力争不失分;⑦对数学解题有困难的考生的建议:立足中下题目,力争 高上水平,有时“放弃”是一种策略.

12


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