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4-1.4.3正切函数的性质与图象(1)--高一上学期必修四【理教案】

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高一数学【理】教案

高一数学组

4-1.4.3 正切函数的性质与图象(1)
教学目的: 知识目标:1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象; 2.用正切函数图象解决函数有关的性质; 能力目标:1.理解并掌握作正切函数图象的方法; 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法; 德育目标:培养认真学习的精神; 教学重点:用单位圆中的正

切线作正切函数图象; 教学难点:正切函数的性质。 授课类型:新授课 教学模式: 启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 问题:正弦曲线是怎样画的? 正切线? 练习正切线,画出下列各角的正切线:

. 下面我们来作正切函数和余切函数的图象. 二、讲解新课: 1.正切函数 y ? tan x 的定义域是什么? 2.正切函数是不是周期函数?

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?
? ? ,k ? , z ?

? ? tan n ? R 且, ? x ?k ? ? x ? ? ? ? t ax ? x 2 ?
∴ ? 是 y ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ?

? ?

?

? , k ? z ? 的一个周期。 2 ?

? 是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。

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3.作 y ? tan x , x ? ? ?

? ? ?? , ? 的图象 ? 2 2?

说明: (1)正切函数的最小正周期不能比 ? 小,正切函数的最小正周期是 ? ; (2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数

y ? tan x x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线” 。
y
y

3 ? ? 2

?? ? ?

O
0

?
2

?

2

3 ? x 2

x

(3)由图象可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线 x ? k? ? 的无穷多支曲线组成的。

?
2

? k ? Z ? 所隔开

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4.正切函数的性质

引导学生观察,共同获得:

(1)定义域: ? x | x ? (2)值域:R

? ?

?

? ? k? , k ? z ? ; 2 ?
?
2
? ??? ?k ? z ?, x ? ?? k? ? 时, tan x ?? 2

观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于

?

2 T ? ? (3)周期性: ;

?? ? k? ?k ? z ? , x ?

?
2

?? ?? 。 ? k? 时, tan x ?

(4)奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数;

? ? ? (5)单调性:在开区间 ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 2 ? 2 ? 5.余切函数 y=cotx 的图象及其性质(要求学生了解) :

? ?? ?? ? ? y ? cot x ? tan? ? x ? ? ? tan? x ? ? ——即将 y ? tan x 的图象,向左平移 2 2? ?2 ? ?
个单位,再以 x 轴为对称轴上下翻折,即得 y ? cot x 的图象
王新敞
奎屯 新疆

定义域: x ? R且x ? k? , k ? z 值域:R, 当 x ? ? k? , k? ? 周期: T ? ?

? ?

??

? ? ? ?k ? z 时 y ? 0 ,当 x ? ? k? ? , k? ?k ? z 时 y ? 0 2? 2 ? ?

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奇偶性:奇函数 单调性:在区间 ?k? , ?k ? 1?? ? 上函数单调递减 6.讲解范例: 例 1 比较 tan? ?
王新敞
奎屯 新疆

? 13? ? ? 17? ? ? 与 tan? ? ? 的大小 ? 4 ? ? 5 ?

王新敞
奎屯

新疆

解:? tan? ?

? ? 13? ? ? 17? ? ? ? tan , tan? ? 4 ? 4 ? ? 5
?

2? ? , ? ? ? tan 5 ?

又: 0 ?

?
4

2? ? ?? , y ? tan x在? 0, ? 内单调递增, 5 ? 2? 2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ? ? ?

? tan

?
4

? tan

王新敞
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例 2 讨论函数 y ? tan? x ?

??

? 的性质 4?

王新敞
奎屯

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略解:定义域: ? x | x ? R且x ? k? ? 值域:R 单调性:在 ? k? ?

? ?

?

? , k ? z? 4 ?

奇偶性:非奇非偶函数

? ?

3? ?? , k? ? ? 上是增函数 4 4?

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图象:可看作是 y ? tan x 的图象向左平移 例 3 求函数 y=tan2x 的定义域 解:由 2x≠kπ+
王新敞
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?
4

单位

王新敞
奎屯

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?
2

,(k∈ Z)

得 x≠

k? ? + ,(k∈ Z) 2 4 k? ? + ,k∈ Z} 2 4

∴ y=tan2x 的定义域为: {x|x∈ R 且 x≠

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例 4 观察正切曲线写出满足下列条件的 x 的值的范围:tanx>0 解:画出 y=tanx 在(- 围为:0<x<

?
2



?
2

)上的图象,不难看出在此区间上满足 tanx>0 的 x 的范

?
2

结合周期性,可知在 x∈ R,且 x≠kπ+

?
2

上满足的 x 的取值范围为(kπ,kπ+
王新敞
奎屯 新疆

?
2

)(k∈ Z)

例 5 不通过求值,比较 tan135°与 tan138°的大小 解:∵ 90°<135°<138°<270° 又∵ y=tanx 在 x∈ (90°,270°)上是增函数 ∴ tan135°<tan138° 三、巩固与练习 P.71.练习 2,3,6 求函数 y=tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间[-π,π]内的图象 解: (1)要使函数 y=tan2x 有意义,必须且只须 2x≠ 即 x≠

王新敞
奎屯

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?
2

+kπ,k∈ Z

?
4



k? ,k∈ Z 2

∴ 函数 y=tan2x 的定义域为{x∈ R|,x≠ (2)设t=2x,由 x≠

?
4

?

k? ,k∈ Z} 2

?
4

?

k? ? ,k∈ Z}知t≠ + 2 2

kπ,k∈ Z
∴ y=tant的值域为(-∞,+∞) 即 y=tan2x 的值域为(-∞,+∞) (3)由 tan2(x+

?
2

)=tan(2x+π)=tan2x

∴ y=tan2x 的周期为

. 2 (4)函数 y=tan2x 在区间[-π,π]的图象如图 四、小 结:本节课学习了以下内容:

?

1.因为正切函数 y ? tan x 的定义域是 {x | x ? R, x ? k? ?

?
2

, k ? Z } ,所以它的图象被

x??

?

3 ,? ? ,......等相互平行的直线所隔开,而在相邻平行线间的图象是连续的。 2 2

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2.作出正切函数的图象,也是先作出长度为一个周期(-π /2,π /2)的区间内的函数的 图象,然后再将它沿 x 轴向左或向右移动,每次移动的距离是π 个单位,就可以得到整个 正切函数的图象。 讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性;形如 y = tan(ωx) , x≠

k?

?

?

? ? (k∈ Z)的周期 T= ;注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的 2? ?

王新敞
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五、课后作业: 六、板书设计:


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