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专题3 空间向量及其应用 20101229


专题3

空间向量及其应用

3.1

空间向量

自学:P39~P41 关注: 空间向量与平面向量有何共同之处?

复习回顾:平面向量
既有大小又有方向的量叫做向量。 1、定义: 几何表示法:用有向线段表示 字母表示法: 用小写字母表示,或者用表示向量的 有向线段

的起点和终点字母表示。 相等向量:长度相等且方向相同的向量
B A D C

2、平面向量的加法、减法与数乘运算
C

D

C

b
A
B a 向量加法的三角形法则 C

b
A

a a
ka

B

向量加法的平行四边形法则

b
A

(k>0) (k<0)

a

B

向量减法的三角形法则

ka
向量的数乘

3、平面向量的加法、减法与数乘运算律 加法交换律: a ? b

?b?a 加法结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律: ? (a ? b) ? ? a+? b

一.知识点
(一)向量的有关概念
(1) 既有大小又有方向的量叫向量,长度为 0 的向量叫零向 量,长度为1个单位长的向量,叫单位向量. (2)相等向量:长度相等且方向相同的向量 (3)平行向量:方向相同或相反的非零向量.也叫共线向量. 规定零向量与任一向量平行. (4)负向量: (5)单位向量: (6)零向量:

(二)向量的表示

1.几何表示:
2.代数式表示: 3.坐标表示: (三)向量的运算 1.加法与减法的运算

(1)求两个向量和的运算,叫向量的加法,向量加法按平行 四边形法则或三角形法则进行.加法满足交换律和结合律.
(2)求两个向量差的运算,叫向量的减法 . 作法是连结两向 量的终点,方向指向被减向量. 2.实数与向量的乘积:

3.向量与向量的积 :

(四)重要的定理和公式
1.平面向量基本定理: 2.定比分点坐标公式: 3.两个向量平行的充要条件: 4.两个向量垂直的充要条件:

5.三点共线的充要条件:
(五)向量的运算律 1.交换律:

2.结合律:
3.分配律:

实数与向量的积的概念 . (1)实数λ与向量a的积记作λa,其长度|λa|=|λ||a|;方向规定如下: 当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的 方向相反;当λ=0时,λa=0. (2)设λ、μ为实数,则有如下运算律:λ(μa)=(λμ)a, (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb

平面向量基本定理 如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量,那么对于这一平 面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2 , 其中e1,e2叫基底.

返回

1.空间向量与平面向量有何共同之处? 在空间,具有大小和方向的量叫做向量;用 有向线段表示;并且同向且等长的有向线段 表示同一向量或相等的向量;空间向量可以 平行移动;运算和运算律相同。

a
b

2. 空间任意两个向量是否都可以转化为 平面向量?为什么?

b , 作 OA ? a, 已知空间两个任意向量 a 、
OB ? b. 由O、A、B、三点确定一个平面 或共线可知, 空间任意两个向量都 可用同 一平面内的有向线段表示。
a
b
B

b

?

O

a

A

3.向量的加法、减法与数乘向量运算如下:

OB ? OA ? AB ? a ? b,

CA ? OA ? OC ? a ? b, OP ? ? a ? ? ? R ? .
b a b
C

a
B

a

?a

?

O

a

A

.4同样,空间向量的加法与数乘向量运 算满 足如下运算律:
加法交换律:

a?b ? b?a

加法结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律: k (a ? b) ? k a +kb

5.平面向量加法结合律:

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
O O

a
A

a
b
C
A

+

c
C

b

B

c
(平面向量)

b

B

c

6.空间向量加法结合律:

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
O O

a
C
A

a b
A

+

c
C

b

B

c
(空间向量)

b

B

c

7.空间向量的数量积
(1)若a、b是空间两个非零向量,它们的夹角为 θ(0≤θ≤π),则把a、b的数量积定义为|a||b|cosθ, 记作a· b.即a·b=|a||b|cosθ. (2)若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 a· b=x1x2+y1y2+z1z2

返回

a ?b cosθ ? ? a?b

x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2
2 2 2 2 2 2 x1 ? y1 ? z1 ? x2 ? y2 ? z2

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC (2) AB ? AD ? AA1
1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 (4) AB ? AD ? CC1 2

D1 A1 B1

C1

D A B

C

解: (1) AB ? BC =AC;

(2) AB ? AD ? AA1 ? AC ? AA 1 ? AC ? CC1 ? AC1

1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 (4) AB ? AD ? CC1 2

D1 A1
G

C1 B1
M

(3)设G是线段AC1的三等分点,则 1 ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 ? AC1 3 A ? AG (4)设M是线段CC1的中点,则

D B

C

1 AB ? AD ? CC1 ? AC ? CM ? AM 2

1.在以下四个式子:a+b· c,a· (b· c),a(b· c),|a· b|=|a|· |b| 中正确的有( A ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)0个
2.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果a与b为平行向量,则( C ) (A)x=1 , y=1
1 3 (C) x ? ,y ? ? 6 2 1 1 (B) x ? ,y ? ? 2 2 1 3 (D) x ? ? ,y ? 6 2

3.已知四边形ABCD中,AB=a-2c,CD=5a+6b-8c,对角线 AC,BD的中点分别为E,F,则EF=_______________ 3a+3b-5c

返回 4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,下面给出四个命题: ① (A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2②A1C· (A1B1-A1A)=0.③AD1 与A1B的夹角为60°④此正方体体积为:|AB· AB1· AD| 、④ 填出所有错误命题的序号). 则错误命题的序号是______(

1

5

在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC) 2
D G

(1)原式=AB ? BM ? MG
? AG

(2)原式= AG ? AM
? MG

B

M

C

6. 已 知三 棱 锥 O—ABC 中 , G 为 △ ABC 的 重 心 , OA=a , OB=b,OC=c,试用a , b , c 来表示OG.

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

运 算 律

加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律

? (a ? b) ? ? a+? b

? (a ? b) ? ? a+? b

3.2 空间向量的坐标表示

空间向量的坐标表示
1.空间直角坐标系:右手系

2.空间向量的坐标表示: 教材第42到46页

一、空间点的直角坐标
过空间一个定点 O,作三条互相垂直 的 数 轴 , 它 们 都 以 z轴(竖轴)

z

O为原点且一般具有
相同的长度单位.它 们的正向通常符合右 手规则.这样的三条 坐标轴就组成了一个

(坐标)原点
1

y轴(纵轴)
1

O

拇指方向 x轴(横轴)

1

y

空间直角坐标系.

x

四指转向 右手规则

坐标面: 三条坐标轴中的任意两 条可以确定一个平面,这样 定出的三个平面统称为坐标 面.x轴及y轴所确定的坐标 面叫做 xOy面,另两个坐标 面是 yOz 面和zOx面.

z

O

y

x

坐标面: 三条坐标轴中的任意两 条可以确定一个平面,这样 定出的三个平面统称为坐标 面.x轴及y轴所确定的坐标 面叫做 xOy面,另两个坐标 面是 yOz 面和zOx面.

z

O

y

x

卦 限:
三个坐标面把 空间分成八个部分, 每一部分叫做卦限.

z

第一卦限

O

y

x

卦 限:

z
第二卦限

O

y

x

点的坐标: 设 M 为空间一已知点.过

z
z R M Q y y

点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴,三个平面在 x 轴、 y 轴和 z 轴的交点依次为

P、Q、R,在 x 轴、y 轴和 z 轴

上的坐标依次为 x 、 y 、 z ,我们
称这组数为点M的坐标,并把 x、y、z分别称为点M的横坐标、 纵坐标、竖坐标.坐标为 x 、 y 、 z 的点M 记为M(x,y,z). x P

O

x

ABCD? A1B1C1D1 的边长为 AB ? 14 , AD ? 6 AA ,以这个长方体的顶点A 1 ? 10
例:已知长方体

z A1 D1

AA 为坐标原点,以射线AB、AD、 1分 别为ox轴、oy 轴、oz轴的正半轴,建 立直角坐标系。求长方体的各个顶点的 坐标。
B1

C1 A o y D

B
x

C

2、平面的一个法向量
例3、长方体ABCD-A1B1C1D1中, BB1=3, AB=2,AD=4,求下列平面的一个 法向量(1)平面ABCD;(2)平面ACC1A1; (3)平面ACD1 D C

A


1

B
1

1

D A B

C

3.三个基本命题

基本命题1:两直线平行或重合的充要条件:
它们的方向向量互相平行; 基本命题2:一直线与一个平面平行或在平

面内的充要条件:
直线的方向向量与平面法向量垂直; 基本命题3:两个平面平行或重合的充要条件: 它们的法向量互相平行;

7 . 已知正三棱锥 P—ABC 中, M , N 分别是 PA , BC 的中 点,G是MN的中点.求证:PG⊥BC.

【解题回顾】要证PG⊥BC,只

要证PG· BC=0,应选择适当的坐标系,

8.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AC交BD于O,
G为CC1中点. 求证:A1O⊥平面GBD.

四.空间向量在度量中的应用
?? ? 1.空间两直线所成的角 ? ? 0 ? ? ? ? 2? ?
两直线的方向向量分别为 d1 ? ?l1, m1, n1 ? d2 ? ?l2 , m2 , n2 ?

d1, d2的夹角为 ??0 ? ? ? ? ?
? ?? ? ?? 0 ? ? ? ? ? 2? ? 则? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?2 ? ?

2.空间直线与平面所成的角
直线与平面相交且不垂直,设所成的 ?? ? 角为 ? ? 0 ? ? ? ? d是直线的方向向量,
? 2?

n是平面的法向量, d与n成角为??0 ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? 2 ? ? ? 0 ? ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? ? 则? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? cos ? ? ? ? 2?2 ? ?

3.平面与平面所成的角
平面与平面相交,设所成的 角为 ? ? 0 ? ? ? ? ? n1平面?1的法向量,

n2是平面? 2的法向量,与 n1 n2成角为? ? 0 ? ? ? ? ?


? ? ?或? ? ? ? ?

4.空间点到平面的距离 已知平面 ?与平面 ? 外的一点 M.为M在平面 ?上的投影.则M 到平面 ? 的距离为|MN|=d. n 为平面 ? 过A的法向量,向量 AM 与 n 成的角为 ? 则 n AM ? n AM cos ? n M ? n AM ? AB n ? d ? n AM B n d ? A ? N

注:B是M在 n 上的投影.

9.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF, FC⊥底面ABCD,AB=AF=1,M是线段EF

的中点. ① 求证: AM//面BDE


求二面角A-DF-B的大小 E M

2

(3)试在线段AC 上确定一点P,使得 PF与BC所成角为 60度. (4)求点E到平面 DBF的距离. D

C N

F

B

A

(5)试在线段AC上是否存在一 点P,使得直线PF与平面BDF 所成角为30度.


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