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第9课时 函数模型及其应用


高考调研 · 新课标高考总复习

第二章 · 第9课时

课 前 自 助 餐 授 人 以 渔

第9课时

函数模型及其应用

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2011· 考纲下载

了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.体会直线 上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义;了 解对数函数、幂函数两类函数模型的广泛应用.

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请注意!
新课标高考中的应用问题除了考察概率、统计之外,函
数的应用题的比重也在增加.如:2010年浙江卷14题, 江苏卷19题等.

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课前自助餐
课本导读
? ? ? ?

1.指数函数模型:

y=a· x+c,(a≠0,b>0,且b≠1). b
2.对数函数模型:

y=mlogax+n,(a>0,且a≠1,m≠0).

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3.幂函数模型: y=ax +b,(a≠0) 4.分段函数模型:
n

?f ? x? ,x∈D , ?f ? x? ,x∈D , y=? ……, ?f ? x? ,x∈D , ?
1 1 2 2 n n

其中D1,D2,…,Dn表示区间.

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?

教材回归

1.(2011· 《高考调研》原创题)如图,正方形ABCD边长为10,且四个小正 方形的对称中心在正方形ABCD的顶点上,小正方形的各边与ABCD各边平行 或垂直,若小正方形边长为x(0<x≤10),阴影部分面积为y,则能反映y与 x的函数的大致图象的是( )

?答案

D
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解析

x2 2 y=4·( )=x ( 0<x≤10) 2

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?

2.(2011· 苏北四市调研)某种细胞在培养过程中,正常情况下,时刻t(单 位:分)与细胞数n(单位:个)的部分数据如下:

? ? ?

根据表中数据,推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于( A.200 C.240 D.260 B.220

)

?

答案

A

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解析 n=2
t 20

由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为 ,令n=1000,得2
t 20

=1000,又2 =1024,

10

所以时刻t最接近200分,故选A.

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?

3.某出租车公司规定“打的”收费标准如下:3千米以内为起步价8元 (即行程不超过3千米,一律收费8元),若超过3千米除起步价外,超过部 分再按1.5元/千米收费计价,若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计 费不找零钱,该乘客下车时乘车里程数为7.4,则乘客应会的车费是 ______.(单位:元).

? ?

答案 解析

15 车费为8+(7.4-3)×1.5=14.6≈15元.

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?4.一灯具商店发现,某种型号的台灯周销售量与每台的价格间近似地

构成如图所示的关系图像,问如何决策可使商店收益最大?是不是商品 价格越高收益越大?

解析

设每台价格为x(0<x<20),周销量为y

则y=-2x+40,∴收益z=xy=x(-2x+40)=-2x2+40x 当x=10时,z最大=200,∴每台的价格定为10时,商店收益最大. ∴商品的价格越高收益并不一定越大.
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授人以渔
题型一 例1 二次函数与分段函数模型的应用 (2011· 《高考调研》原创题)某食品公司为了解最新品种食品的市场需

求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P(元/件):前10天每
天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升,其中4 天的单价记录如下表:

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而这20天相应的销售量Q(百件/天)与x对应的点(x,Q)在如图所示的半圆 上.
? ?

(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数. (2)在这20天中哪一天销售收入最高?

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【解析】

1,10] , ?10-x,x∈[ * ( P=? 1) x∈N , 11,20] , ?x-10,x∈[
2 *

Q = 100-( x-10),x∈[ 20] 1, ,x∈N , ∴y=100Q P =100 ( x-10)[ 100-( x-10)] ,x∈[ 20] 1, ,x∈N . ( x-10)+100-( x-10) 2 2 2 ( ∵( 2) x-10)[ 100-( x-10)] ≤[ ] 2 =2500, ∴当且仅当( x-10)=100-( x-10),即x=10±5 2 时, y有最大值.
2 2 2 2 2 2 *

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?
? ?

∵x∈N*,∴取x=3或17时,y有最大值.
答:第3天或第17天销售收入最高. 思考题1 2011上海世博会纪念章某特许专营店销售纪念章,每枚进价为5

元,同时每销售一枚这种纪念章需向世博会管理部门交特许经营管理费2
元,预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚,经 过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则 增加销售400枚,而每增加一元则减少销售100枚,现设每枚纪念章的销售 价格为x元.
?

(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪 念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域).

?

(2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时,该特许专营店一年内利润y(元) 最大,并求出这个最大值.
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【思路点拨】

(1)利润=(售价—进价—管理费)×(销售的

纪念章数),注意价格取值是分段的; (2)分段函数求最值时,要分段求,然后比较大小. 【解析】 由题意 0<x≤20 20<x<40

?[2000+400(20-x)](x-7) y=? ?[2000-100(x-20)](x-7) ?400(25-x)(x-7) ∴y=? ?100(40-x)(x-7)



0<x≤20 20<x<40



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此函数的定义域为(0,40).

y=? 47 2 1089 ?100[-(x- 2 ) + 4 ] ?
当 0<x≤20,则当 x=16 时,

?400[-(x-16) +81] ?
2

0<x≤20 20<x<40 ,

ymax=32400(元).
47 当 20<x<40,则当 x= 时, 2

ymax=27225(元).
综上可得当 x=16 时,该特许专营店获得的利润最 大为 32400 元.

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? ? ? ?

题型二 例2

指数函数与幂函数模型的应用

2009年12月20日是世界人口日:

(1)世界人口在过去40年内翻了一番,问每年人口平均增长率是多少? (2)我国人口在2009年底达到12.48亿,若将人口平均增长率控制在1%以内,

我国人口在2019年底至多有多少亿?
?

以下数据供计算时使用:

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【思路分析】 增长率问题是指数函数与幂函数问题,利用已知条件,列 出函数模型. 【解析】 (1)设每年人口平均增长为 x,n 年前的人口数为 y, 则 y·(1+x) =60,则当 n=40 时,y=30, 即 30(1+x)40=60,∴(1+x)40=2, 两边取对数,则 40lg(1+x)=lg2, lg2 则 lg(1+x)= =0.007526, 40 ∴1+x≈1.017,得 x=1.7%.
n

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? ? ? ?

(2)依题意,y≤12.48(1+1%)10, 得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.1392, ∴y≤13.78,故人口至多有13.78亿. 【答案】 每年人口平均增长率为1.7%,2019年人口至多有13.78亿.

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?

探究1

此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+

px(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其
中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算, 要注意与已知表格中给定的值对应求解.

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?

思考题2 分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了
声压级(spl)来描述声音的大小:把一很小的声压P0=2×10-5帕作 为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数

后乘20得到的数值称为声压级.
?

声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在 60以下为无害区,60~100为过渡区,100以上为有害区.

?
?

(1)根据上述材料,列出分贝y与声压P的函数关系式;
(2)某地声压P=0.002帕,试问该地为以上所说的什么区,声音环 境是否优良? 课 时 作 业
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?

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?

(3)2010年春节晚会中,赵本山表演小品时,现场上响起多次响亮的掌声, 某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝,试求此时中央电 视台演播大厅的声压是多少?

?

【分析】

(1)由已知条件即可写出分贝y与声压P之间的函数关系式;(2)

由函数关系式求得当P=0.002帕时,分贝y的值,由此可判断所在区的声 音环境;(3)实际上是已知y的值求P的值,代入函数关系式,解对数方程 可得声压.

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【解析】

( 由已知得 y=20 l ( 1) g 其中 P 0=2×10 ) P0 0. 002
2

P

-5

( 当 P=0. 2) 002 时,y=20l g g10 =40( 分贝) . -5=20l 2×10 由已知条件知 40 分贝小于 60 分贝,所以此地为无害区, 环境优良. ( 由题意,得 90=20l ,则 =10 , 3) g P0 P0 所以 P=10 P 0=10 ×2×10 =2×10
4. 5 4. 5 -5 -0. 5

P

P

4. 5

( . 帕)

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?
?

题型三

选择拟合函数问题

例3 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对用一定量的水清洗一次的效果 作如下假定:用1个单位量的水可清洗蔬菜上残留农药量的 ,用水越

多,洗掉的农药量也越多,但总还有农药残留在蔬菜上.设用x单位量的
水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量的比 为函数f(x).
? ?

(1)试规定f(0)的值,并解释其实际意义; (2)试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质;

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1 (3)设 f(x)= .现在 a(a>0)单位量的水,可以清洗一次, 1+x 也可以把水平均分成 2 份后清洗两次. 哪种方案清洗后蔬菜上 残留的农药量比较少?请说明理由. 【解析】 (1)f(0)=1.表示没有用水清洗时,蔬菜上的农药

量没有变化. (2)函数 f(x)应该满足的条件和具有的性质是: 1 f(0)=1,f(1)= , 2 在[0,+∞)上,f(x)单调递减,并且有 0<f(x)≤1.

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(3)设清洗前蔬菜上的农药量为1,那么用a单位量的 水清洗1次后,残留的农药量为 1 W1=1×f(a)= 2; 1+a a 又如果用 单位量的水清洗1次,残留的农药量为 2 a 1 1×f( )= , 2 a 2 1+( ) 2

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a 此后再用 单位量的水清洗1次后,残留的农药量为 2 1 a 1 16 2 W2= ·f( )=[ ]= 2 2, a 2 2 a 2 (4+a ) 1+( ) 1+( ) 2 2 由于 a (a -8) 1 16 W1-W2= 2- 2 2= 2 2 2, 1+a (4+a ) (1+a )(4+a )
2 2

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2

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因此,W1-W2的符号由a -8决定,则 当a>2 2 时,W1>W2.此时,把a单位的水平均分成2份

后,清洗两次,残留的农药量较少; 当a=2 2时,W1=W2.此时,两种清洗方式效果相同; 当0<a<2 2 时,W1<W2.此时,用a单位量的水一次清洗残 留的农药量较少.

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思考题3
2

(2010·安徽卷,理)动点A(x,y)在圆x +

y =1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转 1 3 一 周.已知时间t=0时,点A的坐标是( , ), 2 2 则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒) 的函数的单调递增区间是( A.[0,1] C.[7,12] ) B.[1,7] D.[0,1]和[7,12]

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【解析】

由已知可得该函数的最小正周期为 2π π = ,又当t=0时,A的坐标为 T 6

T=12,则ω=

π π 1 3 ( , ),∴此函数为y=sin( t+ ), 2 2 6 3 t∈[0,12],可解得此函数的单调递增区间是 [0,1]和[7,12].

?【答案】

D

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?

探究2

函数可与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何等数学知识

相结合,根据不同知识板块的特点和特殊的对应法则建立不同变量之间的 关系,利用函数的单调性、函数的最值等性质,结合函数思想及方法,达

到解决其他问题的目的,这也正体现了函数的工具性作用.
?

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本课总结
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?
? ?

(1)解答应用问题的程序概括为“四步八字”,即:
①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; ②建模:把自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利

用数学知识,建立相应的数学模型;
? ?

③求模:求解数学模型,得出数学结论; ④还原:将数学结论还原为实际问题的意义.

?
?

(2)注意函数思想在其他知识的应用.

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课时作业(12)

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第9课时函数模型及其应用学案

第9 讲 函数模型及应... 27页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 第9课时函数模型及其应用学案 隐藏...

第9课时 函数模型及其应用

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