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【成才之路】2015届高三数学(文理通用)二轮专题限时检测7 概率与统计]


专题限时检测七
时间:60 分钟 满分:100 分

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分;在每小题给出四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.(2014· 唐山一模)下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况 (单位:元),则销售 额中的中位数是( )

A.30.5 C.31 [答案] C [解析]

由茎叶图和中位数的定义知选 C. 2.已知 x、y 的取值如表所示: x y 2 6

B.31.5 D.32

3 4

4 5 )

^ ^ 13 ^ 如果 y 与 x 呈线性相关,且线性回归方程为y=bx+ ,则b=( 2 1 A.- 2 1 C.- 10 [答案] A ^ ^ 13 [解析] ∵线性回归方程为y=bx+ , 2 线性回归方程过样本中心点, - 2+3+4 - 6+4+5 ∵x= =3, y = = 5, 3 3 ^ 13 ∴回归方程过点(3,5),∴5=3b+ , 2 1 ^ ∴b=- ,故选 A. 2 1 B. 2 1 D. 10

3.(文)已知区域 M:x2+y2-2x-2y-2≤0,区域 N:2-x≤y≤x,随机向区域 M 中投 放一点.该点落在区域 N 内的概率为( )

1 A. 4 1 C. 8 [答案] A

π B. 4 π D. 8

[解析] M: (x-1)2+(y-1)2≤4 为以 C(1,1)为圆心, 2 为半径的圆及其内部的平面区域; 又区域 N:2-x≤y≤x,如图可知,随机向区域 M 内投放一点,则该点落在区域 N 内的概 1 率 P= . 4

(理)(2014· 山西省重点中学四校联考)向边长分别为 5,6, 13的三角形区域内随机投一点 M,则该点 M 与三角形三个顶点距离都大于 1 的概率为( π A.1- 18 π C.1- 9 [答案] A [解析] 如图,设△ABC 三边 AB= 13,AC=5,BC=6,过 A 作 AD⊥BC,垂足为 D,设 BD=x,则 CD=6-x,由 AB2-BD2=AD2= 1 AC2-CD2 得 13-x2=25-(6-x)2, ∴x=2, AD=3, ∴S=S△ABC= BC· AD 2 1 = ×6×3=9,分别以 A、B、C 为圆心,1 为半径画弧,当点 M 落在以 A、B、C 为顶点的 2 1 1 1 三个扇形区域外时,符合题意,三个扇形面积的和 S1= ×12×∠A+ ×12×∠B+ ×12× 2 2 2 π 9- 2 1 π π ∠C= (A+B+C)= .∴所求概率 P= =1- . 2 2 9 18 4.(文)如图是一样本的频率分布直方图,由图形中的数据可以估计众数与中位数分别 是( ) π B.1- 12 π D.1- 4 )

A.12.5 12.5 C.13 12.5

B.12.5 13 D.13 13

[答案] B [解析] 在频率分布直方图中,最高矩形中点的横坐标为众数,中位数左右两边直方图 的面积相等. (理)(2013· 潍坊模拟)在某项测量中, 测量结果 ξ 服从正态分布 N(1, σ2)(σ>0), 若 ξ 在(0,2) 内取值的概率为 0.8,则 ξ 在(0,1)内取值的概率为( A.0.1 C.0.4 [答案] C [解析] 因为 μ=1,所以 P(0<ξ<2)=0.8=2P(0<ξ<1),故 P(0<ξ<1)=0.4. 5.(文)(2013· 太原市模拟)如图,是一个算法程序框图,在集合 A={x|-10≤x≤10,x ∈R}中随机抽取一个数值作为 x 输入,则输出的 y 值落在区间(-5,3)内的概率为( ) B.0.2 D.0.8 )

A.0.4 C.0.6 [答案] D x+3?x<0?, ? ? [解析] f(x)=?x-5?x>0?, ? ?x?x=0?, 8-?-8? 解的概率为 P= =0.8. 10-?-10?

B.0.5 D.0.8

当-5<x+3<3?-8<x<0,-5<x-5<3?0<x<8,所以有

(理)(2014· 新乡、许昌、平顶山调研)已知 i 为执行如图所示的程序框图输出的结果,则

二项式(i x-

1 6 - ) 的展开式中含 x 2 的系数是( x

)

A.192 C.-42 [答案] C

B.32 D.-192

[解析] 由程序框图可知 i=7,∴二项式(i x-
6 r 其通项为 Tr+1=Cr (- 6(7 x)
- - -

1 6 1 ) 为(7 x- )6, x x

1 r ) x
-2

3 r =(-1)r76 rCr ,令 3-r=-2,∴r=5,故含 x 6x

的系数为-7×6=-42.

6. (文)(2013· 霍邱二中模拟)某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如下, 则在区间[4,5) 上的数据的频数为( )

A.70 C.30 [答案] C

B.0.3 D.0.7

[解析] 在区间[4,5)上数据的频率为 1-(0.05+0.10+0.40+0.15)×1=0.3, ∴频数为 100×0.3=30. (理)(2014· 河北名师名校俱乐部模拟)某班班会准备从含甲、乙、丙的 7 名学生中选取 4 人发言,要求甲、乙两人至少有一个参加,若甲、乙同时参加时丙不能参加,且甲、乙两人 的发言顺序不能相邻,那么不同的发言顺序有( A.484 种 C.560 种 [答案] B ) B.552 种 D.612 种

3 4 [解析] 若甲、乙两人只有一人参加时,不同的发言顺序有 C1 2C5A4种;若甲、乙同时参 2 1 3 4 2 2 加时,不同的发言顺序有 A2 4A3种.共 C2C5A4+A4A3=552 种.

7.(文)设有 n 个样本 x1,x2,?,xn,其标准差是 sx,另有 n 个样本 y1,y2,?,yn, 且 yk=3xk+5(k=1,2,?,n),其标准差为 sy,则下列关系正确的是( A.sy=3sx+5 C.sy= 3sx [答案] B [解析] 注意方差的性质: E(aξ+b)=aE(ξ)+b, D(aξ+b)=a2D(ξ)(a, b 为常数)的应用. 据
2 已知可得 s2 y =9sx (注意标准差的平方是方差),故有 sy=3sx.

)

B.sy=3sx D.sy= 3sx+5

65 (理)设随机变量 ξ~B(2,p),η=2ξ-1,若 P(η≥1)= ,则 E(ξ)=( 81 5 A. 9 10 C. 9 [答案] C [解析] ∵η=2ξ-1,η≥1,∴ξ≥1, 65 ∴P(ξ≥1)=P(η≥1)= , 81 ∵ξ~B(2,p), 65 ∴P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)2= , 81 5 5 10 ∴p= ,∴E(ξ)=2× = . 9 9 9 8 B. 9 16 D. 81

)

8.(文)在一个正四面体玩具的四个面上分别标有数字-1、0、1、2,随机抛掷一次, 1 记向下一面的数字为 n,则函数 y=- x3+nx 在[0,+∞)上为减函数的概率为( 3 1 A. 4 3 C. 4 [答案] A [解析] 由 y′=-x2+n≤0 得,n≤x2, ∵x∈[0,+∞),∴n≤0. 1 ∴所求概率 P= . 4 (理)种植两株不同的花卉, 它们的存活率分别为 p 和 q, 则恰有一株存活的概率为( A.p+q-2pq B.p+q-pq ) 1 B. 2 D.1 )

C.p+q [答案] A

D.pq

[解析] 本题考查相互独立事件同时发生的概率.据已知易得两株花卉中恰有一株成活 的概率等于(1-p)q+(1-q)p=p+q-2pq. 二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分,将答案填写在题中横线上.) 9.(文)(2013· 眉山二诊)容量为 100 的样本数据,依次分为 8 组,如下表: 组号 频数 1 10 2 13 3 3x 4 x 5 15 6 13 7 12 8 9

则第三组的频率是________. [答案] 0.21 3× 7 [解析] 由 3x+x=100-(10+13+15+13+12+9)得,x=7.∴第三组的频率为 = 100 0.21. (理)(2013· 珠海摸底)图 1 是某学生的数学成绩茎叶图,第 1 次到 14 次的考试成绩依次 记为 A1、A2、?、A14.图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图, 那么算法流程图输出的结果是________.

[答案] 10 [解析] 据算法中的程序框图知其作用是统计茎叶图中数学考试成绩不低于 90 分的次 数,由茎叶图易知共有 10 次,故输出的结果为 10. 1 10.(文)(2014· 哈三中二模)在区间[0,1]上任取两个实数 a、b,则函数 f(x)= x3+ax-b 2 在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为________. [答案] 7 8

[解析] ∵a∈[0,1],∴f′(x)=1.5x2+a≥0, ∴f(x)是增函数.若在[-1,1]有且仅有一个零点, 则 f(-1)· f(1)≤0,

∴(-0.5-a-b)(0.5+a-b)≤0, 即(0.5+a+b)(0.5+a-b)≥0; 如图,点 P(a,b)所在平面区域为正方形 OABC,f(x)在[-1,1]上有且仅有一个零点?点 1 1 1 7 P 落在阴影区域,阴影部分的面积 S=1×1- × × = , 2 2 2 8

7 ∴所求概率 P= . 8 (理)(2013· 黄埔区模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件,其中有 1 件次品.用户 先对产品进行随机抽检以决定是否接收.抽检规则如下:至多抽检 3 次,每次抽检一件产品 (抽检后不放回),只要检验到次品就停止继续抽检,并拒收这箱产品;若 3 次都没有检验到 次品,则接收这箱产品,按上述规则,该用户抽检次数的数学期望是________. [答案] 27 10

[解析] 设抽检次数为 ξ,则 ξ=1、2、3. 1 A1 1 9 P(ξ=1)= ,P(ξ=2)= 2 = , 10 A10 10 P(ξ=3)= A2 A3 4 9 9 3 + 3 = , A10 A10 5

1 1 4 27 ∴E(ξ)=1× +2× +3× = . 10 10 5 10 三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11.(本小题满分 13 分)(2013· 保定一模)解放军某部在实兵演练对抗比赛中,红、蓝两个 小组均派 6 人参加实弹射击,其所得成绩的茎叶图如图所示.

(1)根据射击数据,计算红、蓝两个小组射击成绩的均值与方差,并说明红军还是蓝军 的成绩相对比较稳定; (2)若从蓝军 6 名士兵中随机抽取两人,求所抽取的两人的成绩之差不超过 2 的概率.

[解析] (1)记红、蓝两个小组分别为甲、乙,则 1 - x 甲= (107+111+111+113+114+122)=113, 6 1 - x 乙= (108+109+110+112+115+124)=113, 6 1 2 2 2 2 2 2 S2 甲= [(107-113) +(111-113) +(111-113) +(113-113) +(114-113) +(122-113) ] 6 =21. 1 2 2 2 2 2 2 S2 乙= [(108-113) +(109-113) +(110-113) +(112-113) +(115-113) +(124-113) ] 6 88 = . 3 - - 2 ∵ x 甲= x 乙,S2 甲<S乙, ∴红军的射击成绩相对比较稳定. (2)从蓝军 6 名士兵中随机抽取两人,共有 15 种不同的取法,其成绩情况如下: (108,109),(108,110),(108,112),(108,115),(108,124),(109,110),(109,112),(109,115), (109,124),(110,112),(110,115),(110,124),(112,115),(112,124),(115,124). 设 A 表示随机事件“所抽取的两人的成绩之差不超过 2”,则 A 的基本事件有 4 种: (108,109),(108,110),(109,110),(110,112), 4 故所求概率为 P(A)= . 15 12. (本小题满分 13 分)(文)(2013· 广东佛山质检)文科班某同学参加吉林省学业水平测试, 物理、化学、生物获得等级 A 和获得的等级不是 A 的机会相等,物理、化学、生物获得等 - 级 A 的事件分别记为 W1、W2、W3,物理、化学、生物获得等级不是 A 的事件分别记为 W 1、 - - W 2、 W 3. (1)试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的所有可能结果(如三 科成绩均为 A 记为(W1,W2,W3)); (2)求该同学参加这次水平测试中恰好获得两个 A 的概率; (3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件,使该 事件的概率大于 85%,并说明理由. [解析] (1)该同学这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 A 的可能结果有 8 - - - - - 种,分别为(W1,W2,W3)、( W 1,W2,W3)、(W1, W 2,W3)、(W1,W2, W 3)、( W 1, W 2, - - - - - - - W3)、( W 1,W2, W 3)、(W1, W 2, W 3)、( W 1, W 2, W 3); - - - (2)由(1)可知,恰有两个 A 的情况为( W 1,W2,W3)、(W1, W 2,W3)、(W1,W2, W 3)三

3 个,从而其概率为 P= . 8 (3)方案一:该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件概 率大于 85%, 理由如下:该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 A 的事件有 - - - - - - 如下七种情况:( W 1,W2,W3)、(W1, W 2,W3)、(W1,W2, W 3)、( W 1, W 2,W3)、( W 1, 7 - - - - - - W2, W 3)、(W1, W 2, W 3)、( W 1, W 2, W 3),概率是 P= =0.875>85%. 8 方案二:该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩至少有一个为 A 的事 件概率大于 85%, 理由如下:该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩至少有一个为 A 的 - - - - 事件有如下七种情况:(W1,W2,W3)、( W 1,W2,W3)、(W1,W 2,W3)、(W1,W2,W 3)、( W
1, W 2,W3)、( W 1,W2, W 3)、(W1, W 2, W 3),概率是











7 P= =0.875>85%.(方案一或二中任 8

意一种都可以) (理)(2013· 常德市模拟)我市某中学一研究性学习小组,在某一高速公路服务区,从小型 汽车中按进服务区的先后,每间隔 5 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调 查, 将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段: [70,75), [75,80), [80,85)[85,90), [90,95), [95,100]统计后得到如下图的频率分布直方图.

(1)此研究性学习小组在采样中,用到的是什么抽样方法?并求这 40 辆小型汽车车速的 众数和中位数的估计值. (2)若从车速在[80,90)的车辆中任意抽取 3 辆, 求车速在[80,85)和[85,90)内都有车辆的概 率. (3)若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取 3 辆,求车速在[75,80)的车辆数的数学期望. [解析] (1)此研究性学习小组在采样中,用到的抽样方法是系统抽样. 这 40 辆小型汽车车速众数的估计值为 87.5,中位数的估计值为 87.5.

(2)车速在[80,90)的车辆共有(0.2+0.3)×40=20 辆,速度在[80,85),[85,90)内的车辆分 别有 8 辆和 12 辆. 记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取 3 辆车,车速在[80,85)内的有 2 辆,在[85,90)内的 有 1 辆为事件 A,车速在[80,85)内的有 1 辆,在[85,90)内的有 2 辆为事件 B,
1 1 2 C2 864 72 8C12 C8C12 则 P(A)+P(B)= 3 + 3 = = . C20 C20 1140 95

(3)车速在[70,80)的车辆共有 6 辆,车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有 2 辆和 4 辆,若 从车速在[70,80)的车辆中任意抽取 3 辆,设车速在[75,80)的车辆数为 X,则 X 的可能取值为 1、2、3.
1 C2 4 1 2×C4 P(X=1)= = = , 3 C6 20 5 2 C1 12 3 2×C4 P(X=2)= = = , 3 C6 20 5 3 C0 4 1 2×C4 P(X=3)= = = , C3 20 5 6

故分布列为 X P 1 1 5 2 3 5 3 1 5

1 3 1 ∴车速在[75,80)的车辆数的数学期望为 E(X)=1× +2× +3× =2. 5 5 5 13.(本小题满分 14 分)(文)(2013· 淮南三校模拟)某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装 流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取 40 件产品作为样本,并称出它们的重量 (单位:克),重量值落在[495,510)内的产品为合格品,否则为不合格品.表 1 是甲流水线样 本的频数分布表,图 1 是乙流水线样本的频率分布直方图. 产品重量(克) [490,495) [495,500) [500,505) [505,510) [510,515] 频数 6 8 14 8 4

表 1:甲流水线样本的频数分布表

图 1:乙流水线样本的频率分布直方图 (1)根据上面表 1 中的数据作出甲流水线样本的频率分布直方图; (2)若以频率作为概率,试估计从两条流水线上分别任取 1 件产品,该产品恰好是合格 品的概率分别是多少; (3)由以上统计数据完成下面 2×2 列联表,并回答有多大的把握认为产品的包装质量与 两条自动包装流水线的选择有关. 甲流水线 合格品 不合格品 合计 n?ad-bc?2 附:K2= ,其中 n=a+b+c+d. ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≥k) k 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 乙流水线 合计

[解析] (1)甲流水线样本的频率分布直方图如下:

(2)由表 1 知甲流水线样本中合格品数为 8+14+8=30,故甲流水线样本中合格品的频 30 率为 =0.75, 40 由图 1 知乙流水线样本中合格品的频率为(0.06+0.09+0.03)×5=0.9, 据此可估计从甲流水线上任取 1 件产品,该产品恰好是合格品的概率为 0.75; 从乙流水线上任取 1 件产品,该产品恰好是合格品的概率为 0.9. (3)由(2)知甲流水线样本中合格品数为 30,乙流水线样本中合格品数为 0.9×40=36. 2×2 列联表如下: 甲流水线 乙流水线 合计

合格品 不合格品 合计 ∵K2= n?ad-bc?2 ?a+b??c+d??a+c??b+d?

30 10 40

36 4 40

66 14 80

80×?120-360?2 = ≈3.117>2.706, 66×14×40×40 ∴有 90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关. [点评] 掌握读图、读表的方法,从图表中得到相应的数据,在绘制频率分布直方图的 时候,应注意纵轴的坐标并不是频率;第(2)问用相应的频率估计概率即可;进行独立性检 验时,要注意公式的正确运用. (理)某中学研究性学习小组,为了考查高中学生的作文水平与爱看课外书的关系,在本 校高三年级随机调查了 50 名学生.调查结果表明:在爱看课外书的 25 人中有 18 人作文水 平好,另 7 人作文水平一般;在不爱看课外书的 25 人中有 6 人作文水平好,另 19 人作文水 平一般. (1)试根据以上数据完成以下 2×2 列联表,并运用独立性检验思想,指出有多大把握认 为中学生的作文水平与爱看课外书有关系? 高中学生的作文水平与爱看课外书的 2×2 列联表 爱看课外书 作文水平好 作文水平一般 总计 (2)将其中某 5 名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为 1、2、3、4、5,某 5 名爱 看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为 1、2、3、4、5,从这两组学生中各任选 1 人 进行学习交流,求被选取的两名学生的编号之和为 3 的倍数或 4 的倍数的概率. 附表: P(K2 ≥k) k 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 10.82 8 不爱看课外书 总计

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

[解析] (1)2×2 列联表如下:

爱看课外书 作文水平好 18

不爱看课外书 6

总计 24

作文水平一般 总计
2

7 25

19 25

26 50

50×?18×19-6×7? 150 因为 K2= = ≈11.538>10.828.由表知, 13 25×25×24×26 P(K2≥10.828)≈0.001. 故有 99.9%的把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系. (2)设“被选取的两名学生的编号之和为 3 的倍数”为事件 A, “被选取的两名学生的编 号之和为 4 的倍数”为事件 B. 因为事件 A 所包含的基本事件为:(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2),(4,5),(5,1), (5,4),共 9 个,基本事件总数为 5×5=25.所以 P(A)= 9 . 25

因为事件 B 所包含的基本事件为:(1,3),(2,2),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),共 6 个. 6 所以 P(B)= . 25 因为事件 A、B 互斥, 所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)= 9 6 3 + = . 25 25 5

3 故被选取的两名学生的编号之和为 3 的倍数或 4 的倍数的概率是 . 5

一、选择题 1.(文)(2014· 中原名校联考)在一组样本数据(x1,y2),(x2,y2),?,(xn,yn)(n≥2,x1, x2,x3,?,xn 不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y=- x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为( 1 A.- 2 C.-1 [答案] C 1 [解析] 因为所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y=- x+1 上,则这组样本数 2 据的样本相关性强,相关系数|r|=1,由相关系数计算公式 ) 1 B. 2 D.1 1 2

i=1

? ?xi- x ??yi- y ? ? ?yi- y ?2
n

n

r=
i=1

? ?xi- x ?2

n

i=1

i=1

?-2?xi- x
2

n

1

?2 <0 得 r=-1.
n


i=1

? ?xi- x ?

n

i=1

? ?yi- y ?

2

(理)(2014· 河北名师名校俱乐部模拟)根据某市环境保护局公布 2008~2013 这六年每年 的空气质量优良的天数,绘制折线图如图.根据图中信息可知,这六年的每年空气质量优良 天数的中位数是( )

A.300 C.305 [答案] B

B.302.5 D.310

300+305 [解析] 该组数据为 290、 295、 300、 305、 305、 315 共六个数据, 所以其中位数为 2 =302.5. 2.(文)某学校从高三全体 500 名学生中抽取 50 名学生做学习状况问卷调查,现将 500 500 名学生从 1 到 500 进行编号,求得间隔数 k= =10,即每 10 人抽取一个人,在 1~10 中 50 随机抽取一个号码,如果抽到的是 6,则从 125~140 的数中应取的号码是( A.126 C.126 或 136 [答案] D [解析] 由题意知,这是系统抽样,∵在 1~10 中抽得号码 6,∴在 125~140 中抽得号 码为 6+12×10=126 和 6+13×10=136. (理)一个盒子里有 6 支好晶体管,4 支坏晶体管,任取两次,每次取一支,每次取后不 放回,已知第一支是好晶体管,则第二支也是好晶体管的概率为( 2 A. 3 5 C. 9 [答案] C [解析] 记“第 i(i=1,2)支晶体管是好的”为事件 Ai(其中 i=1,2),依题意知,要求的概 5 B. 12 7 D. 9 ) B.136 D.126 和 136 )

6×5 1 3 率为 P(A2|A1).由于 P(A1)= ,P(A1A2)= = , 5 10×9 3 1 P?A2A1? 3 5 所以 P(A2|A1)= = = . P?A1? 3 9 5 3.(文)(2013· 聊城质检)已知 Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0, x-2y≥0},若向区域 Ω 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 内的概率为( 1 A. 3 1 C. 9 [答案] D [解析] 如图,作出两集合表示的平面区域.容易得出 Ω 所表示的平面区域为三角形 AOB 及其边界,A 表示的区域为三角形 OCD 及其边界. 2 B. 3 2 D. 9 )

容易求得 D(4,2)恰为直线 x=4,x-2y=0,x+y=6 三线的交点. 1 1 则可得 S△AOB= ×6×6=18,S△OCD= ×4×2=4. 2 2 4 2 所以点 P 落在区域 A 的概率为 P= = . 18 9 (理)(2013· 许昌、新乡、平顶山调研)已知 a>0,在可行域内任取一点(x,y),如果执行如 图的程序框图,那么输出数对(x,y)的概率是( )

1 A. 3 1 C. 2 [答案] A

1 B. 3a 1 D. 2a

1 1 1 1 [解析] 可行域三角形的面积为 S= × × = 2,其中可行域内满足 y≥ax2 的区域的 2 a a 2a S′ 1 1 1 面积 S′=∫ 0(x-ax2)dx= 2,故所求事件的概率为 P= = . a 6a S 3

4.(文)为调查中学生每人每天平均参加体育锻炼的时间 x(单位:分钟),按锻炼时间分 下列四种情况统计:(1)0≤x<10;(2)10≤x<20;(3)20≤x<30;(4)x≥30.有 10000 名中学生参 加了此项调查,如图是此次调查中某一项的流程图,其输出的结果是 6200,则平均每天参 加体育锻炼时间少于 20 分钟的学生的频率是( )

A.3800 C.0.38 [答案] C

B.6200 D.0.62

[解析] 根据流程图可知,每天参加体育锻炼的时间少于 20 分钟的学生人数为 10000 -6200=3800,故其频率为 0.38. (理)若随机变量 X~N(1,4),P(X≤0)=m,则 P(0<X<2)=( A.1-2m 1-2m C. 2 1-m B. 2 D.1-m )

[答案] A [解析] 本题可利用正态曲线的对称性解答.据题意知正态曲线关于直线 x=1 对称, 1 1 1 故 P(0<X<1)= -P(X≤0)= -m,因此 P(0<X<2)=2P(0<X<1)=2( -m)=1-2m. 2 2 2 5.(文)(2013· 北京海淀期末)某部门计划对某路段进行限速,为调查限速 60km/h 是否合 理, 对通过该路段的 300 辆汽车的车速进行检测, 将所得数据按[40,50), [50,60)[60,70), [70,80] 分组,绘制成如图所示的频率分布直方图.则这 300 辆汽车中车速低于限速的汽车有( )

A.75 辆 C.180 辆 [答案] C [ 解析 ]

B.120 辆 D.270 辆

据直方图可知 300 辆中车速低于限速的汽车所占的频率为 10×0.025 +

10×0.035=0.6,故其频数为 300×0.6=180. (理)(2013· 四川文,7)某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所 得数据的茎叶图如图所示。以组距为 5 将数据分组成[0,5)、[5,10)、…、[30,35),[35,40]时, 所作的频率分布直方图是( )

[答案] A

频率 [解析] 通过分析茎叶图可知在[0,5)和[5,10)内分别各有 1 个样本, 故它们的 对应的 组距 数值均为 0.01,排除 B,C 与 D 不符合人数分组(组距为 5)的要求,故选 A. 6.(文)某赛季甲、乙、丙、丁四名篮球运动员五场比赛的得分情况如表: 场次 得分 运动员 甲 乙 丙 丁 12 12 14 13 15 14 15 15 13 16 12 14 14 16 16 12 16 11 10 12 ) 一 二 三 四 五

某篮球队要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选一人参加集训,你认为应该选( A.甲 C.丙 [答案] A [解析] - - x 甲=14, x 乙=13.8, B.乙 D.丁

- - x 丙=13.4, x 丁=13.2. 故应选择甲参加集训. (理)(2013· 沈阳二检)甲、乙两名同学在五次《数学基本能力》测试中,成绩统计用茎叶 图表示如下,若甲、乙两人的平均成绩分别是 X 甲,X 乙,则下列结论正确的是( 甲 9 2 A.X 甲>X 乙,甲比乙成绩稳定 B.X 甲>X 乙,乙比甲成绩稳定 C.X 甲<X 乙,甲比乙成绩稳定 D.X 甲<X 乙,乙比甲成绩稳定 [答案] A [解析] 由已知数据得 X 甲= 68,故 X 甲>X 乙,
2 又 s甲 =2<s2 乙=7.2,故甲比乙稳定.

)

乙 8 6 7 3 8 9 1 9

1 0

68+69+70+71+72 63+68+69+69+71 =70, 而 X 乙= = 5 5

7.(文)(2013· 广东佛山质检)某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随 机抽出 100 名司机,已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间,根据调查结果得出司机的年龄

情况残缺的频率分布直方图如图所示, 利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机 年龄的中位数 大约是( ... )

A.31.6 岁 C.33.6 岁 [答案] C

B.32.6 岁 D.36.6 岁

[解析] 因为中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此可估计中位数的值.从 残缺的频率分布直方图中可以知道,[25,30)的频率/组距为 0.04,前两个矩形的面积之和为 0.25, 将[30,35)的矩形面积分成 5 两部分, 则 5× ≈3.6, 因此, 中位数为 30+3.6=33.6(岁). 7

(理)(2013· 南昌模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数 A= a1 1 a2 a3 a4 a5 ,其中 A 的各位数中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现 0 的概率为 ,出现 1 的概率 3 2 为 .记 X=a1+a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时,X 的数学期望 E(X)等于( 3 8 A. 27 11 C. 3 [答案] C 1420 1 [解析] X=1 时,P1=C0 4( ) ( ) = 4, 3 3 3 1 32 8 X=2 时,P2=C1 4( ) ·= 4, 3 3 3 1 2 2 2 24 X=3 时,P3=C2 ( ) = 4, 4( ) · 3 3 3 1 2 3 32 X=4 时,P4=C3 ( ) = 4, 4( )· 3 3 3 2 4 16 X=5 时,P5=C4 4( ) = 4 , 3 3 1 8 24 32 16 11 E(X)=1× 4+2× 4+3× 4 +4× 4 +5× 4 = . 3 3 3 3 3 3 π 8.(文)如图⊙C 内切于扇形 AOB,∠AOB= ,若在扇形 AOB 内任取一点,则该点在 3 16 B. 81 65 D. 81 )

圆 C 内的概率为(

)

1 A. 6 2 C. 3 [答案] C [解析] 设 OA=OB=R,圆 C 半径为 r, 则 r π =sin ,∴R=3r,l=Rθ=πr. 6 R-r

1 B. 3 3 D. 4

πr2 πr2 2 ∴P= = = . 1 1 3 lR πr· 3r 2 2 x≥0,y≥0, ? ? (理)设不等式组 ?x≤2, ? ?y≤2

所表示的平面区域为 A, 现在区域 A 中任意丢进一个

1 粒子,则该粒子落在直线 y= x 下方的概率为( 2 1 A. 3 1 C. 2 [答案] B 1 B. 4 3 D. 4

)

[解析] 本题是线性规划问题,数形结合可解.如图所示,可行域为正方形,易求得面 1 积比为 .解决线性规划的实质是用数形结合的方法解决问题, 判断可行域可以采用取特殊点 4 的方法.

二、填空题 9.(文)一组数据共有 7 个数,记得其中有 10,2,5,2,4,2,还有一个数没记清,但知道这

组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列,这个数的所有可能值构成集合 A,则 A= ________. [答案] {-11,3,17} 25+x [解析] 设这个数为 x,则平均数为 ,众数为 2,若 x≤2,则中位数为 2,此时 x 7 25+x =-11.若 2<x<4,则中位数为 x,此时 2x= +2,x=3,若 x≥4,则中位数为 4,2×4 7 25+x = +2,x=17,所有可能值为-11,3,17. 7 (理)(2013· 银川六校联考)若(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+?+a9(x-1)9,则 a8= ________. [答案] -9 [解析] 由题知,(x-2)9=[(x-1)-1]9,则[(x-1)-1]9 的展开式的通项是 Tr+1=Cr 9(x-
1 1)9 r· (-1)r,令 r=1,则 T2=C9 (x-1)8· (-1)1=a8(x-1)8,则 a8=C1 (-1)1=-9. 9·


10.(文)已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体 的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是________. [答案] 10.5 10.5 a+b [解析] 这 10 个数的中位数为 =10.5. 2 这 10 个数的平均数为 10. 要使总体方差最小. 即(a-10)2+(b-10)2 最小. 即 a2+b2-20(a+b)+200 最小, ?a+b?2 ∵a>0,b>0,∴a2+b2≥ (当 a=b 时取等号), 2 ∵a+b=21,∴当 a=b=10.5 时,取得最小值. (理)若 a 与 b 是异面直线,则称(a,b)为一对异面直线,过四棱锥任意两个顶点的直线 共有 10 条,其中异面直线共有________对. [答案] 12 [解析] 底面上任意两条直线都不是异面直线,任意两条侧棱也都不是异面直线,故一 对异面直线中必有一条侧棱和底面上的一条直线, 已知一条侧棱可构成 3 对异面直线, 故共 有 12 对异面直线. 三、解答题 11.(文)(2013· 北京东城模拟)某中学高中学生有 900 名,学校要从中选出 9 名同学作为 国庆 60 周年庆祝活动的志愿者.已知高一有 400 名学生,高二有 300 名学生,高三有 200 名学生.为了保证每名同学都有参与的资格,学校采用分层抽样的方法抽取.

(1)求高一、高二、高三分别抽取学生的人数; (2)若再从这 9 名同学中随机地抽取 2 人作为活动负责人,求抽到的这 2 名同学都是高 一学生的概率; (3)在(2)的条件下,求抽到的这 2 名同学不是同一年级的概率. [解析] (1)样本容量与总体容量的比为 则高一、高二、高三应分别抽取的学生为 1 1 1 400× =4(人),300× =3(人),200× =2(人). 100 100 100 4×3 1 (2)设“抽到的这 2 名同学都是高一的学生为事件 A”,则 P(A)= = . 9×8 6 4×3+4×2+3×2 13 (3)设“抽到的这 2 名同学不是同一年级为事件 B”,则 P(B)= = . 1 18 ×9×8 2 1 (理)(2013· 霍邱二中模拟)某人抛掷一枚硬币,出现正反的概率都是 ,构造数列{an},使 2
? ?当第n次出现正面时? ?1 得 an=? ,记 Sn=a1+a2+?+an(n∈N*). ?-1 ?当第n次出现反面时? ?





(1)求 S4=2 的概率; (2)若前两次均出现正面,求 2≤S6≤4 的概率. 131 14 [解析] (1)S4=2, 需 4 次中有 3 次正面 1 次反面, 设其概率为 P1, 则 P1=C3 4( ) ·=4×( ) 2 2 2 1 = . 4 (2)6 次中前两次均出现正面,要使 2≤S6≤4,则后 4 次中有 2 次正面、2 次反面或 3 次 正面、1 次反面,设其概率为 P2. 1212 3 1 31 5 则 P2=C2 4( ) ( ) +C4( ) ·= . 2 2 2 2 8 12. (文)(2013· 北京西城模拟、 眉山二诊)某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级. 现 从一批该零件中随机抽取 20 个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率 1 0.05 2 m 3 0.15 4 0.35 5 n

(1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m,n; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件 等级恰好相同的概率. [解析] (1)由频率颁布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1, 即 m+n=0.45. 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,

2 得 n= =0.1. 20 所以 m=0.45-0.1=0.35. (2)由(1)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1、x2、x3,等级为 5 的零件有 2 个,记作 y1、y2, 从 x1、x2、x3、y1、y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为: (x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2), (y1,y2)共计 10 种. 记事件 A 为“从零件 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级相等”,则 A 包含的基本 事件为(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2)共 4 个. 4 概率为 P(A)= =0.4. 10 (理)(2013· 东北三校模拟)某市统计局就本地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得 数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入 在[1000,1500)之间(单位:元).

(1)估计居民月收入在[1500,2000)的概率; (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数; (3) 若将频率视为概率,从本地随机抽取 3 位居民 ( 看作有放回的抽样 ),求月收入在 [2500,3500)的居民数 X 的分布列和数学期望. [解析] (1) 依 题 意 及 频 率 分 布 直 方 图 知 , 居 民 月 收 入 在 [1500,2000) 的 概 率 约 为

0.0004×500=0.2. (2) 频 率 分 布 直 方 图 知 , 中 位 数 在 [2000,2500) , 设 中 位 数 为 x , 则 0.0002×500 + 0.0004×500+0.0005×(x-2000)=0.5, 解得 x=2400. (3)居民月收入在[2500,3500)的概率为(0.0005+0.0003)×500=0.4. 由题意知,X~B(3,0.4),
3 1 2 2 因 此 P(X = 0) = C 0 3 ×0.6 = 0.216 , P(X = 1) = C 3 ×0.6 ×0.4 = 0.432 , P(X = 2) = C 3 3 ×0.6×0.42=0.288,P(X=3)=C3 3×0.4 =0.064,

故随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064

X 的数学期望为 E(X)=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2. 13.(文)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的 5 次预赛成绩记 录如下: 甲 乙 82 82 79 95 87 95 75 80 90 85

(1)用茎叶图表示这两组数据; (2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (3)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加 合适?说明理由. [解析] (1)作出茎叶图如下: 甲 9 7 2 2 5 7 8 9 0 0 5 5 5 乙

(2)记甲被抽到的成绩为 x,乙被抽到的成绩为 y,用数对(x,y)表示基本事件: (82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82,85), (82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82,85), (79,95)(79,75),(79,80),(79,90),(79,85), (95,95),(95,75),(95,80),(95,90),(95,85), (87,95),(87,75),(87,80),(87,90),(87,85). 基本事件总数 n=25. 记“甲的成绩比乙高”为事件 A,事件 A 包含的基本事件: (82,75),(82,80),(82,75),(82,80), (79,75),(95,75),(95,80),(95,90), (95,85),(87,75),(87,80),(87,85). 事件 A 包含的基本事件数 m=12. m 12 所以 P(A)= = . n 25 (3)派甲参赛比较合适.理由如下: 1 - x 甲= (70×1+80×3+90×1+9+2+2+7+5)=85, 5 1 - x 乙= (70×1+80×2+90×2+5+0+5+0+5)=85, 5

1 2 2 2 2 2 s2 甲= [(79-85) +(82-85) +(82-85) +(87-85) +(95-85) ]=31.6, 5 1 2 2 2 2 2 s2 乙= [(75-85) +(80-85) +(85-85) +(90-85) +(95-85) ]=5`0. 5 - - 2 ∵ x 甲= x 乙,s2 甲<s乙, ∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. (理)(2013· 德阳二诊)一个盒子中装有 5 张卡片,上面分别记着数字 1,1,2,2,2.每张卡片从 外观上看毫无差异,现从盒子中有放回的任取 2 张卡片,记下上面的数字分别为 x 和 y,两 次所得数字之和记为 M,即 M=x+y. (1)求随机变量 M 的分布列和数学期望. (2)若规定所得数字之和为 3 即可获一定的奖品,现甲、乙二人各自玩了上面的游戏一 次,试求两人之中至少有一人能获得奖品的概率. [解析] (1)由题意:M 的取值可以是 2,3,4,
1 C1 4 2×C2 P(M=2)= = , 5×5 25 1 2 C1 2C3A2 12 P(M=3)= = , 25 5×5 1 C1 9 3×C3 P(M=4)= = , 5×5 25

∴M 的分布列为 M P 2 4 25 3 12 25 4 9 25

4 12 9 16 M 的期望为:E(M)=2× +3× +4× = . 25 25 25 5 12 (2)设“从 5 张卡片中有放回地抽取 2 次,所得数字之和为 3”为事件 A,则 P(A)= , 25 则“甲乙二人中至少一人能获奖”相当于 2 次独立重复试验中事件 A 至少发生一次, 12 456 0 其概率为 1-C2 (1- )2= . 25 625


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