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2006年江苏省六合高级中学高中数学竞赛模拟试题二


江苏省六合高级中学高中数学竞赛 2006 年江苏省六合高级中学高中数学竞赛 模拟试题二 模拟试题二
一,选择题: 1.设 a , b , c 为实数, 4a 2b + c > 0, a + b + c < 0 ,则下列四个结论中正确的是 ( (A) b ≤ ac (B) b > ac (C) b > ac 且 a > 0 (D) b &g

t; ac 且 a < 0
2 2 2 2

)

2.在△ABC 中,若 ∠A = 45 , AB = 2, BC = a ,则 a =
0

2 是△ABC 只有一解的

(

)

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件 3.已知向量 a = ( m, cos 2 x + 2 sin x 1), b = (3 cos 2 x + 4 sin x,1) ,定义函数 f ( x) = a b . 若对任意的 x ∈ [0,

π
2

] ,不等式 f ( x) > 0 恒成立,则 m 的取值范围是 1 8 1 8

(

)

(A) ( ,+∞ ) (B) [0, ) (C) ( ,2) (D) (2,+∞ ) 4.设 E,F,G 分别是正四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD 的中点,则二面角 C—FG—E 的大 小是 ( ) (A) arcsin

1 8

6 π 3 π 2 (B) + arccos (C) arctan 2 (D) π arc cot 3 2 3 2 2

5.把数列 {2n + 1} 依次按一项,二项,三项,四项循环分为(3)(5,7)(9,11,13)(15, , , , 17,19,21)(23)(25,27,, , , )(29,31,33)(35,37,39,41) , ,…,在第 100 个括号 内各数之和为 ( ) (A)1992 (B)1990 (C)1873 (D)1891 6.设 xi ∈ {1,2, , n}, i = 1,2, , n , 满足
n

∑x
i =1

i

=

n(n + 1) , 1 x 2 x n = n! , x1 , 2 , x 使 x …, 2
( )

x n 一定是 1,2, , n 的一个排列的最大数 n 是
(A)4 (B)6 (C)8 (D)9 二,填空题: 7. 若实数 x , y 满足条件 x 2 y 2 = 1 ,则
2

1 2y 的取值范围是___________________. + x x2
4

8. 对于给定的正整数 n ≥ 4 ,等式 C m = 3C n 成立,则所有的 m 一定形如_____________.(用

n 的组合数表示) 9. 一个盒中有 9 个正品和 3 个废品,每次取一个产品,取出后不在放回,在取得正品前已取
1

出的废品数 ξ 的数学期望 Eξ =_________________. 10. 设点 F1,F2 分别为椭圆 E 的左,右焦点,抛物线 C 以 F1 为顶点,以 F2 为焦点.设 P 点 为椭圆与抛物线的一个交点. 如果椭圆 E 的离心率 e 满足 PF1 = e PF2 , e 的值为_______. 则 11. 已知 t > 0 ,关于 x 的方程 x + t x =
2

2 ,则这个方程有相异实根的个数情况是

_________________. 12. 函数 f ( x) = 三,解答题: 13.向量 OP , OP2 , OP3 满足条件 OP + OP2 + OP3 = 0 , OP = OP2 = OP3 = 1 ,试判 1 1 1 断△P1P2P3 的形状,并加以证明. 14.设数列 {a n } 满足 a1 = 1 a n +1 a n = n + 1 ( n ∈ N ) , ,求证:
*

x2 ( x ∈ R, 且x ≠ 1 )的单调递增区间是______________________. x 1

n k =1

∑a

1
k

≥ 2( n + 1 1) ..

15.设函数 f ( x) = 3 1 + x λx ,其中 λ > 0. (1)求 λ 的取值范围,使得函数 f ( x) 在 [0,+∞ ) 上是单调递减函数; (2)此单调性能否扩展到整个定义域 (∞ ,+∞ ) 上? (3)求解不等式 2 x 3 1 + x < 12.

2

D(提示 提示:若 a = 0 ,则 b ≠ 0 ,则 b > ac = 0 .若 a ≠ 0 ,则对于二次函数 f ( x) = ax bx + c , 提示
2

2

由 f ( 2) > 0, f ( 1) < 0 可得结论. ) AA D A C 【答案】 (2,2) .提示:令 x = sec α , y = tan α 【答案】 m = C n 1 ( n ≥ 4 ).提示:由 C m = 3C n 得 ( 2m 1) 2 = (n 2 3n + 1) 2 ,
2 2 4

从而 m = C n 1 ( n ≥ 4 ).
2

【答案】0.3

提示: ξ 取值为 0,1,2,3, 且有 P (ξ = 0) =

1 C9 C 1C 1 3 9 , = ,P (ξ = 1) = 3 29 = 1 44 2C12 C12 4

1 3 1 C 32 C 9 C3 C9 9 1 P (ξ = 2) = , P (ξ = 3) = . = = 3 4 220 220 2C12 2C12

∴ Eξ = 0 ×
【答案】

3 9 9 1 + 1× + 2× + 3× = 0 .3 . 4 44 220 220

3 3
2 , C 2 : y = t x 2 ,利用数形结合知:

【答案】0 或 2 或 3 或 4. 提示:令 C1 : y = x 当 0 < t < 1或t > 2 时,方程无实数根; 当 t = 1 时,方程有 2 个实数根; 当 t = 2 时,方程有 3 个实数根; 当 1 < t < 2 时,方程有 4 个实数根.

【答案】 (∞ ,0], [2,+∞ ) . 提示: y = 2 + ( x 1) + 本题也可直接依函数的单调性定义来分析.

1 ( x ≠ 1) ,利用典型函数来分析; x 1
2 2 2

∴ 1 ∴ 1 解:∵ OP + OP2 + OP3 = 0 , OP = OP2 OP3 , OP = OP2 + OP3 + 2OP2 OP3 . 1 又 ∵ OP = OP2 = OP3 = 1 , ∴ OP = OP2 = OP3 = 1 , ∴ OP2 OP3 = 1 1 ∴ cos ∠P2 OP3 = 同理可求得 P1 P2 =
2 2 2

1 , 2

1 ,在△P2OP3 中,由余弦定理可求得 P2 P3 = 3 . 2

3 , P1 P3 = 3 .∴△P1P2P3 为正三角形.
*

证明:由题意知 a 2 = 2, a n > 0, n ∈ N . 当 n = 1 时,

1 = 1 > 2( 2 1) ,命题成立; a1
3

当 n ≥ 2 时, a n +1 a n = n + 1 , a n a n 1 = n , a n ( a n +1 a n 1 ) = 1 , 由 得 ∴
n

1 = a n +1 a n 1 , an

从而有

n 1 1 = + ∑ (a k +1 a k 1 ) = a n +1 + a n 2 ≥ 2 a n +1 a n 2 ≥ 2( n + 1 1) ∑ a a k =2 k =1 k 1

解: (1)设 0 ≤ x1 < x 2 < +∞ , 则 f ( x1 ) f ( x 2 ) = ( x1 x 2 )[

1
3

(1 + x1 ) + 3 1 + x1 3 1 + x 2 + 3 (1 + x 2 ) 2
2
2

λ ].

设 M = 3 (1 + x1 ) + 3 1 + x1 3 1 + x 2 + 3 (1 + x 2 ) ,则显然 M > 3 .
2

∵ f ( x1 ) f ( x 2 ) > 0 ,∴ λ >

1 1 1 1 ,∵ < ,∴只需要 λ ≥ ,就能使 f (x) 在 [0,+∞ ) 上是 M M 3 3

单调递减函数; (2)此单调性不能扩展到整个定义域上,这可由单调性定义说明之; ( 3 ) 构 造 函 数 g ( x ) = 2 x 3 1 + x , 由 ( 1 ) 知 当 x > 0 时 , g (x ) 是 单 调 递 增 函 数 . ∵ g (7) = 12 ,∴ 2 x 3 1 + x < 12. g ( x ) < g (7) ,∴ x < 7 ,∴所求解集为 (∞,7) . ∞

4

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