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函数的单调性1


函数的单调性与最值
学习目标: 1、理解函数单调性的概念,会根据函数的图像判断函数的单调性; 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。 学习重难点: 重点:函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。 难点:函数单调性的判断与证明。

一.自主梳理 1.教材助读:观察函数 f ( x) ? x , f ( x) ? x 2 的图象<

br />
y f ( x) ? x

y

f ( x) ? x 2

0

x

0

x

从左至右看函数图象的变化规律: (1). f ( x) ? x 的图象是(上 升)的, (2). f ( x) ? x 在 (??,??) 上,f(x)随着 x 的增大而(增大);

f ( x) ? x 2 在 (??,0] 上,f(x)随着 x 的增大而_______;
在 (0,??) 上,f(x)随着 x 的增大而________.

f ( x) ? x2 的图象在 y 轴左侧
是______的, 在 y 轴右侧是_______的.

函数的单调性: 一般的,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,

y
f(x1) f(x2)

y
f(x1) f(x2)

0

x1 x2

x

0

x1 x2

x
1

当 x 1 ? x2 时,都有



当 x1 ? x 2 时,都有

那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.
如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或 么就说函数 y=f(x)在这 一区间具有单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的 ,那

__________,
那么就说 f(x)在区间 D 上是减函数.

二.探究提升 例1. 下图是定义在闭区间 [-5,5] 上的函数 y ? f ( x) 的图象 , 根据图象说出 y ? f ( x) 的单调区间,以及在每一区间上, y ? f ( x) 是增函数还是减函数. 解:函数 y ? f ( x) 的单调区间有:

y 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3

___________________________________________

在区间____________, _____________上是减函数

在区间____________, _____________上是减函数。

小结:图象法是研究函数单调性的方法之一 练习 1.如图,已知 y ? f ( x) 的图象(包括端点),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一 区间上,函数是增函数还是减函数.

例 2.证明函数 f ( x) ? 2 x ? 1 在区间 (-?,+?) 上是增函数 证:

设x1 , x2是区间(??, ??)内任意两个实数,且__________ 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? _________________
=____________________
2

x1 ? x2

? x1 ? x2 ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 _____________

∴函数 _______________ 在区间 _____________ 上是 ______________。

总结:用定义法证明函数的单调性 “五步曲”:—————————————————— 注意:下结论要强调三点: (1) 哪个函数? (2)在哪个区间 (3)是增(减)函数

练习 2.判断函数 f ( x) ?

1 在 (0, ??) 是增函数还是减函数?证明你的结论。 x 1 的图象如图所示: x
1 在 (0, ??) 上是_______________ x
3 2 1

解:函数 f ( x) ?

由图可知 f ( x) ? 证明如下:

y

x
–3 –2 –1

O
–1 –2 –3

1

2

3

5 4
练习 3 判断函数 f ( x) ? x ? 1 在(0,+∞)上是增函数还是减函数?并给予证 明。
2

y

3 2 1

x
1
3

–3

–2

–1

O
–1 –2

2

3

判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;② 作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性).

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