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高考一轮总复习人教A版数学10-2


走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第十章

统计与概率

第十章

统计与概率

走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学<

br />
第十章
第二节 用 样 本 估 计 总 体

第十章

统计与概率

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基础梳理导学

3

规范答题样板

高频考点通关

4

课后强化作业

第十章

第二节

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基础梳理导学

第十章

第二节

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夯实基础

稳固根基

1.通常我们对总体的估计有两种:一种是 ____________________________ ________________________. 2.在频率分布直方图中,纵轴表示“________”,数据落 在各小组内的频率用________________表示,各小矩形的面 频率 积总和等于______.频率= ×________. 组距 , 另 一 种 是

第十章

第二节

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3. 平 均 数 : 一 组 数 据 的 总 和 除 以 数 据 的 个 数 所 得 的 商 就 是 平 均 数 . 若 样 本 数 据 为 ________________. 在频率分布直方图中,平均数的估计值等于频率分布直 方 图 中 每 个 小 矩 形 的 坐 标 之 和 . _ _ _ _ _ _ _ _ 乘 以 小 矩 形 底 边 ________的横 x1、x2、x3?xn, 则 样 本 平 均 数 - x=

第十章

第二节

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4. 中 位 数 : 如 果 将 一 组 数 据 按 从 小 到 大 的 顺 当 数 据 有 奇 数 个 时 , 处 在 位 数 ; 当 数 据 有 偶 数 个 时 , 处 在 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

序依次排列, 是 这 组 数 据 的 中 , 是 这 组

数 据 的 中 位 数 . 在 频 率 分 布 直 方 图 中 , 中 位 数 左 边 和 右 边 的 直方图的面积_ _ _ _ _ _ _ _ , 由此可估计中位数的值. _ _ _ _ _ _ _ _ 的数(若有两

5. 众 数 : 在 一 组 数 据 中 , 出 现 次 数

个 或 几 个 数 据 出 现 得 最 多 , 且 出 现 的 次 数 一 样 , 这 些 数 据 都 是 这 组 数 据 的 众 数 ; 若 一 组 数 据 中 , 每 个 数 据 出 现 的 次 数 一 样 多 , 则 认 为 这 组 数 据 没 有 众 数 数是_ _ _ _ _ _ _ _ ). 在 频 率 分 布 直 方 图 中 , 众

小矩形中点的横坐标.
第十章 第二节

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6. 方 差 、 标 准 差 设 样 本 数 据 为 x1,x2,?,xn 样 本 平 均 数 为 - x, 则 s2 =

________________________ = ____________________ 叫做这 组 数 据 的 方 差 , 用 来 衡 量 这 组 数 据 的 波 动 大 小 , 一 组 数 据 方 差越大,说明这组数据波动越 ______ .把样本方差的

____________叫 做 这 组 数 据 的 样 本 标 准 差 .

第十章

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7. 绘 制 频 率 分 布 直 方 图 的 步 骤 为 : 求

_ _ _ _ _ _ _ _

,确定 ________

________, 将 数 据 ________,列________分 布 表 , 画 直方 图 . 8.( 1 ) 如 果 x1、x2、?、xn 的 平 均 数 为 +b,?,axn+b 的 平 均 数 为 ________.

- x ,则 ax1+b,ax2

( 2 ) 数 据 x1、x2、?、xn 与 数 据 x1+m、x2+m、?、xn+m 的 方 差 ________. ( 3 ) 若 x1、x2、?、xn 的 方 差 为 的 方 差 为 ________.
第十章 第二节

s2 , 则 kx1,kx2,?,kxn

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[答 案]

1.用 样 本 的 频 率 分 布 估 计 总 体 的 频 率 分 布 2.频率/组距 面积 相等

用 样 小 矩 形 的 4.最中 最高

本 的 数 字 特 征 估 计 总 体 的 数 字 特 征 面积 1 组距

1 3. n (x1 + x2 +?+ xn)

中点 5. 最多

间的一个数

最 中 间 两 个 数 的 平 均 数

1 6.n[ ( · x1-- x )2+(x2-- x )2+?+(xn-- x )2] -n x 2] 大 算 术 平 方 根 组数 分组 频数

1 2 2 2 [( x + x +?+ x n) n 1 2

7. 极 差 ( 2 ) 相 等

频 率 分 布

8 ( 1 .)

a - x +b

( 3 ) k2s2
第十章 第二节

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考 点 自 测 1.( 2 0 1 3 ·

把 脉 弱 点 惠 州 调 研 )某 赛 季 , 甲 、 乙 两 名 篮 球 运 动 员 都 参

加 了 11 场 比 赛 , 他 们 每 场 比 赛 得 分 的 情 况 用 如 图 所 示 的 茎 叶 图 表 示 , 则 甲 、 乙 两 名 运 动 员 得 分 的 中 位 数 分 别 为 ( )

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A 1 .9 、13 C.20、18
[答案]
[解析] 13.故选 A.

B.13、19 D.18、20

A
由茎叶图可知,甲的中位数为 19,乙的中位数为

第十章

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2. ( 2 0 1 3 ·

豫 西 五 校 联 考 8 1 ,2 1 ,0 1 ,1 9 , ) B.9 m n i

)某 人 5次 上 班 途 中 所 花 的 时 间 , 估 计 此 人 每 次 上 班 途 中 平 均 花

(单

位 :m n i) 分 别 为 费 的 时 间 为 A.8 m n i C.1 1 m n i
[答案] D

(

D.1 0 m n i

1 - [解析] x =5(8+12+10+11+9)=10.

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3.(文) ( 2 0 1 3 ·

西 北 工 大 附 中 测 试

)如 图 是 容 量 为 [ 6 1 ,0 )

150 的 样 内的频数为

本 的 频 率 分 布 直 方 图 , 则 样 本 数 据 落 在 ( )

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A.12 C.60

B.4 8 D.80

[答案]

B

[解析]

0.08×( 1 0 -6)×150=48.

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(理) ( 2 0 1 3 ·

济宁模拟 ) 为了解一片大约一万株树木的生长 100 株 树 木 的 底 部 周 长 (单 位 : c m ) .根

情 况 , 随 机 测 量 了 其 中

据 所 得 数 据 画 出 的 样 本 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 , 那 么 在 这 片 树 木 中 , 底 部 周 长 小 于 1 1 0 c m 的 株 数 大 约 是 ( )

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A.3 0 0 0 C.7 0 0 0
[答案] C

B.6000 D.8000

[解析] +0 0 .2 +0 0 .4 )

用 样 本 的 频 率 作 为 总 体 频 率 的 估 计 值 计 数 , ×10×10000=7000 株.

( 0 0 .1

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4.(文) ( 2 0 1 3 ·

哈 尔 滨 四 校 统 考

)甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 人 参 加

某 运 动 会 射 击 项 目 选 拔 赛 , 四 人 的 平 均 成 绩 和 方 差 如 下 表 所 示: 甲 平均环数- x 方差 s2 8.3 3.5 乙 8.8 3.6 丙 8.8 2.2 丁 8.7 5.4

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从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛,最 佳 人 选 是 ( A. 甲 C. 丙
[答案] C
[解析] 由 表 格 中 数 据 可 知 , 丙 平 均 环 数 最 高 , 且 方 差 最

) B. 乙 D. 丁

小,说明丙技术稳定,且成绩好,选 C.

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(理) ( 2 0 1 3 ·

南京模拟 ) 为了分析某篮球运动员在比赛中发 6 场 比 赛 中 的 得 分 , 用 茎 ________.

挥 的 稳 定 程 度 , 统 计 了 该 运 动 员 在 叶 图 表 示 如 图 , 则 该 组 数 据 的 方 差 为

[答案]

5

1 - [解析] x =6×( 1 0 ×4+20×2+4+7+8+8+1)=18, 1 S= [ ( 1 8 -14)2 +( 1 8 -1 7 ) 2+( 1 8 -18)2×2+ ( 1 8 -20)2 + 6
2

( 1 8 -21)2]=5.
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疑 难 误 区

点 拨 警 示

1. 对 频 率 分 布 直 方 图 和 茎 叶 图 识 图 不 准 是 常 见 的 错 误 . 在 频 率 分 布 直 方 图 中 , 小 矩 形 的 高 = 频 率 率 = ×组 距 = 小 矩 形 的 面 积 . 组 距 2. 中 位 数 可 能 不 在 样 本 数 据 中 . 频 率 频 数 = .频 组 距 组 距 ×样 本 容 量

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3. 计 算 公 式 用 错 或 计 算 错 误 . 计 算 平 均 数 、 方 差 、 标 准 差 等 时 计 算 量 大 , 要 注 意 计 算 结 果 的 准 确 性 . 4. 用 直 方 图 求 样 本 平 均 值 时 , 不 要 误 用 小 矩 形 的 高 矩 形 底 边 中 点 横 坐 标 , 或 频 率 ×每 组 的 端 点 值 . ×小

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高频考点通关

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频率分布直方图
(文) ( 2 0 1 2 · 广 东 文 , 1 7 ) 某 校 1 0 0 名 学 生 期 中 考 试

语 文 成 绩 的 频 率 分 布 直 方 图 如 下 图 所 示 , 其 中 成 绩 分 组 区 间 是 :[ 5 0 6 ,0 ) ,[ 6 0 7 ,0 ) ,[ 7 0 8 ,0 ) ,[ 8 0 9 ,0 ) ,[ 9 0 1 ,0 0 ] .

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( 1 ) 求图中 a 的值; ( 2 ) 根据频率分布直方图,估计这 100 名 学 生 语 文 成 绩 的 平均分; ( 3 ) 若这 100 名 学 生 语 文 成 绩 某 些 分 数 段 的 人 数 成 绩 相 应 分 数 段 的 人 数 [ 5 0 9 ,0 ) 之外的人数. 分数段 [ 5 0 6 ,0 ) x:y 1:1 [ 6 0 7 ,0 ) 2:1 [ 7 0 8 ,0 ) 3:4 [ 8 0 9 ,0 ) 4:5 (x)与数学

(y) 之 比 如 下 表 所 示 , 求 数 学 成 绩 在

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[分 析]

( 1 ) 用 频 率 和 为

1 列 式 求 解 .

( 2 ) 取 每 个 区 间 中 点

值,分别乘以其频率再分别相加,求平均分.( 3 ) 根据语文成 绩 对 应 人 数 , 分 别 求 出 数 学 已 知 分 数 人 数 .

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[解析]

( 1 ) 依题意得,10×(2a+0.02+0.03+0.04)=1,

解 得 a=0.005. ( 2 ) 这 100 名 学 生 语 文 成 绩 的 平 均 分 为 : +75×0.3+85×0.2+95×0.05=73(分). 55×0.05+65×0.4

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( 3 ) 数 学 成 绩 在 数 学 成 绩 在 数 学 成 绩 在 数 学 成 绩 在 [ 6 0 7 ,0 ) [ 7 0 8 ,0 ) [ 8 0 9 ,0 )

[ 5 0 6 ,0 )

的 人 数 为 : 的 人 数 为 : 的 人 数 为 : 的 人 数 为 :

100×0.05=5, 1 100×0.4×2=20, 4 100×0.3× =40, 3 5 1 0 0 ×0.2×4=25, 100-5-20- 40

所 以 数 学 成 绩 在 -25=10.

[ 5 0 9 ,0

)之 外 的 人 数 为 :

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(理) ( 2 0 1 3 · 考 试 , 共 有

郑 州 一 中 、 清 丰 一 中 质 检

)某 高 校 组 织 自 主 招 生 195 分 到

2000 名 优 秀 学 生 参 加 笔 试 , 成 绩 均 介 于 50 名 同 学 的 成 绩 进 行 统 计 , 将 统 [ 1 9 5 2 ,0 5 )

275 分 之 间 , 从 中 随 机 抽 取

计结果按如下方式分成八组:第一组 [ 2 0 5 2 ,1 5 ) ,?, 第 八 组 [ 2 6 5 2 ,7 5 ]

,第二组

. 如 图 是 按 上 述 分 组 方 法 得 到 260 分(含 260)分 上 的 同 学

的 频 率 分 布 直 方 图 , 且 笔 试 成 绩 在 进 入 面 试 .

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( 1 ) 估 计 所 有 参 加 笔 人 数 ;

试 的 2000 名 学 生 中 , 参 加 面 试 的 学 生

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( 2 ) 面 试 时 , 每 位 考 生 抽 取 两 个 问 题 , 若 两 个 问 题 全 答 错 , 则 不 能 取 得 该 校 的 自 主 招 生 资 格 ; 若 两 个 问 题 均 回 答 正 确 且 笔 试 成 绩 在 270 分 以 上 , 则 获 A类 资 格 , 其 他 情 况 下 获 B类

资 格 . 现 已 知 某 中 学 有 两 个 学 生 获 得 面 试 的 资 格 , 且 仅 有 一 人 笔 试 成 绩 为 270 分 以 上 , 在 回 答 两 个 面 试 问 题 时 , 两 人 对 1 求 恰 有 一 位 同 学 获 得 该 高 2,

每 一 个 问 题 正 确 回 答 的 概 率 均 是 校B类 资 格 的 概 率 .

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[分 析]

( 1 ) “参 加 面 试 ”即“成 绩 在 260 分 以 上 ”, 包 括 估 计 .

第 七 组 的 一 半 和 第 八 组 , 故 先 求 第 七 组 的 频 率 , 再 作 出 ( 2 ) 先 将 该 中 学 两 个 获 得 面 试 资 格 的 同 学 编 码 , 分 类 , 然 后 考 虑 其 答 题 结 果 的 所 有 可 能 情 况 , 将 两 人 组 合 在 一 起 , 找 出 所 有 基 本 事 件 和 本 事 件 即 可 获 解 . “恰 有 一 位 同 学 获 得

B 类 资 格 ”所 含 的 基

第十章

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[解 析]

( 1 ) 设 第 i(i=1,2,?,8)组 的 频 率 为

fi,

则 由 频 率 分 布 直 方 图 知 f7 = 1 - ( 0 0 .0 4 0.008)×10=0.12. 所 以 成 绩 在 260 分 以 上 的 同 学 的 概 率 f7 p≈ +f8=0.14, 2 2000×0.14= + 0.01 + 0.01 + 0.02 + 0.02 + 0.016 +

故 这 2000 名 同 学 中 , 取 得 面 试 资 格 的 约 为 280 人 .

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( 2 ) 不 妨 设 两 位 同 学 为 则 对 于 M, 答 题 的 可 能 有 答 题 的 可 能 有

M,N,且 M 的 成 绩 在

270 分 以 上 ,

M11,M10,M01,M00, 对 于 N,

N11,N10,N01,N00, 1表 示 正 确 , 0表 示 错 误 , 如 N10 表 示 N同

其 中 角 标 中 的

学 第 一 题 正 确 , 第 二 题 错 误 , 将 两 位 同 学 的 答 题 情 况 列 表 如 下 :

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M11 N11 N10 N01 N00 AB AB AB AC

M10 BB BB BB BC

M01 BB BB BB BC

M00 CB CB CB CC

表中 AB 表示 M 获 A 类资格,N 获 B 类资格;BC 表示 M 获 B 类资格,N 没有获得资格. 8 1 所以恰有一位同学获该高校 B 类资格的概率为 = . 16 2

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[失 误 与 防 范

] 正 确 识 读 统 计 图 表 : /组 距 ,

频 率 分 布 直 方 图 中 , 小 矩 形 的 高 表 示 该 组 的 频 率 而 不 是 频 率 ; 平 均 数 的 估 计 值 等 于 每 个 小 矩 形 面 积 乘 以 小 矩 形 底 边 中 点 横 坐 标 之 和 , 中 位 数 的 估 计 值 , 使 得 左 右 两 侧 直 方 图 的 面 积 相 等 .

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[方 法 规 律 总 结

]

1.解 决 与 频 率 分 布 表 , 频 率 分 布 直 方 图

有 关 的 问 题 时 , 要 认 真 审 题 , 仔 细 分 析 , 从 图 表 中 提 取 有 用 的 信 息 或 数 据 , 要 牢 记 直 方 图 的 高 、 小 矩 形 的 面 积 等 与 平 均 数 、 中 位 数 、 众 数 、 频 率 、 频 数 之 间 的 关 系 .

2. 要 会 用 样 本 估 计 总 体 . 注 意 平 均 数 、 中 位 数 、 众 数 描 述 其 集 中 趋 势 , 方 差 (标 准 差 )描 述 其 波 动 大 小 .

第十章

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(文)如 图 是 样 本 容 量 为

200 的 频 率 分 布 直 方 图 . 根 据 样 本 [ 6 1 ,0 ) 内的频数为

的 频 率 分 布 直 方 图 估 计 , 样 本 数 据 落 在 ________, 数 据 落 在 [ 2 1 ,0 ) 内 的 概 率 约 为

________.

第十章

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[答 案]
[解 析] ( 0 0 .2

64;0 4 .
200×( 0 0 .8 ×4)=64;

+0.08)×4=0.4.

[点评]

1.依 据 频 率 分 布 直 方 图 计 算 时 要 牢 记 , 纵 轴 为 频

率/组距,小矩形的面积才表示频率. 2.可以用样本的频率估计概率.

第十章

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(理) ( 2 0 1 3 ·

银 川 一 中 月 考

)从某学校的 8 0 0 名男生中随机抽 1 5 5 c m [ 1 5 5 1 ,6 0 ) , 下 图 是 按 上 述 分 组 方 法 得 和1 9 5 c m 之

取5 0 名 测 量 身 高 , 被 测 学 生 身 高 全 部 介 于 间 , 将 测 量 结 果 按 如 下 方 式 分 成 八 组 : 第 一 组 组[ 1 6 0 1 ,6 5 ) ,?, 第 八 组 [ 1 9 0 1 ,9 5 ]

, 第 二

到 的 频 率 分 布 直 方 图 的 一 部 分 , 已 知 第 一 组 与 第 八 组 人 数 相 同,第六组的人数为 4 人.

第十章

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( 1 ) 求第七组的频率; ( 2 ) 估计该校 8 0 0 名 男 生 身 高 的 中 位 数 以 及 身 高 在 以上(含 1 8 0 c m ) 的 人 数 ; 1 8 0 c m

( 3 ) 若 从 身 高 属 于 第 六 组 和 第 八 组 的 所 有 男 生 中 随 机 抽 取 两名男生,记他们的身高分别为 x,y,事件 E={|x-y|≤5 }, 事件 F={|x-y> |1 5 } ,求 P(E∪F).

第十章

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[解 析]

( 1 ) 第 六 组 的 频 率 为

4 =0.08, 所 以 第 七 组 的 频 率 50

为 1-0.08-5×( 0 0 .0 8 ( 2 ) 身 高 在 第 一 组 身 高 在 第 二 组 身 高 在 第 三 组 身 高 在 第 四 组

×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06; [ 1 5 5 1 ,6 0 ) 的频 率 为 0.008×5=0.04, 的 频 率 为 的 频 率 为 的 频 率 为 0.016×5=0.08, 0.04×5=0.2, 0.04×5=0.2,

[ 1 6 0 1 ,6 5 ) [ 1 6 5 1 ,7 0 ) [ 1 7 0 1 ,7 5 )

第十章

第二节

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由于 0 0 .4 + 0 0 .8 +0 2 . =0 3 .2 < 0 5 .0 ,0 .4 0 5 .2 > 0 5 ..

+0 0 .8 + 0.2 +0.2 =

设这所学校 800 名男生身高的中位数为 m ,则

170<m< 1 7 5 , 由 0.04+0.08+0.2+(m-170)×0.04=0.5 得 m =174.5, 所 以 可 估 计 这 所 学 校 的 174.5. 由 直 方 图 得 后 三 组 频 率 为 所 以 身 高 在 144 人 .
第十章 第二节

800 名 男 生 的 身 高 的

中 位 数 为

0.06+0.08+0.008×5=0.18, 以 上 (含 1 8 0 c m ) 的 人 数 为 0.18×800=

1 8 0 c m

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( 3 ) 第 六 组 [ 1 8 0 1 ,8 5 ) 八 组[ 1 9 0 1 ,9 5 ] 的 人 数 为

的 人 数 为 2人 , 设 为

4人 , 设 为

a,b,c,d, 第

A,B, 则 有 ab,ac,ad,

bc,bd,cd,aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,AB 共 15 种 情 况 , 因事件 E= {|x-y|≤5} 发 生 当 且 仅 当 随 机 抽 取 的 两 名 男 生 在 同 一 组 , 所 以 事 件 E包 含 的 基 本 事 件 为 7 P(E)=15. ab,ac,ad,bc,

bd,cd,AB 共 7 种 情 况 , 故

第十章

第二节

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由于|x-y|m 所 以 事 件 x a =195-180=15, 是 不 可 能 事 件 , 由 于 事 件 P(F)=0. E和 事 件 F是 互 斥 事 件 ,

F={|x-y> |1 5 }

7 所 以 P(E∪F)=P(E)+P(F)=15.

第十章

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茎叶图
( 2 0 1 3 · 药(分 别 称 为 新课标Ⅰ ) 为 了 比 较 两 种 治 疗 失 眠 症 的 2 0 位 患 者 服 用 A

A药 , B 药)的 疗 效 , 随 机 地 选 取

药,2 0 位 患 者 服 用

B药 , 这 4 0 位 患 者 在 服 用 一 段 时 间 后 , 记 (单 位 : h ). 试 验 的 观 测 结 果 如

录 他 们 日 平 均 增 加 的 睡 眠 时 间 下 :

第十章

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服 用 A药 的 20 位 患 者 日 平 均 增 加 的 睡 眠 时 间 : 0.6 2.5 1.2 2.6 2.7 1.2 1.5 2.7 2.8 1.5 1.8 2.9 2.2 3.0 2.3 3.1 3.2 2.3 3.5 2.4

服 用 B药 的 20 位 患 者 日 平 均 增 加 的 睡 眠 时 间 : 3.2 1.6 1.7 0.5 1.9 1.8 0.8 0.6 0.9 2.1 2.4 1.1 1.2 2.5 2.6 1.2 1.3 2.7 1.4 0.5

第十章

第二节

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( 1 ) 分 别 计 算 两 组 数 据 的 平 均 数 , 从 计 算 结 果 看 , 哪 种 药 的 疗 效 更 好 ? ( 2 ) 根 据 两 组 数 据 完 成 下 面 茎 叶 图 , 从 茎 叶 图 看 , 哪 种 药 的 疗 效 更 好 ?

第十章

第二节

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[分 析]

( 1 ) 按 平 均 数 公 式 计 算 , 平 均 数 大 的 疗 效 好 ;

( 2 ) 按 茎 叶 图 的 制 作 要 求 填 表 , 观 察 叶 的 分 布 特 征 下 结 论 .

第十章

第二节

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[解 析] 的 平 均 数 为

( 1 ) 设A药 观 测 数 据 的 平 均 数 为 - y.

- x, B药 观 测 数 据

由 观 测 结 果 可 得 1 - x= ( 0 6 . + 1.2 + 1.2 + 1 5 . + 1.5 + 1.8 + 2 2 . + 2.3 + 2.3 + 20 2.4 + 2.5 + 2.6 + 2.7 + 2 7 . + 2.8 + 2.9 + 3.0 + 3 1 . + 3.2 + 3 5 .) = 2.3.

第十章

第二节

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1 - y= ( 0 5 . + 0.5 + 0.6 + 0 8 . + 0.9 + 1.1 + 1 2 . + 1.2 + 1.3 + 20 1.4 + 1.6 + 1.7 + 1.8 + 1 9 . + 2.1 + 2.4 + 2.5 + 2 6 . + 2.7 + 3 2 .) 1.6. 由 以 上 计 算 结 果 可 得 好 . - x >- y, 因 此 可 看 出 A 药 的 疗 效 更 =

第十章

第二节

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( 2 ) 由 观 测 结 果 可 绘 制 如 下 茎 叶 图 :

7 从以上茎叶图可看出,A 药疗效的试验结果有 的叶集 10 中 在 茎 2,3 上 , 而 B药 疗 效 的 试 验 结 果 有 上 , 由 此 可 看 出 A药 的 疗 效 更 好 .
第十章 第二节

7 叶 集 中 在 茎 10的

0,1

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[ 方法规律总结 ] 法 .

1. 用 茎 叶 图 求 平 均 数 可 用 加 权 平 均 方

2. 若 茎 叶 图 中 数 据 是 按 数 的 大 小 顺 序 排 列 编 制 的 , 找 中 位 数 可 直 接 将 两 头 去 掉 相 等 数 目 的 数 据 找 , 也 可 从 小 到 大 数 出 . 3. 在 茎 叶 图 中 , 哪 条 茎 上 的 叶 多 反 映 数 据 集 中 在 这 条 茎 附 近 , 用 茎 叶 图 较 易 看 出 数 据 的 集 中 程 度 .

第十章

第二节

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(文) ( 2 0 1 2 ·

陕 西 文 , 3 )对 某 商 店 一 个 月 内 每 天 的 顾 客 人 数 (如图所示), 则 该 样 本 的 中 位 )

进 行 了 统 计 , 得 到 样 本 的 茎 叶 图 数、众数、极差分别是(

第十章

第二节

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A 4 .6 4 ,5 5 ,6 C.47,45,56
[答案]
[解析]

B.46,45,53 D.45,47,53

A
本 题 考 查 了 茎 叶 图 的 应 用 及 其 样 本 的 中 位 数 、 众 46, 众 数 为

数 、 极 差 等 数 字 特 征 , 由 茎 叶 图 可 知 , 中 位 数 为 45, 极 差 为

68-12=5 6 . 在 求 一 组 数 据 的 中 位 数 时 , 一 定 不 要

忘记先将这些数据排序再判断.

第十章

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(理)某 航 空 公 司 进 行 空 乘 人 员 的 招 聘 , 记 录 了 前 来 应 聘 的 6名 男 生 和 9名 女 生 的 身 高 , 数 据 用 茎 叶 图 表 示 如 下 [ 1 7 4 1 ,8 2 ] . (单 位 : , 女 性 身 高 在 区

cm). 应 聘 者 获 知 : 男 性 身 高 在 区 间 间[ 1 6 4 1 ,7 2 ] 的 才 能 进 入 招 聘 的 下 一 环 节

第十章

第二节

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( 1 ) 求6名 男 生 的 平 均 身 高 和

9名 女 生 身 高 的 中 位 数 ; 2人 , 记 X为 抽

( 2 ) 现 从 能 进 入 下 一 环 节 的 应 聘 者 中 抽 取 到 的 男 生 人 数 , 求 X的 分 布 列 及 期 望 .

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[ 解析]

( 1 ) 6

名 男 性 应 征 者 的 平 均 身 高 是

1 ( 1 7 8 + 173 + 6 数

176+180+1 8 6 +193)=1 8 1 c m 9 , 是1 6 8 c m . ( 2 ) 能 进 入 下 一 环 节 的 男 生 值 是 0,1,2.

名 女 性 应 征 者 身 高 的 中 位

3人 , 女 生

4人 .X的 可 能 取

第十章

第二节

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2 1 1 C4 2 C4 C3 4 C2 1 3 则 P(X=0)= 2= ; P(X=1)= 2 = ; P(X=2)= 2= . C7 7 C7 7 C7 7

∴X 的分布列为: X P 0 2 7 1 4 7 2 1 7

2 4 1 6 E(X)=0×7+1×7+2×7=7.

第十章

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样本平均数与样本方差
( 文 ) 某校甲、乙两个班级各有 1 2 ,3 ,4 ,5 , 下 表 : 学 生 甲 班 乙 班 1号 2号 3号 4号 5号 6 6 7 7 7 6 8 7 7 9 s2=_ _ _ _ _ _ _ _ . 的 学 生 进 行 投 篮 练 习 , 每 人 投 5 名编号为

1 0 次 , 投 中 的 次 数 如

则 以 上 两 组 数 据 的 方 差 中 较 小 的 一 个 为

2 [答案] 5
第十章 第二节

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[分 析]

所 给 数 据 都 是 一 位 数 , 且 比 较 集 中 , 因 此 使 用 方 1n s = ? (xi-- x )2 计 算 更 ni=1
2

差 的 两 个 计 算 公 式 都 可 以 , 但 用 公 式 简 便 .

第十章

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[解 析] - x 甲=7, 1 2 2 2 2 2 2 s甲=5(1 +0 +0 +1 +0 )=5,
2

- x 乙=7, 1 2 6 2 2 2 2 s乙= (1 +0 +1 +0 +2 )= , 5 5
2

∴s甲<s乙,∴方 差 中 较 小 的 一 个 为

2

2

2 s甲,∴s =5.
2 2

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[解 法 探 究 ] 如 果 注 意 观 察 两 组 数 据 可 以 发 现 , 前 两 个 数 据 相 同 , 后 三 个 数 据 , 甲 班 更 接 近 , 故 方 差 较 小 , 可 不 必 计 算 乙 班 的 方 差 .

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(理) ( 2 0 1 2 ·

北京文,17)近 年 来 , 某 市 为 了 促 进 生 活 垃 圾 的

分 类 处 理 , 将 生 活 垃 圾 分 为 厨 余 垃 圾 、 可 回 收 物 和 其 他 垃 圾 三 类 , 并 分 别 设 置 了 相 应 的 垃 圾 箱 , 为 调 查 居 民 生 活 垃 圾 分 类 投 放 情 况 , 现 随 机 抽 取 了 该 市 三 类 垃 圾 箱 中 总 计 垃圾,数据统计如下(单位:t):
“厨 余 垃 圾 ”箱 “可 回 收 物 ”箱 “其 他 垃 圾 ”箱

1000t 生活

厨余垃圾 可回收物 其他垃圾

400 30 20

100 240 20

100 30 60
第十章 第二节

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( 1 ) 试 估 计 厨 余 垃 圾 投 放 正 确 的 概 率 ; ( 2 ) 试 估 计 生 活 垃 圾 投 放 错 误 的 概 率 ; ( 3 ) 假 设 厨 余 垃 圾 在 “厨余垃圾”箱、“可 回 收 物 ”箱、 a、b、c 其 中 a>0,a+b+c a、b、c 的 值 (结

“其 他 垃 圾 ”箱 的 投 放 量 分 别 为

=600.当 数 据 a、b、c 的 方 差 s2 最 大 时 , 写 出 论 不 要 求 证 明
2

), 并 求 此 时

s2 的 值 .

1 (注 : s = [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2], 其 中 x为 n 数 据 x1,x2,?,xn 的 平 均 数 )
第十章 第二节

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[ 分析 ]

( 1 ) 厨 余 垃 圾 投 放 正 确 的 概 率 约 等 于

“厨余垃

圾”箱 里 的 厨 余 垃 圾 量 除 以 厨 余 垃 圾 总 量 . ( 2 ) 先 求 三 类 垃 圾 分 别 投 放 正 确 的 概 率 , 再 利 用 对 立 事 件 求 解 . 1 1 ( 3 ) 先求出平均值 x = (a+b+c)= ×600=200, 再 依 据 3 3 方 差 的 意 义 (方 差 越 大 , 数 据 越 分 散 ). )得 a=600,b=c=0 时 满

足 条 件 (此 时 离 散 程 度 最 大

第十章

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[解 析]

( 1 ) 厨 余 垃 圾 投 放 正 确 的 概 率 为

“厨 余 垃 圾 ”箱 里 厨 余 垃 圾 量 厨 余 垃 圾 总 量 400 2 = = . 400+100+100 3 ( 2 ) 设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 A 表示生活垃 圾 投 放 正 确 .

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事件 A 的概率为“厨 余 垃 圾 ”箱里厨余垃圾量、“可回 收物”箱 里 可 回 收 物 量 与 和 除 以 生 活 垃 圾 总 量 , 即 “其他垃圾”箱 里 其 他 垃 圾 量 的 总 400+240+60 P( A )≈ =0.7. 1000

所 以 P(A)≈1-0.7=0 3 ..

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( 3 ) 当 a=600,b=c=0 时 , s2 取 得 最 大 值 . 1 因 为 x =3(a+b+c)=200, 1 所 以 s= [ ( 6 0 0 3
2

-200)2+(0-200)2+(0-200)2]=80000.

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[方 法 规 律 总 结

]

注 意样 本 方 差 的 两 个 计 算 公 式

1n s =n ? i=1
2

n 1 2 - (xi-- x ) 和 s = ?x2 - x 各 自 的 适 用 条 件 , 灵 活 选 用 公 式 以 ni=1 i 2 2

减 少 计 算 量 .

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(文) ( 2 0 1 2 ·

广 东 )由 正 整 数 组 成 的 一 组 数 据 2, 且 标 准 差 等 于 )

x1,x2,x3,x4, 1, 则 这 组 数 据 为

其 平 均 数 和 中 位 数 都 是 ________.(从 小 到 大 排 列

[答案]

1,1,3,3

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[解 析]

设 x1≤x2≤x3≤x4, 根 据 已 知 条 件 得 到

x1+x2+x3

+ x4 = 8 , 且 x2 + x3 = 4 , 所 以 x1 + x4 = 4 , 又 因 为 1 [?x1-2?2+?x2-2?2+?x3-2?2+?x4-2?2] =1,所以(x1-2)2 4 +(x2-2)2=2, 又 因 为 x1,x2,x3,x4 是 正 整 数 , 所 以 (x1-2)2

=(x2-2)2=1, 所 以 x1=1,x2=1,x3=3,x4=3.

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(理) ( 2 0 1 3 · 假 期 中 去 图 书 馆 图 书 馆

济 南 模 拟 )以 下 茎 叶 图 记 录 了 甲 组 A学 习 的 次 数 和 乙 组

3名 同 学 寒 假

4名 同 学 寒 假 假 期 中 去

B 学 习 的 次 数 . 乙 组 记 录 中 有 一 个 数 据 模 糊 , 无 法 确 x表 示 .

认 , 在 图 中 以

( 1 ) 如 果 x=7, 求 乙 组 同 学 去 图 书 馆 学 习 次 数 的 平 均 数 和 方 差 ;

第十章

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( 2 ) 如 果 x=9, 从 学 习 次 数 大 于

8的 学 生 中 选 两 名 同 学 ,

求 选 出 的 两 名 同 学 恰 好 分 别 在 两 个 图 书 馆 学 习 且 学 习 的 次 数 和 大 于 20 的 概 率 .

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[解 析] 馆 学 习 次 数 是

( 1 ) 当 x=7 时 , 由 茎 叶 图 可 知 , 乙 组 同 学 去 图 书 7,8,9,12, 7+8+9+12 - x= =9, 4

所 以 平 均 数 为
2

1 7 2 2 2 2 方 差 为 s =4[ ( 7 -9) +(8-9) +(9-9) +( 1 2 -9) ]=2.

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( 2 ) 记甲组 3 名同学为 A1,A2,A3,他们去图书馆学习次数 依次为 9,12,11;乙组 4 名同学为 B1,B2,B3,B4,他们去图书 馆学习次数依次为 9,8,9,12.从学习次数大于 8 的学生中选两名 学生,所有可能的结果有 15 个,它们是 A1A2,A1A3,A1B1, A1B3,A1B4,A2A3,A2B1,A2B3,A2B4,A3B1,A3B3,A3B4,B1B3, B1B4,B3B4.

第十章

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用C表 示 “选 出 的 两 名 同 学 恰 好 在 两 个 图 书 馆 学 习 且 学 习 的 次 数 和 大 于 20”这 一 事 件 , 则 C中 的 结 果 有 5个 , 它 们

是 A1B4,A2B4,A2B3,A2B1,A3B4, 故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的 次 数 和 大 于 5 1 20 概 率 为 P(C)= = . 15 3

第十章

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破 解 难 点 用样本估计总体
有甲、乙两种产品,在连续 6 年中各年的平均 售价如下(单位:元/件): 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 第六年 甲 乙 6 7 .5 6 6 .8 6 9 . 6 6 .8 6 7 .5 7 2 . 6 3 .8 7 1 .3 . 6 8 .5 6 3 .9 6 9 . 6 4 .5

则售价较为稳定的产品为_ _ _ _ _ _ _ _
[答案] 甲

第十章

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[分 析]

售 价 稳 定 即 方 差 较 小 , 故 先 计 算 甲 、 乙 的 平 均 数 、

方 差 , 再 通 过 比 较 方 差 的 大 小 下 结 论 . [解 析] s 甲= 1 [?6.75-6.755?2+?6.9-6.755?2+?+?6.9-6.755?2] 6 ≈0.179. 1 x 乙= ( 6 6 .8 6 +6.68+?+6.45)=6.755.
第十章 第二节

1 x 甲=6( 6 7 . 5+6.9+?+6.9)=6.755.

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s 乙= 1 2 2 2 [ ? 6.68 - 6.755 ? + ? 6.68 - 6.755 ? + ? + ? 6.45 - 6.755 ? ] 6 ≈0.310. ∵ x 甲= x 乙,∴两 种 产 品 的 平 均 售 价 相 同 .

而 s 甲<s 乙, 因 此 可 以 作 出 估 计 , 甲 种 产 品 的 售 价 比 较 稳 定 .

第十章

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(文) ( 2 0 1 3 ·

宁 夏 育 才 中 学 一 模

)有 A、B、C、D、E 五位工

人参加技能竞赛培训.现分别从 A、B 两人在培训期间参加的 若干次预赛成绩中随机抽取 8 次.用茎叶图表示这两组数据 如下:

第十章

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( 1 ) 现 要 从 A、 B中 选 派 一 人 参 加 技 能 竞 赛 , 从 平 均 状 况 和 方 差 的 角 度 考 虑 , 你 认 为 派 哪 位 工 人 参 加 合 适 ? 请 说 明 理 由 ; ( 2 ) 若 从 参 加 培 训 的 5位 工 人 中 选 2人 参 加 技 能 竞 赛 , 求 A、

B两 人 中 至 少 有 一 人 参 加 技 能 竞 赛 的 概 率 .

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[解 析]

( 1 ) 派B参 加 比 较 合 适 . 理 由 如 下 :

1 - x B=8×( 7 8 +79+81+82+84+88+93+95)=85, 1 - x A= ×( 7 5 +80+80+83+85+90+92+95)=85, 8 1 2 S B = ×[ ( 7 8 8 - 85)2 + ( 7 9 - 85)2 + ( 8 1 - 85)2 + ( 8 2 - 85)2 +

( 8 4 -85)2+( 8 8 -85)2+( 9 3 -85)2+( 9 5 -85)2]=35.5,

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1 2 S A = ×[ ( 7 5 8

- 85)2 + ( 8 0 - 85)2 + ( 8 0 - 85)2 + ( 8 3 - 85)2 +

( 8 5 -85)2+( 9 0 -85)2+( 9 2 -85)2+( 9 5 -85)2]=41.
2 ∵- x A=- x B,S2 < S 成 绩 较 稳 定 , 派 B A,∴B 的

B参 加 比 较

合 适 .

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( 2 ) 任派两个有(A,B), (A,C), (A,D),(A,E), (B, C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)共 10 种 情 况 ; A、B 两 人 都 不 参 加 有 (C,D),(C,E),(D,E)3 种 情 况 . ”为 事 件 M,

设“A,B 两 人 中 至 少 有 一 人 参 加 技 能 竞 赛 3 7 则 P(M)=1- = , 10 10 故 A,B 两 人 至 少 有 一 人 参 加 技 能 竞 赛 的 概 率 为

7 10.

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(理)汽 车 是 碳 排 放 量 比 较 大 的 行 业 之 一 , 欧 盟 规 定 , 从 2012 年开始,将对 CO2 排放量超过 130g k /m 的 M1 型新车进

行惩罚(视为排放量超标),某检测单位对甲、乙两类 M1 型车 抽取 5 辆进行 CO2 排 放 量 检 测 , 记 录 如 下 甲 乙 80 100 1 1 0 120 120 x 140 y (单位:g k /m ) 150 160 - x 乙=120 :

经测算发现,乙品牌车 CO2 排 放 量 的 平 均 值 为 g k /m .

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( 1 ) 从 被 检 测 的

5辆 甲 类 品 牌 中 任 取

2辆 , 则 至 少 有 一 辆

CO2 排 放 量 超 标 的 概 率 是 多 少 ? ( 2 ) 若 90<x< 1 3 0 , 试 比 较 甲 、 乙 两 类 品 牌 车 稳 定 性 . CO2 排 放 量 的

第十章

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[解析]

( 1 ) 从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆 , 共 有

1 0 种不同的 CO2 排 放 量 结 果 : ( 8 0 1 ,1 0 ) ( 1 1 0 1 ,5 0 ) ; ( 8 0 1 ,2 0 ) ;( 1 2 0 1 ,4 0 ) ; ( 8 0 1 ,4 0 ) ;( 1 2 0 1 ,5 0 ) ; ( 8 0 1 ,5 0 ) ;( 1 4 0 1 ,5 0 ) ; ( 1 1 0 1 ,2 0 ) . ; ( 1 1 0 1 ,4 0 ) ;

设“至少有一辆不符合 CO2 排放量”为 事 件 A,则 A 包 含以下 7 种结果, ( 8 0 1 ,4 0 ) ( 1 2 0 1 ,5 0 ) ;( 8 0 1 ,5 0 ) ;( 1 4 0 1 ,5 0 ) 7 ∴P(A)=1 7 .. 0 =0
第十章 第二节

;( 1 1 0 1 ,4 0 ) .

;( 1 1 0 1 ,5 0 )

;( 1 2 0 1 ,4 0 )



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( 2 ) 由 题 可 知 ,

- x 甲=- x 乙=120,∴x+y=220, - 120)2 + ( 1 2 0 - 120)2 + ( 1 4 0 -

5S 2 8 0 - 120)2 + ( 1 1 0 甲=( 120)2+( 1 5 0 -120)2=3 0 0 0 .

5S2 1 0 0 -120)2+( 1 2 0 -120)2+(x-120)2+(y-120)2+ 乙=( ( 1 6 0 -120)2=2000+(x-120)2+(y-120)2.
2 ∵x+y=220,∴5S2 0 0 ) 乙=2000+(x-120) +(x-1 2



第十章

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令 x-120=t,∵90<x< 1 3 0 ,∴-30<t< 1 0 ,
2 ∴5S2 0 ) 2, 乙=2000+t +(t+2 2 2 ∴5S2 0 0 =2(t+3 0 ) ( t-1 0 ) < 0 . 乙-5S甲=2t +40t-6 2 ∵- x 甲=- x 乙=120,S2 乙<S甲,

∴乙 类 品 牌 车 碳 排 放 量 的 稳 定 性 好 .

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规范答题样板

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(文) ( 2 0 1 3 · 一 个 销 售 季 度 内 , 每 售 出 产 品 , 每

新 课 标 Ⅱ)经 销 商 经 销 某 种 农 产 品 , 在 1t 该 产 品 获 利 润 500 元 , 未 售 出 的

1t 亏 损 300 元 . 根 据 历 史 资 料 , 得 到 销 售 季 度 内 市

场 需 求 量 的 频 率 分 布 直 方 图 , 如 图 所 示 . 经 销 商 为 下 一 个 销 售 季 度 购 进 了 130t 该 农 产 品 . 以 X(单 位 : 1 , t0 0 ≤X≤150)表

示下一个销售季度内的市场需求量,T(单 位 : 元 )表示下一个 销 售 季 度 内 经 销 该 农 产 品 的 利 润 .

第十章

第二节

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( 1 ) 将T表 示 为 X的 函 数 ; ( 2 ) 根 据 直 方 图 估 计 利 润 T不 少 于 57000 元 的 概 率 .

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[审 题 要 点 ]

( 1 ) 由 于 市 场 需 求 量

X∈[ 1 0 0 1 ,5 0 ]

, 购 进 130t,

故 利 润 T应 分 段 表 示 . ( 2 ) 由 利 润 函 数 取 值 范 围 T=f(X)可 得 出 利 润 不 少 于 57000 元 的 X的

A, 由 直 方 图 可 求

X∈A 时 的 频 率 , 把 频 率 作 为 概 率

的 近 似 值 可 获 解 .

第十章

第二节

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[规 范 解 答 ] 第 一 步 , 分 段 求 出 利 润 函 数 . ( 1 ) 当 X=[ 1 0 0 1 ,3 0 ) T=500X-3 0 0 ( 1 3 0 当 X∈[ 1 3 0 1 ,5 0 ] 时 , -X)=800X+39 000. 时 ,

T=500×130=65 000. 所 以
? 1 3 0 ?800X-39 000,100≤X< T=? ? ?65000,130≤X≤150.



第 二 步 , 求

T≥57000 时 X 的 取 值 范 围 .

第十章

第二节

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( 2 ) ∵当 100≤X< 1 3 0

时,T=800X-39000.

由 T≥57000 得 X≥120. 当 130≤X≤150 时 , T =6 5 0 0 0 > 5 7 0 0 0 ∴120≤X≤150 时 , 利 润 不 少 于 第 三 步 , 求 概 率 . 由 直 方 图 知 , 需 求 量 +0.015)×10=0.7. 将频率作为概率的近似值可知,下一个销售季度内的利 润T不 少 于 57000 元 的 概 率 估 计 值 为 0.7.
第十章 第二节

, 57000 元 .

X∈[ 1 2 0 1 ,5 0 ]

的 频 率 为 ( 0 0 .3 0

+0.025

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(理) ( 2 0 1 3 ·

忻 州 一 中 期 中

)某 食 品 厂 为 了 检 查 一 条 自 动 包

装流水线的生产情况, 随机抽取该流水线上的 40 件产品作为 样 本 , 称 出 它 们 的 重 量 ( 4 9 5 5 ,0 0 ] , ?, ( 5 1 0 5 ,1 5 ] (单位: g), 重 量 的 分 组 区 间 为 , 由 此 得 到 样 本 的 频 率 分 布 直 方 图 内的产品有 8 件. ( 4 9 0 4 ,9 5 ] , (如

图),若重量在( 4 9 5 5 ,0 0 ]

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( 1 ) 求 图 中 x,y 的 值 (用 小 数 表 示 ( 2 ) 从 这 40 件 产 品 中 任 取 的 产 品 数 量 , 求

); 505g

2件 , 用 X表 示 重 量 超 过

X的 分 布 列 及 期 望 .

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[审 题 要 点 ] 矩 形 面 积 的 和 为

频 数 频 率 ( 1 ) 由 频 率 = = ×组 距 , 及 各 小 样 本 容 量 组 距 1, 可 求 x、y 的 值 . 505g 的 产 品 件 数 ,

( 2 ) 由 频 率 分 布 直 方 图 可 求 出 重 量 超 过 从 40 件 产 品 中 任 取

2件 , 则 X服 从 超 几 何 分 布 .

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[规 范 解 答 ] 第 一 步 , 求 8 ( 1 ) x= =0.04, 40×5 ∵( 0 0 .1

x、y 的 值 .

+0.03+0.04+0.05+y)×5=1,∴y=0 0 .7 . 40 件 产 品 中 重 量 超 过 505g 的 件 数 .

第 二 步 , 求

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( 2 ) 重 量 超 过 =12 件 , 重 量 未 超 过 第 三 步 , 求

505g 的 产 品 数 量 为 505g 的 产 品 数 量 为

40×( 0 0 .5

×5+0.01×5)

28 件 .

X的 分 布 列 和 期 望 . 0,1,2.

X的 所 有 可 能 取 值 为

2 1 2 C28 63 C1 C 56 C 12 28 12 P(X=0)= 2 = , P(X=1)= 2 = , P(X=2)= 2 C40 130 C40 130 C40

11 =130,

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所以 X 的分布列为 X P 0 63 130 1 56 130 2 11 130

63 56 随机变量 X 的数学期望为 E(X) = 0× 130 + 1× 130 + 11 39 2× = . 130 65

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[答题模板创建]

概 率 与 统 计 综 合 题 答 题 步 骤 :

1.统计图表、抽样方法与概率的综合问题 第一步:理解题意,分清条件与结论,识读图表,由图 表提供的信息找出关键量; 第二步:图表中有未知量的先求出来; 第三步:处理抽样问题; 第四步:解答概率问题; 第五步:反思检查.

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2. 统 计 图 表 、 统 计 案 例 与 概 率 的 综 合 问 题 第 一 步 : 审 题 , 由 图 表 提 供 的 信 息 找 出 关 键 量 ; 第 二 步 : 求 解 统 计 案 例 问 题 ; 第 三 步 : 求 解 概 率 问 题 ; 第 四 步 : 查 看 易 错 点 , 检 查 解 题 过 程 是 否 规 范 .

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