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高三数学周考


高三数学周考试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知命题 p : ?x ? R, cos x ? 1,则( A. ?p : ?x ? R, cos x ? 1 C. ?p : ?x ? R, cos x ? 1 ) B. ?p : ?x ? R, cos x ? 1

D. ?p : ?x ? R, cos x ? 1

2 . 已 知 O 是 △ ABC 所 在 平 面 内 一 点 , D 为 BC 边 中 点 , AO ? OD 且

?OA ? OB ? OC ? 0 ,则实数 ? ? (
A. 2 B. ?2

) C.
1 2

D. ?

“a ? M” “a ? N ” 3.设集合 M ? x 0 ? x ? 3 , N ? x 0 ? x ? 2 , 则 是 的 (

?

?

?

?

1 2



A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知各项均不为 0 的等差数列{an},满足 2a3-a2 7+2a11=0,数列{bn}是等比 数列,且 b7=a7,则 b6b8 等于( ). A.2 B.4 C.8 D.16 5. 若集合 A ? ? x sin x ? 0? B ? {x | sin 2 x ? 0} , 则图中阴影部分表示的集合为 ( A. {x | x ? 2k? , k ? z} B. {x | x ? 2k? ? C. { x | x ? k ? ? )

?
2

, k ? z}
A

B

?

2 k? , k ? z} D. {x | x ? 2

, k ? z}

6. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图像关于点 ( 则 ? 的最小值为( 1 A. 2 ) B. 2

, 0) 对称,且 f ( ) ? 1 , 12 3

?

?

C. 4

D. 6

7. 将函数 y ? cos 2 x 的图像向右平移

? 个单位长度后,再把图像上的点的横坐 4

1

标缩短到原来的

1 ,得到函数 g ( x) ? f ' ( x) ? sin 2 x 的图像,则可以是( 2 A. f ( x) ? ?2cos 2 x B. f ( x) ? 2cos 2 x C. f ( x) ? ? sin 2 x D. f ( x) ? sin 2 x



8 . 用 m a xa { b, 表 } 示 a, b 中 最 大 者 ,
h( x) ? max{ f (| x |), g (| x |)} ,则 h( x)min ? (

已 知 函 数 f ( x) ? 2?4 x , g ( x) ? x2 , ) C.
1 4

A. 2

B.

1 2

D.

1 16

x 1 9.已知函数 f ( x) ? ? (et ? e?t )dt ,则不等式 f (log a 2) ? f (log a ) ? 2 f (1) 的 0 2 解集为( ) 1 1 1 [2, ??) A.(0, ] B. C. [ , 2] D.(0, ] ? [2, ??) 2 2 2

10 . 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) 满 足 :
f ( x) 在区间 [?1,1] 内( ) ,则 2 f ( x )? x f' ( x) ? xf( x )

A.没有零点

B. 恰有一个零点

C. 至少一个零点

D.至多一个零点

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分 ,共 25 分) 11.设向量 a ? (?3, ?2), b ? ( x, ?4) ,且 a / /b ,则 x ? ______________. 12.为了测量河的宽度,在岸边选取 A,B 两点,观测对面点 C,测得
?CAB ? 45 , ?CBA ? 30 , AB ? 100m ,则河宽为_____________m.

13.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比 a+b 2 数列,则 的最小值是__________.

cd

14.已知函数 f ( x) ? xex ? x ? 2 在区间 [k , k ? 1] 上有解,则实数 k 的取值集 合是_________.
2 15.在数列{an}中,若 a2 n∈N*,p 为常数),则称{an} n-an+1=p(n≥1, 为“等方差数列”,下列是对“等方差数列”的判断: ①若{an} 是等方差数列,则{a2 n}是等差数列; n ②{(-1) }是等方差数列; ③若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k 为常数)也是等方差数列. 其中真命题的序号为__________(将所有真命题的序号填在横线上).

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤)
1 16.已知向量 a ? (sin x,1), b ? (cos x, ? ) . 2

(Ⅰ) 当 a ? b 时,求

a ?b

的值;

(Ⅱ)求函数 f ( x) ? a ? (b ? a) 的单调递减区间。

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 有两个极值点 ?1 和 的切线与直线 x ? 7 y ? 0 垂直. (Ⅰ)求 a, b, c, d 的值; (Ⅱ)设 t ? sin 2 x ? sin x ,试比较 f (t ) 与 f (?1) 的大小.
7 ,且 f ( x) 的图像在原点处 3

18.(13 分)已知数列{an}满足 a1=1,a2=-13,an+2-2an+1+an=2n-6. (1)设 bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式; (2)求当 n 为何值时,an 的值最小.

3

19.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 已知 a sin C ? 3c cos(B ? C) ? 0 . (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? b ? c ? 3 ,求 △ ABC 的面积 S 的最大值.

20.数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S2 n=an(Sn-1). ? ? ?1? (1)求证:数列? ?是等差数列;
?Sn? ? ?

(2)设 bn=log 2

Sn ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn≥6 的最小正整数 n. Sn+2

21.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x . 2

1 (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 在区间 [ , e ] 上最大值及最小值; e

(Ⅱ)若函数 f ( x) 有两个零点,求实数 a 的取值范围.

4

参考答案 一、选择题 CABDCBDCDB
二、11、 ?6 三、解答题 12、 50( 3 ?1) 13、4 14、 {?3,1} 15、①②③

16、 【答 案】 (Ⅰ)由已知得
2

a?b ? 0
2 2 2

| a ? b |? (a ? b) 2 ? a ? 2a ? b ? b ? a ? b
= sin 2 x ? 1 ? cos2 x ? (Ⅱ)?
?

1 3 ? 4 2
2

f ( x) ? a ? b ? a ? sin x cos x ?

1 ? sin 2 x ? 1 2

1 1 ? cos 2 x 3 2 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 2 2 4

所以函数 f ( x) 的周期是 ? . 17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c

? f (0) ? d ? 0 ? ' ?a ? 1 ? f (0) ? c ? ?7 ? ? ?b ? ?2 依题得: ?? 2b ? ?1 ? 7 ? ? 3 ? 3a ?c ? ?7 ?c ?d ? 0 7 ? ? ?? 3 ? 3a
(Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ' ( x) ? 3x2 ? 4x ? 7
7 7 ∴ f ( x) 在 (??, ?1), ( , ??) 上递增,在 ( ?1, ) 上递减, 3 3 7 ∴ 当 x ? ( ?1, ) 时, f ( x)max ? f (?1) 3 1 1 1 7 又 t ? sin 2 x ? sin x ? (sin ? ) 2 ? ? [? , 2] ? [?1, ] 2 4 4 3
∴ f (t ) ? f (?1) .

18.解:(1)由 an+2-2an+1+an=2n-6 得,(an+2-an+1)-(an+1-an)=2n-6, 即 bn+1-bn=2n-6.b1=a2-a1=-14.
5

当 n≥2 时,bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1)=-14+(2×1-6) n(n-1) +(2×2-6)+?+[2(n-1)-6]=-14+2× -6(n-1)=n2-7n-8. 2 经验证,当 n=1 时,上式也成立. ∴数列{bn}的通项公式为 bn=n2-7n-8. (2)由(1)可知,an+1-an=n2-7n-8=(n+1)(n-8). 当 n<8 时,an+1<an,即 a1>a2>a3>?>a8; 当 n=8 时,a9=a8; 当 n>8 时,an+1>an,即 a9<a10<a11<?. ∴当 n=8 或 n=9 时,an 的值最小. 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)
A ? B ? C ? ? ,∴ cos( B ? C ) ? ? cos A

a sin C ? 3c cos( B ? C) ? 0 ,∴ a sin C ? 3c cos A

由正弦定理得,

a 3 cos A

?

c a ? sin C sin A

? 从而 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 ,∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? . 3 ? (Ⅱ)∵ A ? ,由余弦定理得: a2 ? b2 ? c2 ? bc ① 3 又a?b?c ? 3 ②
由①②消 a 得: bc ? 2(b ? c) ? 3 ? 0

b ? c ? 2 bc ,∴ bc ? 4 bc ? 3 ? 0 ? bc ? 1或 bc ? 9 (舍去)
1 ? 3 当且仅当 b ? c 时, (bc)max ? 1 ,∴ Smax ? ?1? sin ? . 2 3 4
2 20.(1)证明:∵ Sn =an(Sn-1), 2 ∴ Sn =(Sn-Sn-1)(Sn-1)(n≥2).

1 1 ∴SnSn-1=Sn-1-Sn,即 - =1.

Sn Sn-1

∴?

?1? ? ? ?是以 ? ?Sn? ?

1 为首项,1 为公差的等差数列.

1 n+2 (2)解:由(1)知 Sn= ,∴bn=log2 .

n

n

3 4 5 6 n+2 (n+1)(n+2) ∴Tn=log2( × × × ×?× )=log2 ≥6. 1 2 3 4 n 2 ∴(n+1)(n+2)≥128. ∵n∈N*,∴n≥10.∴满足 Tn≥6 的最小正整数为 10. 21. (本小题满分 12 分) a 解: f ' ( x) ? x ? x
6

1 1 (Ⅰ)定义域为 [ , e ] ,当 a ? ?1 时, f ' ( x) ? x ? ? 0 ? x ? 1 e x 1 1 ∴ f ( x) 在 [ ,1] 上单调递减,在 [1, e] 上单调递增,∴ f ( x) min ? f (1) ? e 2

1 1 1 ?(e2 ? 2)2 ? 3 ?(22 ? 2)2 ? 3 f ( ) ? f (e) ? 2 ? 1 ? e2 ? 1 ? ? ?0 e 2e 2 2e2 2e2
∴ f ( x) max ? f (e) ?

1 2 e ?1 . 2

(Ⅱ)当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ,? f ( x) 在 (0, ??) 的单调递增 从而 f ( x) 不可能有两个零点. 当 a ? 0 时,令 f ' ( x) ? 0 ? x ? ?a ( x ? 0) 当 x ? (0, ?a ) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ?a ) 上单调递减, 当 x ? ( ?a , ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 ( ?a , ??) 上单调递增,
1 1 ∴ f ( x) min ? f ( ?a ) ? ? a ? a ln(?a) 2 2

?a ? 0 ? ∴ f ( x) 有两个零点的充要条件是 ? 1 ? a ? ?e 1 ? a ? a ln(?a) ? 0 ? ? 2 2
∴ 实数 a 的取值范围是 (??, ?e) .

7


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