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河南省开封市2010—2011学年度高三年级统考数学试题(文科)


学年度高三年级统考数学试题(文科) 河南省开封市 2010—2011 学年度高三年级统考数学试题(文科) — 参考公式: 样本数据

x1 , x 2 ,? , x n

的标准差;

s=

1 [( x1 ? x) 2 + ( x 2 ? x) 2 + ? ( x n ? x) 2 ],其中x n

为样本平均数;

柱体体积公式: V = Sh, 其中S为底面面积 、h 为高;

锥体体积公式:

V =

1 Sh, 其中S为底面面积, h 3 为高;

4 S = 4πR 2 , V = πR 3 , 3 球的表面积、体积公式: 其中 R 为球的半径.
第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知全集

U = {1, 2,3, 4, 5, 6}, 集合A = {1, 2,5}, CU B = {4,5, 6}, 则A ∩ B
B.{5} C.{1,2,3} D.{3,4,6}

= (



A.{1,2}

6i 3 2.已知 i 是虚数单位,则 1 ? i 等于
A. 3 + 3i B. 3 ? 3i C. ?3 + 3i





D. ?3 ? 3i )

2 2 3.已知命题 p : ?x ∈ R , x ≥ 0 ;和命题 q : ?x ∈ Q, x = 3, 则下列命题为真的是 (

A. p ∧ q

B. (?p )?q C. p?(?q ) D. (?p ) ∧ (?q ) ( )

3 4.已知 f ( x ) = ? x ? x, x ∈ [m, n], 且f ( m) ? f ( n) < 0, 则f ( x )在区间( m, n) 上

A.有三个零点

B.有两个零点

C.有一个零点

D.不能确定

5.已知函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0, ?π < ? < π ) 的部分图象如图所示,则函 数 f ( x ) 的解析式为 ( )

1 π f ( x) = 2 sin( x + ) 2 4 A. 1 3π f ( x) = 2sin( x + ) 2 4 B.
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1 π f ( x) = 2 sin( x ? ) 2 4 C. 1 3π f ( x) = 2sin( x ? ) 2 4 D.
6.如图所示,墙上挂有边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶

a 点为圆心,半径为 2 的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上每
个点的可能性都一样,则它击中阴影部分的概率是 ( )

1?
A.

π
8

π
B. 4

1?
C.

π
4

D.与 a 的值有关联

4 , 7.如图是一个算法的程序框图,若该程序输出的结果为 5
则判断框中应填入的条件是 A.T>4 B.T<4 C.T>3 D.T<3 8.设函数 f ( x )( x ∈ R ) 为奇函数, ( )

f (1) =

1 , 2
( )

f ( x + 2) = f ( x) + f (2), 则f (5) =
A.0 B.1

5 C. 2

D.5

9.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50°方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座 灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B、C 两点 间的距离是 ( ) A. 10 2 海里 B. 10 3 海里 C. 20 2 海里 D. 20 3 海里

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10.如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则在下列命题中,不一定成立的为 ( ) A.AC⊥BE B.AC//截面 PQMN C.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° D.AC=BD

? 2e x ?1 x<2 ? f ( x) = ? 2 ?log 3 ( x ? 1) x ≥ 2 ,则不等式 f ( x) > 2 的解集为 ( ? 11.设
A. (1, 2) ∪ (3, +∞) B. ( 10, +∞)



C. (1, 2) ∪ ( 10, +∞ ) D. (1,2) 12.在 ?ABC 中,| BC |= 2 | AB |, ∠ABC = 120° ,则以 A,B 为焦点且示点 C 的双曲线的 离心率为 ( )

7+2 6+2 3 2 A. B. C. 7 ? 2 D. 3 + 2
第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题。每个试题考生都必须做答。 第 22 题~第 23 题为选考题,考试根据要求做答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填写在答题卷指定位置) 13.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 .

14.某校为了解同三同学寒假期间学习情况,抽查了 100 名同学,统计他们每天平均学习时 间, 绘成频率分布直方图 (如图)则这 100 名同学中学习时间在 6 到 8 小时内的人数为 _____ , 人。

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15.与直线 x + y ? 2 = 0 和曲线 x + y ? 12 x ? 12 y + 54 = 0 都相切的半径最小的圆的标
2 2

准方程是



2 2 2 16.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,若 (a + c ? b ) tan B =

3ac ,则

角 B 的值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明。证明过程和演算步骤 17.本小题满分 12 分) ( 已知数列 的前三项依次为 3,7,13。求 (Ⅰ)数列 (Ⅱ)数列

{an }

为等差数列, 且

a1 = 1.{bn }

为等比数列, 数列

{an + bn }

{an },{bn } {an + bn }

的通项公式;

的前 n 项和

Sn .

18. (本小题满分 12 分)在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB=CC1=2, ∠ACB = 90° , E、F 分别是 BA、BC 的中点,G 是 AA1 上一点,且 (Ⅰ)确定点 G 的位置; (Ⅱ)求三棱锥 C1—EFG 的体积.

AC1 ⊥ EG.

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19. (本题满分 12 分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问 卷调查得到了如下的列联表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 10 50 不喜爱打篮球 5 合计

3 . 已右在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 5
(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (Ⅲ)已知喜爱打篮球的 10 位女生中,A1,A2,A3,A4,A5 还喜欢打羽毛球,B1, B2,B3 还喜欢打乒乓球,C1,C2 还喜欢踢足球,现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、 喜欢踢足球的女生中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率。 下面的临界值表供参考:

p( K 2 ≥ k )
P

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

K2 =
(参考公式:

n(ad ? bc) 2 , (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) 其中 n = a + b + c + d )

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E:
20. (本小题满分 12 分)如图所示,已知 A、B、C 是椭圆

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) a 2 b2 上三

点,其中点 A 的坐标为 (2 3, 0) ,BC 过椭圆的中心 O,且 AC ⊥ BC ,| BC |= 2 | AC | . (Ⅰ)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若椭圆 E 上存在两点 P,Q,使得 ∠PCQ 的平分线总垂直于 z 轴,试判断向量

PQ与 AB 是否共线,并给出证明.

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21. (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) =

1 3 x ? ax 2 + b 3 在 x = ?2 处有极值。

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在[-3,3]上有且仅有一个零点,求 b 的取值范围。

22. (本小题满分 10 分)选修 4 一 l:几何证明选讲 如图,已知 AP 是圆 O 的切线,P 为切点,AC 是圆 O 的割线,与圆 O 交于 B,C 两点, 圆心 O 在 ∠PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点. (Ⅰ)证明 A,P,O,M 四点共圆; (Ⅱ)求 ∠OAM + ∠APM 的大小。

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参考答案 一、选择题: 1—5:ABCCB 6—10:CBCAD 11—12:CA

二、填空题: 三、解答题:

13:6

2 2 14:30 15: ( x ? 2) + ( y ? 2) = 2

π 2π
16: 3

,

3

? a1 + b1 = 3 ? ? ∵ ? ? b1 = 2, d = 2, q = 2 a 2 + b2 = 7 ? a3 + b3 = 13? ? 17.解: (Ⅰ)设公差为 d,公比为 q
∴ n 2 = 2n ? 1, ba = 2 n
………………6 分

a1 = 1

1 + 2n ? 1 2(1 ? 2 2 ) S n = a1 + a 2 + ? + a n ) + (b1 + b2 + ? + bn ) = n+ 2 1? 2 (Ⅱ)
n 2 + 2 n +1 ? 2 ………………6 分
18.(Ⅰ)取 AC 的中点 D,连结 DE、DG,则 ED∥BC

∵ BC ⊥ AC ,∴ ED ⊥ AC

∴ 又 CC1 ⊥ 平面ABC, 而ED ? 平面ABC, CC1 ⊥ ED。 ∵ CC1 ∩ AC = C,∴ ED ⊥ 平面A1 ACC1 . ∴ ED ⊥ AC1 ∴ 又∵ AC1 ⊥ EG,ED ∩ EG = E ,∴ AG ⊥ 平面EDG, AC1 ⊥ DG.
连结 A1C ,∵ AC1 ⊥,∴ A1C ∥DG

∵ D 是 AC 的中点,∴ G是AA1 的中点。…………6 分
(Ⅱ)∵ A1C1 ∥EF, EF ? 平面EFG, A1C1 ? 平面 EFG

∴ A1C1 ∥平面 EFG
∴VC1? EFG = V A1? EFG
,G 是 AA1 的中点

∴V A1? EFG = V A? EFG , 而V A? EFG = VG ? EFA 1 1 1 ∴VC1? EFG = VG ? EFA = × × 1 × 1 × 1 = 3 2 6 ………………6 分

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19.解: (Ⅰ)列联表补充如下: 男生 女生 合计 喜爱打篮球 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50……3 分

(Ⅱ)

∵K2 =

50 × (20 × 15 ? 10 × 5) 2 ≈ 8.333 > 7.879 30 × 20 × 25 × 25

∴ 99.5% 的把握认为喜爱打篮球与性别有关。………………6 分
(Ⅱ)从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 名,其一切 可能的结果组成的基本事件如下:

( A1 , B1 , C1 ), ( A1 , B1 , C2 ), ( A1 , B2 , C1 ), ( A1 , B2 , C2 ), ( A1 , B3 , C1 ), ( A1 , B3 , C2 ) ( A2 , B1 , C1 ), ( A2 , B1 , C2 ), ( A2 , B2 , C1 ), ( A2 , B2 C2 ), ( A2 , B3 , C1 ) ( A3 , B3 , C2 ), ( A3 , B1 , C1 ), ( A3 , B1 , C2 ), ( A3 , B2 , C1 ) ( A3 , B3 , C2 ), ( A3 , B2 , C2 ), ( A3 , B2 , C1 ) ( A4 , B1 , C1 ), ( A4 , B3 , C2 ), ( A4 , B2 , C1 )
, , , , ,



( A4 , B2 , C2 ), ( A4 , B3 , C1 ), ( A4 , B3 , C2 ) ( A5 , B1 , C1 ), ( A5 , B1 , C2 ), ( A5 , B2 , C1 )

, ,

( A5 , B2 , C2 ), ( A5 , B3 , C1 ), ( A5 , B6 , C2 )
基本事件的总数为 30…………8 分 用 M 表示“

B1 , C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 M 表示“B1,C1 全被选中”
( A1 , B1 , C1 ), ( A2 , B1 , C1 ), ( A3 , B1 , C1 ), ( A4 , B1 , C1 ), ( A5 , B1 , C1 )
5 个基本

这一事件, 由于 M 由 事件组成,

所以

P( M ) =

5 1 = 30 6 …………10 分 P( M ) = 1 ? P( M ) = 1 ? 1 5 = 6 6 …………12 分

由对立事例年的概率公式得

20.解: (Ⅰ)∵|BC|=2|OC|,|BC|=2|AC| ∴|OC|=|AC| ∴△OCA 为等腰三角形
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由 A( 2 3 ,0)得C ( 3 ,? 2分, 3 )

a = 2 3 代入
椭圆方程得:b=2

x2 y2 + =1 4 ∴椭圆方程为 12

…………4 分

(Ⅱ)

A(2 3 ,0), B (? 3 ,? 3 ),∴ k Ab =

1 3

设 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ), PC方程为 : y ? 3 = k ( x ? 3 ) 则 CQ 方程为 y ? 3 = ?k ( x ? 3 ) ………………6 分

? y ? 3 = k ( x ? 3) ? 2 ?x y2 + =1 ? 4 由 ? 12
2 2 2 得 (`+3k ) x ? 6 3k ( k ? 1) x + 9k ? 18k ? 3 = 0 …………8 分



3 + x1 =

6 3k (k ? 1) 1 + 3k 2

解得

x1 =

3 3k 2 ? 6 3k ? 3 , 1 + 3k 2

? 3 3k 2 ? 2 3k + 3 y1 = 1 + 3k 2 所以
用-k 代 k 得:

…………10 分

x2 =

3 3k 2 + 6 3k ? 3 ? 3 3k 2 + 2 3k , y2 = 1 + 3k 2 1 + 3k 2

∴ k PQ =

y 2 ? y1 1 = = k AB x 2 ? x1 3
…………12 分

∴向量 PQ与 AB 共线

2 ′ 21.解: (Ⅰ) f ( x ) = x ? 2ax

′ 由题意知: f ( ?2) = 4 + 4a = 0, 得a = ?1 …………2 分
∴ f ′( x) = x 2 + 2 x
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′ 令 f ( x) > 0, 得x < ?2或x > 0 ′ 令 f ( x) < 0, 得-2<x<0
∴ f ( x) 的单调递增区间是 (?∞, ?2)和(0, +∞)
单调递减区间是(-2,0)…………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

f ( x) =

1 3 x + x2 + b 3

f (?2) =

4 +b 3 为函数极大值, f (0) = b 为极小值…………7 分

∵ 函数 f ( x) 在区间[-3,3]上有且公有一个零点,

? f (?3) ≤ 0 ? f (3) ≥ 0 ? f (?3) > 0 或? 或? ? ? f (0) > 0 ? f (?2) < 0 ? f (3) < 0
?18 + b ≥ 0 ?b ≤ 0 ? ?b > 0 或?4 或? ? ?b > 0 ? + b < 0 ?18 + b < 0 ?3 即 …………10 分 ∴ ?18 ≤ b < ? 4 4 [?18, ? ). 3 ,即 b 的取值范围是 3 …………12 分

22.解: (Ⅰ)证明:连结 OP,OM 因为 AP 与圆 O 相切,所以 OP⊥AP。 因为 M 是圆 O 的弦 BC 的中点,所以 OM⊥BC。 于是∠OPA+∠OMA=180° 由圆心 O 在∠PAC 的内部,可知四边形 APOM 的对角互补, 所以 A,P,O,M 四点共圆。 …………5 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A,P,O,M 四点共圆, 所以∠OAM=∠OPM。 由(Ⅰ)得 OP⊥AP。 由圆心 O 在∠PAC 的内部,可知∠OPM+∠APM=90° 所以∠OMA+∠APM=90° …………10 分

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