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导数的几何意义


导数概念的演练

1.已知质点按规律s=2t2+4t(距离单位:m,时间单 位:s)运动,求
(1)质点开始运动后3s内的平均速度; v1 ? 10 (2)质点在2s到3s内的平均速度;

v2 ? 14
V3=16

(3)质点在3s时的瞬时速度.
(4)你能解释质点的运动过程吗?

/>
质点以初速度v0=4,加速度为a=4的匀加速运动.

2。将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产 品,需要对原油进行冷却或加热。如果第xh时, 原油的温度(单位: 0C)为f(x)=x2-7x+15 (0≤x≤8),计算第2h和第6h时,原油温度的瞬时 变化率,并说明它们的意义。
解:原油的瞬时变化率就是f(x)在x0的导数,

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x
[( x0 ? ?x)2 ? 7( x0 ? ?x) ? 15] ? ( x0 2 ? 7 x0 ? 15) ? lim ?x?0 ?x 2 x0 ? ?x ? (?x) 2 ? 7?x ? lim ?x?0 ?x

=2x0-7 当x0=2时,f’(2)= 2×2-7=-3,说明原油温度在下降; 当x0=6时,f’(2)= 2×6-7=5,说明原油温度在升高。

3.1.3.导数的几何意义
已知函数y=f(x),f(x)在x=x0处的导数的几何意义是 什么? f(x)在x=x0处的导数的几何意义是函数f(x)的图象 在x=x0处的切线的斜率 已知函数f(x)=(x-1)2,求f ’(0), f ’(2), f ’(x),并求f(x)在
(0,1),(3,4)的切线方程;

已知函数f(x)=(x-1)2,求f ’(0), f ’(2), f ’(x),并求f(x)在
(0,1),(3,4)的切线方程; 2 2 ? f f (0 ? ? x ) ? f (0) ( ? x ? 1) ? (0 ? 1) =-2 ? lim ? lim f’(0)=lim ?x?0 ?x?0 ?x ?x ?x?0 ?x
同理:求出f ’(2)=2 f ’(x)=2x-2 根据导数的几何意义,f(x)在(0,1)的切线的斜率为-2, 所以切线方程为:y= - 2x+1 同理:求出f ’(3)=4,切线方程为:y=4x-8

求曲线y=2x-x3在(-1,-1)的切线方程;


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