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2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其参考答案


2015 年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其参考解答
(6 月 14 日上午 8 : 30 ? ?11: 30 )
一、填空题

1、 若三位数 n ? abc 是一个平方数, 并且其数字和 a ? b ? c 也是一个平方数, 则称 n 为
超级平方数,这种超级平方数的个数是 答案: 13 个. .

解:

可顺次列举出: 100,121,144,169,196, 225,324, 400, 441, 484,529,900,961 .

2 、函数 y ? 8x ? x 2 ? 14 x ? x 2 ? 48 的最大值是
答案: 2 3 . 解: y ?



x(8 ? x) ? ( x ? 6)(8 ? x) ? 8 ? x

?

x ? x?6 ?

?

6 8? x , x ? x?6

其定义域为 6 ? x ? 8 ,当 x ? 6 时,此分式的分子最大而分母最小,这时分式的值达最大, 其值为 2 3 .

3 、直线 l 过点 M (1, 2) ,若它被两平行线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 与 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 所截得的线
段长为 2 ,则直线 l 的方程为 答案: x ? 7 y ? 15 或者 7 x ? y ? 5 . .

解: 设 l 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) , 将此方程分别与 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 及 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 联 立,解得交点坐标 A ?
2

? 3k ? 7 ?5k ? 8 ? ? 3k ? 12 ?10k ? 8 ? , , ? 与 B? ? ,据 AB ? 2 , ? 3k ? 4 3k ? 4 ? ? 3k ? 4 3k ? 4 ?
2

25(k 2 ? 1) 1 ? 5 ? ? 5k ? ? 2 ,所以 k1 ? 7 , k2 ? ? ,分别代入 ? ? 2 得 ? ,即 ? ? ? 2 7 ? 3k ? 4 ? ? 3k ? 4 ? ? 3k ? 4 ?
所设方程,得到 x ? 7 y ? 15 或者 7 x ? y ? 5 .

4、

1 3 ? ? 0 sin10 cos100



答案: 4 .

1 3 cos100 ? sin100 1 3 sin 300 cos100 ? cos 300 sin100 2 2 ? ? 4 ? ? 4 解: sin100 cos100 2sin100 cos100 2sin100 cos100

? 4?

sin 200 ? 4. sin 200


5 、满足 1 ? x2 ? x 的实数 x 的取值范围是
答案: ? ?1,

? ?

2? ?. 2 ?

解: 用图像法: 令 y ? 1 ? x2 , 此为单位圆的上半圆, 它与直线 y ? x 交点 ? 半圆位于交点左侧的图像皆在直线 y ? x 上方;或者三角函数代换法:

? 1 1 ? , ?, ? 2 2?

因 ?1 ? x ? 1 ,令 x ? cos? , 0 ? ? ? ? ,则 y ? sin ? ,由条件式 1 ? x2 ? x ,平方得

2 x 2 ? 1 ,则 x ?

? 2? 1 ,又有 x ? cos ? ? ?1 ,因此 x ? ? ?1, ?. 2 2 ? ?

6 、若实数 x, y, z ? 0 ,且 x ? y ? z ? 30,3x ? y ? z ? 50 ,则 T ? 5x ? 4y ? 2z 的取值
范围是 [

].

答案: ?120,130? . 解: T ? 5x ? 4 y ? 2z ? ? x ? y ? z ? ? ? 4x ? 3y ? z ? ? 30 ? ? 4x ? 3y ? z ? 因 4x ? 2 y ? ? x ? y ? z ? ? ?3x ? y ? z ? ? 80 ,所以 T ? 110 ? ( y ? z ) ,

20 ? (3x ? y ? z ) ? ( x ? y ? z ) ? 2( x ? z ) ,则 x ? z ? 10 ,因 x , z 非负,于是 x ? 10 ,
从而由 x ? y ? z ? 30 知, y ? z ? 20 ,得到 T ? 110 ? ( y ? z ) ? 130 , (当 z ? 0, x ? 10, y ? 20 时取得等号) 再由 4 x ? 2 y ? 80 , y ? 0 ,则 x ? 20 ,所以 y ? z ? 30 ? x ? 10 ,于是

T ? 110 ? ( y ? z ) ? 120 , (当 x ? 20, y ? 0, z ? 10 时取得等号) ,所以 120 ? T ? 130 .
7 、在前一万个正整数构成的集合 ?1,2,
被 7 除余 4 的元素个数是 .

,10000? 中,被 3 除余 2 ,并且被 5 除余 3 ,

答案: 95 个. 解:对于每个满足条件的数 n ,数 2 n 应当被 3, 5, 7 除皆余 1 ,且为偶数;因此, 2n ? 1 应当是 3, 5, 7 的公倍数,且为奇数;即 2n ? 1 是 105 的奇倍数,而当 n ??1,2,

,10000? 时,

2n ?1??1,2, ,19999? ,由于在 ?1,2, ,19999? 中,共有 190 个数是105 的倍数,其中的
奇倍数恰有 95 个.

8 、如图,正四面体 ABCD 的各棱长皆为 2 , A1 , B1 , C1 分别是棱 DA, DB, DC 的中点,
以 D 为圆心,1 为半径,分别在面 DAB, DBC 内作弧 A1 B1 , B1C1 ,并将两弧各分成五等分, 分点顺次为 A1 , P 1, Q 1 , Q2 , Q3 , Q4 , C1 , 1, P 2, P 3, P 4, B 1 以及 B 一只甲虫欲从点 P 1 出发,沿四面体表面爬行至点 Q4 ,则其 爬行的最短距离为 答案: 2sin 42 . 解:作两种展开,然后比较;
0



BC 由于 A1 B1 被 A1 , P 1, P 2, P 3, P 4, B 1 分成五段等弧,每段弧对应的中心角各为 12 , 1 1 被

0

B1 , Q1 , Q2 , Q3 , Q4 , C1 分成五段等弧,每段弧对应的中心角也各为 12 0 ,
若将 ?DBC 绕线段 DB 旋转,使之与 ?DAB 共面,这两段弧均重合于以 D 为圆心,半

PQ 径为 1 的圆周, 此时, 点P 1 4 对应的圆心角为 8 ?12 ? 96 , 1 , Q4 之间直线距离为 2sin 48 ,
0 0

0

若将 ?DAB 绕线段 DA 旋转, ?DBC 绕线段 DC 旋转,使之皆与 ?DAC 共面,在所 得图形中, PQ 1 4 对应的圆心角为 7 ?12 ? 84 ,此时,点 P 1 , Q4 之间直线距离为 2sin 42 ,
0 0

0

所以最短距离是 2sin 42 . 二、解答题
2 9 、正整数数列 ?an ? 满足: a1 ? 2, an?1 ? an ? an ? 1;证明:数列的任何两项皆互质.

0

证:改写条件为 an?1 ?1 ? an (an ?1) ,从而 an ?1 ? an?1 (an?1 ?1) ,等等,据此迭代得

an?1 ?1 ? an an?1 (an?1 ?1) ? an an?1an?2 (an?2 ?1) ?
所以, an ? an?1an?2

? an an?1

a1 (a1 ?1) ? an an?1

a1 ,

a1 ? 1 ,因此当 k ? n , (an , ak ) ? 1.

10 、 ( 25 分) H 为锐角三角形 ABC 的垂心,在线段 CH 上任取一点 E ,延长 CH 到
F ,使 HF ?CE ,作 FD ? BC , EG ? BH ,其中 D, G 为垂足, M 是线段 CF 的中点,

O1 , O2 分别为 ?ABG, ?BCH 的外接圆圆心, O1 ,
证明: ?1? 、 A, B, D, G 四点共圆;

O2 的另一交点为 N ;
A
F

? 2 ? 、 O1, O2 , M , N 四点共圆;
证: ?1? 、如图,设 EG

G H N M E

O1

DF ? K ,连 AH ,

B

D

C

则因 AC ? BH , EK ? BH , AH ? BC ,

O2

KF ? BC ,得 CA ∥ EK , AH ∥ KF ,且 CH ? EF ,所以 ?CAF ≌ ?EKF , AH 与 KF 平行且相等,故 AK ∥ HF ,

?KAB ? 900 ? ?KDB ? ?KGB ,因此,
K

A, B, D, G 四点共圆;

A

? 2 ? 、据 ?1? , BK 为

O1 的直径,作 O2 的直径

O1
F H

G N M E

BP ,连 CP, KP, HP, O1O2 ,则

?BCP ? ?BHP ? 900 ,所以 CP ∥ AH ,
HP ∥ AC ,故 AHPC 为平行四边形,进而得, PC 与 KF 平行且相等,因此对角线 KP 与 CF 互
相平分于 M ,从而 O1 , O2 , M 是 ?KBP 三边的中 点, KM ∥ O1O2 ,

B

D

C

O2 P

而由 ?KNB ? 90 , O1O2 ? BN ,得 KN ∥ O1O2 ,所以 M , N , K 共线,
0

因此 MN ∥ O1O2 ,又由 ?KBP 的中位线知 MO2 ? O1B ? O1N ,因此四边形 O1O2 MN 是等 腰梯形,其顶点共圆.

11 、对于任意给定的无理数 a, b 及实数 r ? 0 ,证明:圆周 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 上
2 2

至多只有两个有理点(纵横坐标皆是有理数的点) . 证:对于点 M ? a, b ? ,用 P ? M , r ? 表示上述圆周上有理点的个数;首先,我们可以作 一个合于条件的圆,其上至少有两个有理点,为此,取点 A? 0,0? , B ? 2, 2? ,线段 AB 中垂 线 l 的方程为: x ? y ? 2 ,今在 l 上取点 M 1 ? 2, 1 ? 2 ,再取 r ? MA ? 6 ,则以 M

?

?

为圆心、 r 为半径的圆周上至少有 A, B 这两个有理点; 其次说明,对于任何无理点 M 以及任意正实数 r , P ? M , r ? ? 2 ; 为此,假设有无理点 M ? a, b ? 及正实数 r ,在以 M 为圆心, r 为半径的圆周上,至少 有三个有理点 Ai ? xi , yi ? , xi , yi 为有理数, i ? 1, 2,3 ,则

? x1 ? a ?

2

? ? y1 ? b ? ? ? x2 ? a ? ? ? y2 ? b ? ? ? x3 ? a ? ? ? y3 ? b ?
2 2 2 2

2

……①

1 2 2 2 x1 ? y12 ? x2 ? y2 ? ? ……② 2 1 据后一等号得 ? x2 ? x3 ? a ? ? y2 ? y3 ? b ? ? x22 ? y22 ? x32 ? y32 ? ……③ 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 x1 ? y12 ? x2 ? y2 ? t1 , ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 记 ? ? ? ? t2 ,则 t1, t2 为有理数, 2 2
据前一等号得

? x1 ? x2 ? a ? ? y1 ? y2 ? b ?

若 x1 ? x2 ? 0 ,则由②, ? y1 ? y2 ? b ? t1 ,因 b 为无理数,得 y1 ? y2 ? 0 ,故 A1 , A2 共点, 矛盾!同理,若 x2 ? x3 ? 0 ,可得 A2 , A3 共点,矛盾! 若 x1 ? x2 ? 0, x2 ? x3 ? 0 ,由②、③消去 b 得,

? ?? x1 ? x2 ?? y2 ? y3 ? ? ? y1 ? y2 ?? x2 ? x3 ? ? ? a ? t1 ? y2 ? y3 ? ? t2 ? y1 ? y2 ? ? 有理数,因 a 为无
理数,故得, ? x1 ? x2 ?? y2 ? y3 ? ? ? y1 ? y2 ?? x2 ? x3 ? ? 0 ,所以

y1 ? y2 y3 ? y2 ,则 A1 , A2 , A3 共线,这与 A1 , A2 , A3 共圆矛盾! ? x1 ? x2 x3 ? x2
因此所设不真,即这种圆上至多有两个有理点.于是对于所有的无理点 M 及所有正实数 r ,

P ? M , r ? 的最大值为 2 .
12 、从集合 M ? ?1,2,

,36? 中删去 n 个数,使得剩下的元素中,任两个数之和都不

是 2015 的因数,求 n 的最小值. 答案: 17 . 解:因 2015 ? 5 ? 13? 31, M 中任两个元素之和不大于 71 ,由于 2015 不大于 71 的 正因数有 1,5,13,31, 65 ,在 M 的二元子集中,元素和为 5 的有 ?1,4? , ?2,3? ; 元素和为 13 的有 ?1,12? ,?2,11 ?,?3,10?,?4,9?,?5,8?,?6,7? ; 元素和为 31 的有 ?1,30? , ?2,29? , ?3,28?, ?4,27?, ?5,26?, ?6,25?, 元素和为 65 的有 ?29,36? ,?30,35? ,?31,34? , ?32,33? ;

, ?15,16? ;

为直观起见,我们将其画成一个图,每条线段两端的数为上述一个二元子集,为了不构 成这些和,每对数(每条线段)中至少要删去一个数;

19 12 1 35 30 (A) 4

27

20 11 2 3 (B)

28

13 14

18 17 16 34 33 (E)

9

22 36 29

10 21

15 31

23

8

5 (C)

26

24

7 (D)

6

25

32

于是在图 ( A),( B) 中各至少要删去 4 个数,图 (C ), ( D) 中各至少要删去 2 个数,图 ( E ) 中至 少删去 5 个数,总共至少要删去 17 个数. 另一方面,删去适当的 17 个数,可以使得余下的数满足条件;例如在图 ( A) 中删去

12, 30, 4, 22,图 ( B ) 中删去 11, 29,3, 21 , (C ) 中删去 23,5 , ( D) 中删去 24, 6 , ( E ) 中删
去 13,14,15,31,32 .这时图中所有的线段都已被断开.


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