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学生 第一章集合和函数复习讲义


第一章总体复习课

1.正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件:研究对象是具 体的,其属性是确定的. 2.在判定给定对象能否构成集合时,特别要注意它的“确定性”;在表示 一个集合时,要特别注意它的“互异性”. 3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质. 4.若集合中的元素是用坐标形式给出的,要注意满足条件的点构成的图形 是什么,用数形结合法

解之. 5.若集合中含有参数,须对参数进行分类讨论,讨论时要不重不漏. 6.相同函数的判定方法:(1)定义域相同;(2)对应关系相同(两点必须同时

具备). 7.函数的定义域的求法:使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可 求得函数的定义域.常涉及的依据为:(1)分母不为 0;(2)偶次根式中被开方数 不小于 0;(3)零指数幂的底数不等于零;(4)实际问题要考虑实际意义等. 8.函数值域的求法:(1)配方法(二次或四次);(2)数形结合;(3)函数的单调 性法等. 9.单调性的判断步骤:(1)设 x1,x2 是所研究区间内的任意两个自变量,且 x1<x2;(2)作差比较或作商比较判定 f(x1)与 f(x2)的大小;(3)得出结论. 10.奇偶性的判断步骤:(1)先求函数的定义域,若定义域关于坐标原点对 称,继续以下步骤,若不对称,则为非奇非偶函数;(2)计算 f(-x)的值;(3)判 断 f(-x)与± f(x)中的哪一个相等;(4)下结论.

一、集合中空集的特殊性及特殊作用 空集是一个特殊的集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空 集合的真子集, 在解决集合之间的关系问题时, 它往往易被忽视而引起解题失误. 例 1 已知 A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且 A∪B=A,求实数 a 组成的集合 C 分析 解 B?A 包括两种情况,即 B=?和 B≠?. (1)当 B≠?时,由 x2-3x+2=0,得 x=1 或 2.

当 x=1 时,a=2;当 x=2 时,a=1. (2)当 B=?时,即当 a=0 时,B=?,符合题设,故实数 a 组成的集合 C= {0,1,2}.

二、集合中元素的互异性 集合中元素的互异性是集合中元素的重要属性, 这一属性在解题过程中常被 忽略而造成错误. 因此在涉及集合中元素的有关性质时,要有问题被解决后作检 验这一意识.

例2

已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若 A=B,

求 c 的值. 分析 要求 c 的值,根据集合相等,转化为解方程问题来解决.集合 A,B 有公共元素 a,所以使余下的元素相等即可. 解 若 a+b=ac,且 a+2b=ac2,

消去 b,则有 a-2ac+ac2=0. 显然 a≠0,否则集合 B 的元素均为 0,与集合中元素的互异性矛盾,所以 1 -2c+c2=0,得 c=1,这时 B={a,a,a}, 仍与集合中元素的互异性矛盾; 若 a+b=ac2,且 a+2b=ac, 消去 b,则有 2ac2-ac-a=0,又 a≠0, 则有 2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0, 1 又 c≠1,所以 c=-2. 三、函数的性质及应用 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及解析式等方面入 手,通过对函数性质的应用使问题得以解决. 例3 mx2+2 5 已知函数 f(x)= 是奇函数,且 f(2)=3. 3x+n

(1)求实数 m 和 n 的值; (2)判断函数 f(x)在(-∞,0)上的单调性,并加以证明. 解 ∴ (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), mx2+2 mx2+2 mx2+2 =- = . -3x+n 3x+n -3x-n

比较得 n=-n,n=0. 4m+2 5 5 又 f(2)=3,∴ 6 =3,解得 m=2.

即实数 m 和 n 的值分别是 2 和 0. (2)函数 f(x)在(-∞,-1]上为增函数,在(-1,0)上为减函数. 2x2+2 2x 2 证明如下:由(1)可知 f(x)= 3x = 3 +3x. 设 x1<x2<0, 1 ? 2 ? 则 f(x1)-f(x2)=3(x1-x2)?1-x x ? ? 1 2? x1x2-1 2 =3(x1-x2)· x x .
1 2

当 x1<x2≤-1 时,x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)在(-∞,-1]上为增函数; 当-1<x1<x2<0 时, x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-1<0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), ∴函数 f(x)在(-1,0)上为减函数. 四、函数图象及应用 函数的图象是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性,通过函数的图象 能够掌握函数重要的性质,如单调性、奇偶性等.反之,掌握好函数的性质,有 助于图象正确的画出. 函数图象广泛应用于解题过程中,利用数形结合解题具有直观、明了、易懂 的优点,在历届高考试题中,常出现有关函数图象和利用图象解题的试题. 例4 设函数 f(x)=x2-2|x|-1 (-3≤x≤3),

(1)证明 f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象; (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减 函数;

(4)求函数的值域. (1)证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1

=x2-2|x|-1=f(x), 即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)解 当 x≥0 时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,

当 x<0 时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,
??x ? 1?2 ? 2, ?0 ? x ? 3? ? 即 f(x)= ? ??x ? 1?2 ? 2, ?? 3 ? x ? 0? ?

根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图. (3)解 函数 f(x)的单调区间为[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3].

f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上为减函数,在[-1,0),[1,3]上为增函数. (4)解 当 x≥0 时,函数 f(x)=(x-1)2-2 的最小值为-2,最大值为 f(3)=2;

当 x<0 时,函数 f(x)=(x+1)2-2 的最小值为-2,最大值为 f(-3)=2.故函数 f(x) 的值域为[-2,2]

课内练习
一、选择题 1.若偶函数 f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( ? 3? A.f?-2?<f(-1)<f(2) ? ? ? 3? C.f(2)<f(-1)<f?-2? ? ? 2.有下列四个命题: ? 3? B.f(-1)<f?-2?<f(2) ? ? ? 3? D.f(2)<f?-2?<f(-1) ? ? )

①函数 f(x)=

|x| 为偶函数; |x-2|

②函数 y= x-1的值域为{y|y≥0}; ③已知集合 A={-1,3},B={x|ax-1=0,a∈R},若 A∪B=A,则 a 的取 ? 1? 值集合为?-1,3?; ? ? ④集合 A={非负实数},B={实数},对应法则 f:“求平方根”,则 f 是 A 到 B 的映射. 你认为正确命题的序号为:________. 3.已知集合 A={x|-2<x<-1 或 x>0},B={x|a≤x≤b},满足 A∩B= {x|0<x≤2},A∪B={x|x>-2}.求 a、b 的值.

4.设全集 U=R,A={x|x>1};B={x|x+a<0},且 B? UA,求实数 a 的取 ? 值范围.

?x -2x+4, x<-1, 5.已知 f(x)=?-2x+5, -1≤x<1, ?3, x≥1,
(1)求:f(-2),f(0),f(1),f(4); (2)画出函数图象; (3)指出函数的值域.

2

m 6.已知函数 f(x)=x+ x ,且 f(1)=2, (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)在(1,+∞)上的增减性,并证明; (3)若 f(a)>2,求 a 的取值范围.

课后练习
一、选择题 1.设集合 U={1,2,3,4,5},M={1,2,3},N={2,5},则 M∩(?UN)等于( A.{2} B.{2,3} C.{3} D.{1,3} 2.下列集合不同于其他三个集合的是( A.{x|x=1} B.{y|(y-1)2=0} ) )

C.{x=1} D.{1} 3.下列集合不能用区间形式表示的是( ①A={1,2,3,4};②{x|x 是三角形}; ③{x|x>1,且 x∈Q};④?; ⑤{x|x≤0,或 x≥3};⑥{x|2<x≤5,x∈N}. A.①②③ C.⑤⑥ B.③④⑤ )

D.①②③④⑥ )

4.下列各图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是图中的(

5.下列函数表示同一函数的是( A.f(x)=|x|,g(x)=x ?x,x≥0 B.f(x)=|x|,g(x)=? ?-x,x<0 x2 C.f(x)=x,g(x)= x D.f(x)=x(x-1),g(x)=x2-x (x>1) 6.函数 f(x)=|x-1|的图象是( )

)

7.设 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)等于( A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7 8.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( A.y=3-x 1 C.y=x . B.y=x2+1 )

)

D.y=-|x|

?x (x≥0) 9.已知函数 f(x)=? 2 ,则 f(f(-2))的值是( ?x (x<0) A.2 B.-2 C.4 D.-4

)

10.设 A={x|1<x<2},B={x|x<a},若 A? B,则实数 a 的取值范围是( A.{a|a≥2} B.{a|a≤1}

)

C.{a|a≥1} D.{a.|a≤2} 二、填空题 11.函数 y= x+1+ 1 的定义域为________. 2-x
? ? 10 ? ? ?m| ∈Z,m∈Z? ? ? ? m+1 ?

12 . 用 列 举 法 表 示 集 合 : M = ________________________.



13.已知集合{2x,x+y}={7,4},则整数 x=________,y=________. 14.若函数 f(x)=kx2+(k-1)x+2 是偶函数,则 f(x)的递减区间是________. 三、解答题 15.若 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1≤x≤m+1},B?A,求实数 m 的取 值范围.

16.已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求 f(x) 的值域.

.

17.定义在实数集 R 上的函数 y=f(x)是偶函数,当 x≥0 时,f(x)=-4x2+ 8x-3. (1)求 f(x)在 R 上的表达式; (2)求 y=f(x)的最大值,并写出 f(x)在 R 上的单调区间(不必证明).


第一章 集合与函数复习讲义(学生用)

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