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27.2 曲线的极坐标方程


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27.2
【知识网络】 1. 曲线的极坐标方程的意义. 2. 直线、圆和圆锥曲线的极坐标方程. 【典型例题】 例 1.(1)化极坐标方程 ? A. x C. x 提示:
2 2

曲线

的极坐标方程

cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为
B. x D.

(C)

? y2 ? 0 或 y ? 1 ? y2 ? 0 或 x ? 1

?1

2

y ?1

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1
2 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,
(A) B. ? D. ?
2

(2)在平面直角坐标系中,以点 (1,1) 为圆心, 以 Ox 轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 A. ? C. ?

? 2 2 cos(? ? ) 4

?

? 2 2 sin(? ? ) 4

?

? 2 2 cos(? ?1)

? 2 2 sin(? ?1)

提示:圆的直角坐标方程为 ( x ? 1) 化为 极坐标方程为 ( ? cos? ∵曲线 ? ∴ ?[ ?

? ( y ?1)2 ? 2 ,

? 2 2 cos(? ? ) ? 0 也过极点, 4

?

? ?1)2 ? ( ? sin ? ?1)2 ? 2 , ?[ ? ? 2 2 cos(? ? )] ? 0 , 4

? 2 2 cos(? ? )] ? 0 与 ? ? 2 2 cos(? ? ) ? 0 等价, 4 4 ? 2 2 cos(? ? ) . 4
? 2sin 2? 表示的曲线为
B.两条直线 D.一个圆 (C)

?

?

∴对应的极坐标方程为 ? (3)极坐标方程 ? cos ? A.一条射线和一个圆 C.一条直线和一个圆 提示: ? cos? 则?

?

? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ?

? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y
? cos ?
与?

(4)极坐标方程分别为 ?

? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________.

2 2

提示:圆心分别为 (

1 1 , 0) 和 (0, ) 2 2

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(5)极坐标方程 ?

?

3 2 ? 4 cos ?

表示的曲线是

.

双曲线

3 提示: ? ? 2 ? 4 cos ?

3 2 等价于 ? ? 1 ? 2cos ?
2

,e

? 2.
为线段 OP 的中点,当点

例 2.设过原点 O 的直线与圆 ( x ? 1)

? y 2 ? 1 的一个交点为 P ,点 M

P 在圆上移动一周时,求点 M
解:圆 ( x ? 1)
2

轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.

? y 2 ? 1 的极坐标方程为 ? ? 2cos? (?

?
2

?? ?

?
2

),

设点 P 的极坐标为 ( ?1 , ?1 ) ,点 M 的极坐标为 ( ? ,? ) , ∵点 M 为线段 OP 的中点, 得? ∴ ?1

? 2? ,?1 ? ? ,将 ?1 ? 2? ,?1 ? ? 代入圆的极坐标方程,
? cos ? ( ?

? cos ?

.

∴点 M 轨迹的极坐标方程为 ? 的圆.

?
2

?? ?

?
2

) ,它表示原心在点

1 1 ( , 0) ,半径为 2 2
例 3. 过抛物线 的长度.

y 2 ? 8x 的焦点 F

作倾斜角为

? 的直线,交抛物线于 A, B 两点,求线段 AB 4
4 1 ? cos ?


解:对此抛物线有 e ? 1,

p ? 4 ,所以抛物线的极坐标方程为 ? ?

A, B 两点的极坐标分别为

? 5? 和 4 4

, | FA |?

4 1 ? cos

?
4

? 4(2 ? 2) ,

? 4 (? 2 5? 1? c o s 4 AB ∴线段 的长度为 16 .

| FB ? |

4

,) 2

∴|

AB |?| FA | ? | FB |? 16 .

例 4. 长为 2 a 的线段,其端点在 Ox 轴和 Oy 轴正方向上滑动,从原点作这条线段的垂线,垂足 为 M ,求点 M 的轨迹的极坐标方程( Ox 轴为极轴) ,再化为直角坐标方程.

A, B 且 A 在 Ox 轴正方向上, B 在 Oy 轴的正方向上, 设点 M 的极坐标为 ( ? ,? ) ,则 ?OBM ? ?AOM ? ? ,且 | OA |? 2a sin ? ,
解:设线段的端点分别为

? ?| OA | cos? ? 2a sin ? cos? ? a sin 2? ,
∴点 M 的轨迹的极坐标方程为 ? 由?
3

? a sin 2? (0 ? ? ?
2

?
2

).
2

? a sin 2? 可得 ? ? 2a? sin ? cos? ,
2 3 2 2

∴ (x

? y ) ? 2axy

3 2 2

其直角坐标方程为 ( x 【课内练习】 1.将极坐标方程 ?
2

? y ) ? 2axy( x ? 0, y ? 0) .

cos 2? ? 16 化为直角坐标方程是(C)

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A. x

2

? 16
2

B.

y2 ? 16

C. x

2

? y 2 ? 16

D.

y 2 ? x2 ? 16

提示: ?

cos 2? ? 16 ? ? 2 (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 16 ? x2 ? y 2 ? 16 .
? 0 表示的曲线为
C.一条直线 (D) D.两条相交直线

2.极坐标方程 ? cos 2? A.极点 提示: ? cos 2? 3.圆 ?

B.极轴

? 0, cos 2? ? 0, ? ? k? ?

?
4

,为两条相交直线

? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是
4? ) 3
B. (?5,

(A) C. (5,

A. ( ?5, ?

?
3

)

?
3

)

D. ( ?5,

5? ) 3

提示:圆的普通方程为 ( x ?

5 2 5 3 2 5 5 3 ) ? (y ? ) ? 25 ,圆心为 ( , ? ) ,半径为 5 . 2 2 2 2

? cos ? ? , ? sin ? ? ?
4. 两直线 ? A.平行 提示: ?

5 2

5 3 . 2
? ? ) ? a 的位置关系是()
C.垂直 D.重合

??

和 ? cos(?

B.相交但不垂直 的直角坐标方程为

??

y ? x tan ? ? cos(? ? ? ) ? a 化为直角坐标方程为 y ? x tan ? 的斜率为 tan ?


x cos ? ? y sin ? ? a ? 0 ,
∴两直线互相垂直( ?

其斜率为 ? cot ? ,直线

?

?
2

时也成立).
2

5. 设曲线的普通方程为 x 提示:用 x

? y 2 ? R2 ,则它的极坐标方程为

.

??R

? ? cos? , y ? ? sin ? 代入即得.
? y sin ? ? 0 的极坐标方程为________________.

6.直线 x cos ?

? ? k? ?

?
2

??

提示:直线的极坐标方程为 ? cos(? 7.设直线过极坐标系中的点 M (2,

?? ) ? 0 .
) ,且平行于极轴,则它的极坐标方程为
.

?
2

? sin ? ? 2
提示:在相应的直角坐标系中,直线的方程为 8.从极点作圆 ?

y ? 2.

? 2a cos ? 的弦,求各弦中点的轨迹方程.

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解:设所求曲线上的动点 M 的极坐标为 ( ? ,? ) ,圆 ?

? 2a cos ? 上的动点的极坐标为 ( ?1 ,?1 )

由题设可知, ?

? ?1 ? ? ? ? ?? ? ). ,将其代入圆的方程得: ? ? a cos ? ( ? 2 2 ? ?1 ? 2 ?
? a cos ? (?

). 2 2 ep 9.已知曲线的极坐标方程为 ? ? ,求此曲线的直角坐标方程,并讨论 e 在不同范围内 1 ? e cos ? 取值时,方程表示的曲线的类型(其中 e 和 p 为正的实常数).
解:方程写成 ? 得

∴所求的轨迹方程为 r

?

?? ?

?

? e? cos ? ? ep ,将 ? ? x 2 ? y 2
x 2 ? y 2 ? ex ? ep ,

和x?

? cos?

代入,

x 2 ? y 2 ? ex ? ep ,即
2

两边平方,得 x 整理得, (1 ? e

? y 2 ? e2 x2 ? 2e2 px ? e2 p2 ) x2 ? y 2 ? 2 pe2 x ? e2 p2 ? 0 .
? 1 时,方程表示双曲线;当 e ? 1 时,方程表示抛物线;当 0 ? e ? 1 时,

2

由上述方程可知,当 e 方程表示椭圆. 10. 过椭圆 b 为定值. 证明:椭圆 b
2 2 2 2

x ? a2 y 2 ? a2b2 的左焦点作直线,交椭圆于 A, B 两点,证明:

1 1 ? | FA | | FB |

x ? a2 y 2 ? a2b2 方程可化为


x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

∴e ?

c a2 a 2 ? c 2 b2 , p ? ?c ? ? a c c c

以椭圆的左焦点极点, x 轴正方向为极轴的方向建立极坐标系,

b2 a 则椭圆的极坐标方程为 ? ? c 1 ? cos ? a
设点

.

A 的极坐标为 ( ? ,? ) ,则点 B 的极坐标为 ( ? ,? ? ? ) ,

c c 1 ? cos ? 1 ? cos(? ? ? ) 1 1 2a a a ∴ ? ? ? ? 2 为定值. 2 2 b b | FA | | FB | b a a

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作业本
1.将直角坐标方程

y 2 ? 12 x 化为极坐标方程 ? ?

a 1 ? cos ?

时,极点和 a 的值分别是

(D)

A.坐标原点 O,12 C.焦点 F ,12 提示:由直角坐标方程 极点是圆锥曲线的焦点. 2. 设曲线的极坐标方程为 ?

B.坐标原点 O,6 D.焦点 F , 6

y 2 ? 12 x 知, p ? 6 ,根据圆锥曲线的极坐标方程建立的方法知,

? 2a sin ? (a ? 0) ,则它表示的曲线是
B.圆心在点 (0, a ) 直径为 a 的圆 D.圆心在点 (0, a ) 直径为 2 a 的圆

(D)

A.圆心在点 ( a, 0) 直径为 a 的圆 C.圆心在点 ( a, 0) 直径为 2 a 的圆 提示:曲线的直角坐标方程为 x 3.在极坐标系中与圆 ? A. ? cos ? 提示: ? 圆x
2 2

? y 2 ? 2ay ? 0 ,即 x2 ? ( y ? a)2 ? a2 .
(A)

? 4sin ? 相切的一条直线的方程为
B. ? sin ?

?2

?2

C. ?

? 4 sin(? ?

?
3

)

D. ?

? 4 sin(? ?

?
3

)

? 4sin ? 的普通方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ? cos? ? 2 的普通方程为 x ? 2

? ( y ? 2)2 ? 4 与直线 x ? 2 显然相切
? 4cos? ,则它的直角方程为
.

4. 设曲线的极坐标方程为 ? 提示: ?

x2 ? y 2 ? 4x ? 0

? 4cos? 与 ? 2 ? 4? cos? 等价.
.

5.设直线过极坐标系中的点 M (2,0) ,且垂直于极轴,则它的极坐标方程为

? cos? ? 2
6. 过抛物线 的值. 解:抛物线

y 2 ? 4x 的焦点 F

作倾斜角为 ? 的直线,交抛物线于

A, B 两点,求

1 1 ? | FA | | FB |

y 2 ? 4x 中, p ? 2 .
? 2 1 ? cos ?


在以抛物线的焦点 F 为极点, Ox 轴为极轴的极坐标系中,抛物线的极坐标方程为 ? 设

A 点的极坐标为 ( ? ,? ) ,则点 B 的极坐标为 ( ? ,? ? ? ) ,

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1 1 1 ? cos ? 1 ? cos ? ? ? ? ? 1, | FA | | FB | 2 2



1 1 的值为 1 . ? | FA | | FB |
8

7. 一颗慧星的轨道是抛物线,太阳位于这条抛物线的焦点上.已知这慧星距太阳 1.6 ?10 千米时, 极半径和轨道的轴成

? 角.求这颗慧星轨道的极坐标方程,并且求它的近日点离太阳的距离. 3
? p 1 ? cos ?
,因为 ? ∴

解:以太阳的位置为极点,轨道的轴为极轴,建立极坐标系, 设轨道的极坐标方程为 ? ∴ 1.6 ?10
8

?

?
3

时, ?

? 1.6 ?108 ,

?

p 1 ? cos

?
3

? 2p ,

p ? 8 ?107 ,

∴轨道的极坐标方程为 ?

?

8 ?107 1 ? cos ? ?

,当 ?

??

时, ?

? 4 ?107 .

∴这颗慧星轨道的极坐标方程为 ? 8.从极点 O 引一条直线和圆 ?
2

8 ?107 1 ? cos ?

,它的近日点离太阳的距离为 ?

? 4 ?107 千米.

? 2a? cos? ? a2 ? r 2 ? 0 相交于一点 Q ,点 P 分线段 OQ

成比 m : n ,求点 Q 在圆上移动时,点 P 的轨迹方程,并指出它表示什么曲线.

m?n ? ? ? ?1 ? 解:设点 P, Q 的极坐标分别为 ( ? ,? ) 和 ( ?1 , ?1 ) ,由题设知 ? , m ? ? ?1 ? ?
将其代入圆的方程,得 ( 整理得, (m ? n)
2

m?n 2 m?n ? ) ? 2a ( ? ) cos ? ? a 2 ? r 2 ? 0 , m m

? 2 ? 2am(m ? n) ? cos? ? m2 (a2 ? r 2 ) ? 0 ,
2

∴点 P 的轨迹方程为 (m ? n)

? 2 ? 2am(m ? n) ? cos? ? m2 (a2 ? r 2 ) ? 0 ,它表示一个圆.

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