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求二次曲线中的直线斜率分类解析


2010年第6期 是平面上不共线的三个点,动点P满足OP= 解:如图3,AABC的 外心为o,垂心为H,连结
BO并延长交圆周于D,则 么BAD=么BCD=90",从

中学数学研究

下OB+OC+J=【(-=!坐一+_=丝L),A∈


———i一十^L—==■—一十—==——一,,^℃ lAB

lcosB lACIeosC
[0,+∞),则P点的轨迹一定通过/XABC的
( ).



而有DC//AH,DA//CH,

知变为D—P=.:【(—=生+—_=兰堑三一), =.:【(—=}L+—_=兰垫L一), ?。?B—C.亩:A(兰暨堕+4粤):
知变为 JABlcosB fACleosC lABIcosB IAClmsC 轨迹一定通过AABC的外心.

解:取BC的中点D,则面:下OB+OC,已
A.重心 B.垂心


C.内心

D.外心

故四边形CDAH为平行四边形..’.AH=DC,
.‘.AH=DC=0C—oD=oc+0B,.‘.0H=
—.—j-...、...I...I...、

...I...、...…-—^———I
图3

C】|A+AH=C)A+C)B+OC..。.m=1.

注:本题如果用特殊值的思想,则很快就可
以得到答案.设△ABC为直角三角形,其中 么C=90。,则AABC的外心O为AB边的甲
。——▲——^

点,垂心H与直角顶点C重合,则OH=0C=
,,..、-...、...I

A(一IBCf+IBCI)=0,.。.DP上BC'...DP是 BC的垂直平分线,。.。叉∈[0,+oo),.’.P点的 例8(05年全国工)AABC的外接圆的 圆心为o,两条边上的高的交点为H,OH= m(OA+OB+0C),则实数m=


oA+OB+0c,故优=1. 由以上几个例题可知,判断点P是/XABC 的重心、垂心、内心、外心的问题,主要是判断点 P是否在AABC的中线、高线、角平分线、中垂 线上,从而把此类问题转化为三点共线的问题, 再由平面向量三点共线的充要条件就不难加以
证明.

j誓:鬻j‘}业书ejkj誓业jk业9k鬻j●}警}誓}翻}jk囊书}省}省}嵌业誊}省鲁9k誓}簟氆鲁夸‘}誊警}警}蕾ej‘e业省}j睡-业夸蟹业!I‘e

求二次曲线中的直线斜率分类解析
广东佛山市顺德区容桂职业技术学校(528303)
陈华安

求直线的斜率是平面解析几何考查的重点

析问题时需用数形结合的思想、等价转化的思
想、设而不求法及弦长公式和根与系数关系的 综合应用. 1.利用垂直关系求直线的斜率 例1

内容之一,它通常与二次曲线结合在一起,成为
近年的高考热点.它往往涉及二次曲线的性质 和直线的基本知识、垂直关系、向量的运算、距 离(弦长)、线段的中点等问题,并需要把它们等 价转化为两个点的横(纵)坐标的和及积的形 式,增加了思维量和运算量,使问题更综合,解 题难度加大.解决这类问题往往需要联立直线 方程与二次曲线方程的方程组,再转化为含有 斜率k的关于z或Y的一元二次方程,利用根 与系数的关系、判别式及相关条件解之.因此分

(2008年辽宁高考题)在平面直角坐

标系z0少中,点P到两点(0,一拈),(0,拈)的
距离之和等于4,设点P的轨迹为C. (1)写出C的方程; (2)设直线Y=kx+1与C交于A、B两 点.k为何值NOA上OB?此时lAB{的值是多 少?
?39?

万方数据

中学数学研究

201.0年第6期

解:(1)易求曲线c的方程为x2+萼=1.
(2)设A(z1,Y1),B(z2,了2),g-坐标满足


把它代入窨+堑3=1得(3+4忌2)372_1_4k(3— 2k)z+4睦一是)2 12=o.设E(xE,yE),F
“、4“ ~E’2 =—兰■?—一,Yz=妇F+詈一k。又直线
3+4k2



||

Il

,● ● J、● ● \



t4护H

消 去

y并整理得(尼2+4)z2+(37F,Yv),因为点A(1,号)在椭圆上,所以晚
4(号一忌)212


2k37—3=o,故z1+tT。2--一。F2k函,zlz2=一

南.OA_J__OB,即zlz2+yly2_0厢yly2
=kZxl372+k(X1+X2)+1,.‘.zlz2+Y1Y2=

AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式

4(要+忌)2—12 中以一忌代替忌可得唧2—兰ri医r一,YF2

一丽3一篇一丽2k2小等.所以
忌2+4 尼2+4 忌2+4。J。 忌2+4
‘∥‘∥、

一‰+号+k,所以直线EF的斜率kEF=
ZF

k=±告时,z1372+YlY2=o,故OA上OB,此时

丝卫:二鱼鱼蔓二兰世:罢,即直线EF
ZE zF zE
J乙

。1+z2=±吾,邶2=一丽12,J

A—B{=
的斜率为定值,其值为寺. 点评:本题利用两直线的斜率关系探求另
一直线的斜率为定值,实质也是利用两点坐标 的斜率公式求直线的斜率,解方程组求出点的

 ̄/(1+k2)(z2一z1)2,而(z2—371)2=(z1+

z2)2—42122=(南)2+4×两12,所以I A—B I=
.4.......,.,/....-..6..3——
17


坐标是解题关键.
3.利用数乘向量求直线的斜率 例3(08年高考全国卷Ⅱ,理21题)设椭 圆中心在坐标原点,A(2,0)、B(O,1)是它的两

点评:垂直关系如“OA_LOB”时常出现在 二次曲线的问题中,对此类问题,可通过koA’ 志oB=一1或OA?OB=0将.OA]_OB等价转 化为zlz2+YlY2=0,其中A(Xl,Y1)、B(372, Y2). 2.利用两点坐标求直线的斜率 例2

个顶点,直线y=如(忌>O)与AB相交于点D,
与椭圆相交于E、F两点.若ED=6 DF.(1)求 忌的值.(2)略. 解:(1)依题意得椭圆

(2009年辽宁高考题理20)已知椭

圆C经过点A(1,-6j-),两个焦点为(一1,0), (1,0). (1)求椭圆的方程; (2)E、F是椭圆C上的两个动点,如果直 线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明 直线EF的斜率是定值,并求出这个定值.

的方程为百x2+∥2=1,直线
AB、EF的方程为z+2y=

凄乏

刃 §誓 勿j

2,Y=k37(k>0),如图,设D(zo,kxo),E(X1,

k371),F(x2,如2),其中371<X2,且Xl、372满足

方程(1+4k2)z2=4,故z2=一37,1=—F与
 ̄/l+4k‘

解:(1)易得椭圆方程为等+等=1.
(2)设直线AE方程为Y=k(z一1)+詈,
万方数据
?40?

①.由ED=6 DF,知zo—X1=6(372一zo),得

z。2了1(6zz+zt)=—等zz

2志;由。

2010年第6期
在AB上知zo+2kxo 2 2,得zo 2

中学数学研究

r急,所以

熹:—了竺i,化简得24k5+6:1

了砑2k,N-F2M=(z1—1,Y1),F2N=(z2—
1,y2),.‘.FzM+F2N=(z1+.372—2,Y1+Y2). .’.』F2M+F2N 2=(z1+.TG2—2)2+(Y1+



2k

7“了礤川……1

0.解得忌=了2戮-i3.
点评:二次曲线中数乘向量等价转化为点 的坐标关系式,再转化为直线的斜率的关系式, 解方程得斜率. 4.利用距离(向量的模)求矗线的斜率

岿L(、81k秘2+22),2+(尚)2
4忌2+4尼2+1 、3

鱼寻整;等掣:(逝)z.化简得40k。一
7……“’
a‘

:丛禁嘻≥剡.由已知条件得 4尼2+4忌2+1…。…””
.‘.k=±1,则所求直线l的方程是Y=z+1或

例6(2009年四川高考题)已知椭圆1x2


+y622

1(口>6>0)的左右焦点分别为F1,F2,

23k2—17=0,解得k2=1或k2=一磊(舍去),
Y=一z一1.

离心率P:安,右准线方程为z:2.
(1)求椭圆的标准方程;

点评:本题表面上是求直线方程,但实质是

(2)过点F1的直线z与该椭圆交于M、N
两点,且I 方程.

求直线的斜率,根据距离(向量的模)求斜率,
关键是将点的坐标转化为横(纵)坐标的和或积

F一2M+面f:互≤堑,求直线z的

的形式,再利用一元二次方程根与系数的关系
转化为关于斜率的关系式,最后利用距离公式

解:(1)易得椭圆方程是等+y2=1.
(2)由(1)知Fl(一1,0)、F2(1,0).若直线 l的斜率不存在,则直线l的方程是z=一1.将

建立等式,解之可得.
例5(2009天津高考理科21)已知椭圆

茅+荸2 l(n>6>o)的两个焦点分别为F1
(一c,O)N

z=一1代入椭圆方程得Y=±等.不妨设M(一 — o
11 fo

F2(c,o)c>o),过点E(譬,o)的
F2B

l,等),N(一1,一警),.?.F2M+F2N=

直线与椭圆相交于A、B两点,且F1A∥F2B,
F1A

l=2I

I.(1)求椭圆的离心率;(2)求

(一2,譬)+(一2,一譬)=(一4,o).故I F—zM+
F2NI=4,与题设矛盾..‘.直线l的斜率存在.
设直线z的斜率为k,则直线的方程为Y=

直线AB的斜率.(3)略.

解:(1)由条件得,以2=3f2,故8=旦=等.
a j

(2)由(1)得b2=a2一c2=2c2,所以椭圆 的方程可写为222+3y2=6c2.设直线AB的

k(z+1),设M(517l,Y1)、N(X2,Y2).联立

J等Ⅳ_】消去y得(1+2纠zz+4如+
lY=k(z+1)
2忌2—2=0.由根与系数的关系知,331+.172=

方程Y=k(z—a--.),即Y=k(z一3c).由已知
设a(z1,Y1),B(z2,Y2),则它们的坐标满足

百-4孺k2,从而y1+Y2=忌(z1+z2+2)=
万方数据

方程菇≈;三譬il-三。:消去Y整理,得(2+3

1222+vz2 6 cz.

3k2)z2—18k2ca:+27k2c2—6c2=0.依题意△

中学数学研究

2010年第6期
将点的坐标转化为横(纵)坐标的和或积的形 式,再利用一元二次方程根与系数的关系转化
为关于斜率的关系式,最后利用距离建立等式 解之可得.

z2=21+8k32志c2。,XlX2一--2紫②。由题设
知,点B为线段AE的中点,所以z1+3c=2x2

=48c2(1—3k2)>o滑一等<忌<譬.而计

③.联立①③,解得zt=秀莩窘,zz= 秀辛麦争.将z-,zz代入②中,解得是=±譬.


总之,求二次曲线中直线的斜率几乎每年
都出现在高考题中,交汇性强,综合程度高,对 学生综合应用数学知识解决问题及推理计算能

力的要求较高,在高考复习中应引起足够的重

点评:根据距离(向量的模)求斜率,关键是 视. 省}?壹l}■}_}j●}蕾}穹‘ej‘}啦警鲁誓}掣}j譬省}■E越}j●}jk业警}省}省亭誓}坐誊e业省}■}■}_}j-}瑚}螺螺妇业:Ik妇j略誓}啦:Ik







线





湖北省大冶市第一中学

(435100)

黄俊峰袁方程

数学问题“模型化”的主要思想就是构造一 种“实物”作为数学问题的元素,把数学问题中 元素间抽象的相互关系解释为这种“实物”间的 —?种具体关系.于是,抽象的数学问题就有了一 种解释,也就是把这个数学问题建立了一个“数

2.解不等式 侈9 2解不等多0眨一l<s∞a+tan口<42+1. 简析与解:考虑到sec2口 一tan2a=1,可构戏双凿线模 型来解题.令z=secof,Y= tana,则原不等式等价于
l,

心 X一

图1

学模型”.实践表明,在解题过程中,建立和运用
模型思想,有利于整体性和创造性地处理问题. 以下就建立和构造双曲线解题举例加以说明. 1.解方程 例1
=4.

‘警。

长二21

U2一< X

+v< y<42+1,令z +。’

+Y=£(√2—1<£<√2+1),问题转化为求使 平行直线系Y=一X+t与等轴双曲线有交点

解方程 ̄/z2+4x+8一 ̄/≯一8z+20

的一般双曲线弧的范周.在同一坐标系中分别
简析与解:由两根式差为4,联想到双曲线

作出双曲线z2一Y2=1及Y=一z+t的图像,
知1<z<√2,一1<Y<1..’.原不等式的解集

的定义,可用双曲线模型解题.原方程即力

_{t(z+2)2+y2一 ̄/(z一4)2+y2=4,①①式
【Y2=4,② 可看着动点P(x,y)到定点(一2,0)与(4,0)的 距离之差为4,由双曲线的定义知动点P(X, Y)的轨迹是以(一2,0),(4,0)为焦点,实、虚半

为{口f2kzr一署<口<2k7f十署,志Ez}.
3.求值域 例3
域.

求函数t=z+ ̄/z2—2z+2的值

轴长分别为2,房的双曲线鱼学一萼:1的
右支,将歹2=4代入解得z=1±半(负根舍

简析与解:因为Y=

 ̄/z2—2z+2的图像就是双
曲线Y2一(z一1)2=1的上 支,所以此题也可构造双曲线




>i/



jg:?氛I
图2

去),即z=1+警.
?42?

模型来解.

万方数据

求二次曲线中的直线斜率分类解析
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 陈华安 广东佛山市顺德区容桂职业技术学校,528303 中学数学研究 STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG 2010,""(6) 0次

本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyj201006019.aspx 授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:4af008e9-fb5b-44bb-88d5-9dc90096fb6b 下载时间:2010年8月5日


双直线二次曲线系方程的几个应用实例

双直线二次曲线系方程的几个应用实例具体可以参考...大家都知道解析几何里有一个重要的工具:曲线系。...圆锥曲线上任意一点作两条斜率互为相反数的直线,...

直线与二次曲线

主要涉及弦长、 弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分...?4, 0 ? 作斜率的直线 l ,使得 l 和 G 交于 A, B 两点,和 y ...

第18讲 直线与二次曲线

过点 P ( 4, 0 ) 作斜率为 1 的直线 l ,使得 l 和 G 交于 A, B...2 C ,并且点 P 在线段 AB 上,又满足 PA PB = PC . (Ⅰ)求双曲线 G...

§5.4 二次曲线的直径

推论 2: 如果二次曲线的一族平行弦的斜率为 k (...+ =1 中的一对共轭直径关于坐标轴是对称的, 求...故所求直径为 (2, )、(8, 0)所在直线 = , ...

第17讲 二次曲线

中,解析几何试题的分值一般占 20%左右,而圆锥曲线...(1)求平面曲线(整体或部分)的方程或轨迹; (2)...直线 l 的斜率 k 的 函数. 设过点 B 的直线 ...

直线与二次曲线问题选讲

主要涉及弦长、弦中点、对称、 参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分...?4, 0 ? 作斜率为 1 的直线 l ,使得 l 和 G 交于 A, B 两点,和 ...

直线与二次曲线

专题五 直线二次曲线直线二次曲线问题是高中数学的重点内容, 根据对近几年...(2)当直线L的 斜率为2时,求L在 y 轴截距范围。 2 例8:已知椭圆的中心...

直线的倾斜角和斜率

培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 教学建议 1.教材分析 (1)知识...讨论直线二次曲线的位置关系, 直线的斜率都发挥着重要作用.因此,正确理解斜率...

青年教师大奖赛《直线的倾斜角和斜率》

以及讨论直线二次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥...二【学情分析】 【学情分析】 授课班级中,大部分...(0,-1),求直线 学生回答 帮助学生巩固 基本概念,...

⑦竞赛中的二次曲线问题

⑦竞赛中的二次曲线问题_学科竞赛_高中教育_教育专区...(高二)试题)过抛物线 y =x 的焦点 F 的直线 l...若直线 PM,PN 的斜率之积为- ,则椭圆 C 的离心...