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江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题(含答案)


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江苏省扬州中学 2013—2014 学年度第一学期月考

高 三 数 学 试 卷
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.已知全集 U ? {0,1,2,3}, 集合 A ? {0,1}, B ? {1,2,3}, 则 (C U A

) ? B ? __▲___.
? ? ? ? 2. 已知向量 a ? (1 ? 2 x,2) , b = ? 2, ?1? ,若 a// b ,则实数 x ? __▲____.

2013.10

3.命题“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 ”的否定是__▲___

7. 将函数 y ? f ( x) 的图象上的每一点的纵坐标变为原来的 4 倍,横坐标变为原来的 2 倍,然
π 后把所得的图象上的所有点沿 x 轴向左平移 个单位,这样得到的曲线和函数 y ? 2sin x 2 的图象相同,则函数 y ? f ( x) 的解析式为 ▲ .

8. 已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ? 1, x ? 0, ? 若实数 m ? (0,1) ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有▲个零点. 2 ? ?? x ? 2 x, x ≤ 0.
x

9. 设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? x ? e

( e 为自然对数的底数 ), 则

f (ln 2) 的值为
10. 若函数 f ( x) ?
0



. ▲ . ▲ .

ax ? 2 的图象关于点(1,1)对称,则实数 a = x ?1
0 0

11.已知 sin( x ? 20 ) ? cos( x ? 10 ) ? cos( x ? 10 ), 则 tan x ? 12. 若 e
sin ?



? ln cos ? ? e
2

cos ?

? ln sin ? 且 ? ? (0, ? ), 则 ? 的取值范围为

13. 已知函数 f ( x)=x , ( x ? [ ?2, 2]) ,g ( x) ? a 2 sin(2 x ?

?

总?x0 ? [0, ], 使得g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 2
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?

) ? 3a, x ? [0, ] ,?x1 ? [?2, 2] , 6 2
▲ 14. 已知 O 为△ ABC

?

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的外心, AB ? 2a, AC ?

2 , ?BAC ? 120 0 , 若 AO ? ? AB ? ? AC ,则 ? ? ? 的最小值为 a

▲ . 二、解答题(共 6 小题,共 90 分,解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) . .................. 15. (14 分)已知全集 U ? R , 集合A ? {x | log 2 (3 ? x) ? 2}, 集合B ? {x | (1)求 A、B; (2)求 (CU A) ? B.

5 ? 1}. x?2

16. (14 分)已知向量 m ? ( 3 sin 2 x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x), 设函数f ( x) ? m ? n. (I)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间。 (II)在△ABC 中,a、b、c、分别是角 A、B、C

的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, △ABC 的面积为

3 ,求 a 的值。 2

18. (16 分)某地政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形 ABCD 的 非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分) ,形状 为 直 角 梯 形 QPRE ( 线 段 EQ 和 RP 为 两 个 底 边 ) ,已知

D R E

C

AB ? 2km, BC ? 6km, AE ? BF ? 4km, 其中 AF 是以 A 为顶点、
AD 为对称轴的抛物线段.试求该高科技工业园区的最大面积.

F

Q A
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P B

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附加题(理科)

1 3 5 7 9 22. 写出 (1 ? i ) 的二项展开式( i 为虚数单位) ,并计算 C10 的值。 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10

10

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23. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,O 是 AC 的中点,E 是线段 D1O 上一点,且 D1E=λEO. (1)若 λ=1,求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值; (2)若平面 CDE⊥平面 CD1O,求 λ 的值. A1C BA E B A B1C BA D1

C1

A
1

D C O B A (第 23 题)

B A

C B A

24. 一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数:f1(x)=x,f2(x)=x2, f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=2. (1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数的 概率; (2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片 则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望.

命题:高三数学备课组

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高三数学月考参考答案
1. {2,3} 2.

2013.10

5 2

3. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 8. 3 9. ? ln 2 ?

4.

5

5.充要 10. 1 11.

6. 10

1 π 1 7. y ? sin 或 y ? ? cos 2 x (2 x ? ) 2 2 2

12. (

? ?

? 3? , )?( , ) 4 2 2 4

1 2

3

13.

(??, ?4] ? [6, ?? ) 14.;2

15. 解: (1)由已知得: log 2 (3 ? x) ? log 2 4 ? ? 解得 ? 1 ? x ? 3, ? A ? {x | ?1 ? x ? 3}. 由 (2)由(I)可得 CU A ? {x | x ? ?1或x ? 3}.

?3 ? x ? 4 ?3 ? x ? 0,
5 ? 1 得: B ? {x | ?2 ? x ? 3}. x?2

故 (CU A) ? B ? {x | ?2 ? x ? ?1或x ? 3}.

(II)由 f ( A) ? 4 得? A ?

?
3



3 ,b ?1 ?c 2 1 3 ? bc sin A ? 2 2 ? S ?ABC ?

?2

1 ? 3?a ? 3 2 1 17. 解: (1)由 f ( x) ? ax ? ln x 求导可得: f ' ( x) ? a ? x 1 1 1 1 1 令 f ' ( x) ? a ? ? 0 ,可得 a ? ? ∵ x ? (1, e) ,∴ ? ? (?1,? ) ,∴ a ? (?1,? ) x x, x e e 又因为 x ? (1, e) 1 1 1 x (1,? ) ? ( ? , e) a a a f ' ( x) + 0 — f ( x) 单调递增 极大值 单调递减 1 所以, f ( x) 有极值 所以,实数 a 的取值范围为 (?1,? ) . e ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ?
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(2)由(Ⅰ)可知 f ( x) 的极大值为 f (? ) ? ?1 ? ln(? )

1 1 a a 又∵ f (1) ? a , f (e) ? ae ? 1 1 1 1 由 a ? ae ? 1 ,解得 a ? 又∵ ? 1 ? ?? 1? e 1? e e 1 1 ∴当 ? 1 ? a ? 时,函数 f ( x) 的值域为 (ae ? 1,?1 ? ln(? )] a 1? e 1 1 1 当 ? a ? ? 时,函数 f ( x) 的值域为 (a,?1 ? ln(? )] . 1? e e a

18. 解:以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系如图,则 A(0, 0), F (2, 4) , 由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为 y ? ax (a ? 0) ,由 4 ? a ? 22 得, a ? 1 ,
2

∴AF 所在抛物线的方程为 y ? x ,又 E (0, 4), C (2, 6) ,∴EC 所在直线的方程为 y ? x ? 4 ,
2

设 P ( x,x )(0 ? x ? 2) ,则 PQ ? x, QE ? 4 ? x , PR ? 4 ? x ? x ,
2 2 2

∴工业园区的面积 S ? (4 ? x 2 ? 4 ? x ? x 2 ) ? x ? ? x 3 ? x 2 ? 4 x (0 ? x ? 2) , ∴ S ? ? ?3 x ? x ? 4, 令 S ? ? 0 得 x ?
2

1 2

1 2

当 x 变化时, S ? 和 S 的变化情况如下表: x

4 或 x ? ?1 (舍去负值) , 3 4 ( , 2) 3


S? S

4 (0, ) 3
+ ↑

4 3
0 极大值

104 27

由表格可知,当 x ?

4 104 104 时, S 取得最大值 .答:该高科技工业园区的最大面积 . 3 27 27

?c 2 ? ? ? ?a ? 2 ?a 2 19. 解: (1)由题设: ? 2 ,? ? ,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , ? ? c ?1 ? a ?2 ? ? c x2 ? 椭圆 C 的方程为: ? y2 ? 1 2 ? (2)①由(1)知: F (1,0) ,设 M (2, t ) ,

t t2 则圆 D 的方程: ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1 ? , 2 4
t )?( 4
2

直线 PQ 的方程: 2 x ? ty ? 2 ? 0 ,

2?

? PQ ? 6 ,? 2 (1 ?

t2 ?2 2
2

4?t

)2 ? 6 ,

? t ? 4 ,? t ? ?2
2

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2 2 2 2

? 圆 D 的方程: ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 或 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2

②解法(一) :设 P( x0 , y0 ) ,
? t 2 t2 2 ? x0 2 ? y0 2 ? 2 x0 ? ty0 ? 0 ? ? ( x0 ? 1) ? ( y0 ? ) ? 1 ? 由①知: ? , 2 4 ,即: ? ? ? 2 x0 ? ty0 ? 2 ? 0 ?2 x ? ty ? 2 ? 0 0 ? 0

消去 t 得: x0 2 ? y0 2 =2,? 点 P 在定圆 x 2 ? y 2 =2 上. 解法(二) :设 P( x0 , y0 ) ,则直线 FP 的斜率为 k FP ? ∵FP⊥OM,∴直线 OM 的斜率为 kOM ? ?
y0 , x0 ? 1

x0 ? 1 , y0

x0 ? 1 x, y0 2( x0 ? 1) ). 点 M 的坐标为 M (2, ? y0
∴直线 OM 的方程为: y ? ? ∴ x0 ( x0 ? 2) ? y0 [ y0 ?

??? ? ???? ∵MP⊥OP,∴ OP ? MP ? 0 ,

2( x0 ? 1) ] ? 0 ,∴ x0 2 ? y0 2 =2,? 点 P 在定圆 x 2 ? y 2 =2 上. y?

20. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f 2 ( x) ?| 3x ? 9 | . 因为当 x ? (0, log 3 5) 时, f1 ( x) ? 3x ? 1 , f 2 ( x) ? 9 ? 3x , 且 f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 2 ? 3x ? 10 ? 2 ? 3
x
log3 5

? 10 ? 2 ? 5 ? 10 ? 0 ,

所以当 x ? (0, log 3 5) 时, f ( x) ? 3 ? 1 ,且 1 ? (0, log 3 5)
x

由于 f ?( x) ? 3 ln 3 ,所以 k ? f ?(1) ? 3ln 3 ,又 f (1) ? 2 , 故所求切线方程为 y ? 2 ? (3ln 3)( x ? 1) , 即 (3ln 3) x ? y ? 2 ? 3ln 3 ? 0 (Ⅱ) 因为 2 ? a ? 9 ,所以 0 ? log 3 ① 当 x ? log 3

9 9 ? log 3 ,则 a 2

9 时,因为 a ? 3x ? 9 ? 0 , 3x ? 1 ? 0 , a

所以由 f 2 ( x) ? f1 ( x) ? (a ? 3x ? 9) ? (3x ? 1) ? ( a ? 1)3x ? 8 ? 0 ,解得 x ? log 3

8 , a ?1

9 8 时, f ( x) ? f 2 ( x) ? x ? log 3 a a ?1 9 ② 当 0 ? x ? log 3 时,因为 a ? 3x ? 9 ? 0 , 3x ? 1 ? 0 , a
从而当 log 3 所以由 f 2 ( x) ? f1 ( x) ? (9 ? a ? 3x ) ? (3x ? 1) ? 10 ? ( a ? 1)3x ? 0 ,解得 x ? log 3

10 , a ?1

10 9 ? x ? log 3 时, f ( x) ? f 2 ( x) a ?1 a ③ 当 x ? 0 时,因为 f 2 ( x) ? f1 ( x) ? (9 ? a ? 3x ) ? (1 ? 3x ) ? 8 ? ( a ? 1)3x ? 0 ,
从而当 log 3 从而 f ( x) ? f 2 ( x) 一定不成立 综上得,当且仅当 x ? [log 3

10 8 , log 3 ] 时, f ( x) ? f 2 ( x) , a ?1 a ?1

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故 l ? log 3

8 10 4 2 ? log 3 ? log 3[ (1 ? )] a ?1 a ?1 5 a ?1 12 5

从而当 a ? 2 时, l 取得最大值为 log 3

即“ | a ? 3 ? 9 |?| 3 ? 1|? 3 ? 1 (*)对 x ? ? 2, ?? ? 恒成立”
x x x

(Ⅲ)“当 x ? ? 2, ?? ? 时, f ( x) ? f 2 ( x) ”等价于“ f 2 ( x) ? f1 ( x) 对 x ? ? 2, ?? ? 恒成立”,
9

log3 9 ? 2 ,则当 x ? 2 时, a ? 3x ? 9 ? a ? 3 a ? 9 ? 0 ,则(*)可化为 a 8 8 a ? 3x ? 9 ? 3x ? 1 ,即 a ? 1 ? x ,而当 x ? 2 时, 1 ? x ? 1 , 3 3 所以 a ? 1 ,从而 a ? 1 适合题意 9 ② 当 0 ? a ? 1 时, log 3 ? 2 . a 9 8 8 ⑴ 当 x ? log 3 时,(*)可化为 a ? 3x ? 9 ? 3x ? 1 ,即 a ? 1 ? x ,而 1 ? x ? 1 , a 3 3 所以 a ? 1 ,此时要求 0 ? a ? 1 9 9 ⑵ 当 x ? log 3 时,(*)可化为 0 ? 3x ? 1 ? ? 1 , a a 所以 a ? R ,此时只要求 0 ? a ? 1 9 10 10 1 (3)当 2 ? x ? log 3 时,(*)可化为 9 ? a ? 3x ? 3x ? 1 ,即 a ? x ? 1 ,而 x ? 1 ? , a 3 3 9 1 1 1 所以 a ? ,此时要求 ? a ? 1 ,由⑴⑵⑶,得 ? a ? 1 符合题意要求. 9 9 9 1 综合①②知,满足题意的 a 存在,且 a 的取值范围是 ? a ? 1 9

① 当 a ? 1 时, log 3

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高三数学月考试卷附加题(理科)

0 1 2 2 9 9 10 10 22. (1 ? i )10 ? C10 ? C10 i ? C10 i ? ? ? C10 i ? C10 i .
1 3 5 7 9 因 为 C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 即为(1 ? i )10 的 展 开 式 中 的 虚 部 , 又 1 3 5 7 9 (1 ? i )10 ? [(1 ? i ) 2 ]5 ? (2i ) 5 ? 32i ,所以 C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? 32.

??? ? ???? ???? ? 23.【解】(1)不妨设正方体的棱长为 1,以 DA, DC , DD1

为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz .

1 0 ? ,D1(0,0,1),E 1 ,1 ,1 , 则 A(1,0,0), O 1 ,1 ,0 , C ? 0,, 2 2 4 4 2
???? ???? ? ???? 1 1 1 ???? ???? ? ???? ? DE ? CD1 3 ? = 于是 DE ? , , , CD1 ? ? 0,? 1, . 1? .由 cos ? DE,CD1 ? = ????? ???? 4 4 2 6 | DE |? | CD1 |

?

?

?

?

?

?

所以异面直线 AE 与 CD1 所成角的余弦值为

3 . 6

???? ? ??? ? (2)设平面 CD1O 的向量为 m=(x1,y1, z1),由 m· CO =0,m· CD1 =0
? 1 x ? 1 y ? 0, ? 得 ?2 1 2 1 取 x1=1,得 y1=z1=1,即 m=(1,1,1) . ??7 分 ? ? y ? z ? 0 , ? 1 1 ? ? 1 ? ???? ? ? ? 1 ? 由 D1E=λEO,则 E ? ? 2(1 ? ? ) ,2(1 ? ? ) ,1 ? ? ? , DE = ? 2(1 ? ? ) ,2(1 ? ? ) ,1 ? ? ? . ? ? ? ? ???? ??? ? 又设平面 CDE 的法向量为 n=(x2,y2,z2),由 n· CD =0,n· DE =0.

? y2 ? 0, ? 得 ? ? x2 取 x2=2,得 z2=-λ,即 n=(-2,0,λ) . ? y2 z2 ? 2(1 ? ? ) ? 2(1 ? ? ) ? 1 ? ? ? 0, ?

因为平面 CDE⊥平面 CD1F,所以 m·n=0,得 λ=2. 24.(1)记事件 A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”,由题意知
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C 32 1 P( A) ? 2 ? . C6 5
(2)ξ 可取 1,2,3,4.

P(? ? 1) ?

1 1 1 C3 C3 C3 1 3 ? , P ( ? ? 2 ) ? ? ? , 1 1 1 C6 2 C 6 C 5 10

P(? ? 3) ?

1 1 1 1 1 1 1 C3 C3 C3 C3 C2 C2 C1 3 1 ; 故 ξ 的分布列为 ? ? ? , P ( ? ? 4 ) ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 C 6 C 5 C 4 20 C 6 C 5 C 4 C 3 20

ξ P

1

2

3

4

1 2

3 10

3 20

1 20

E? ? 1 ?

7 1 3 3 1 7 ? 2 ? ? 3? ? 4? ? . 答:ξ 的数学期望为 . 4 2 10 20 20 4

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