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2012-2013第一学期高一期末考试数学试卷


2012-2013 第一学期顺德区高一年级期末考试

数 学 试 卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在 答题卷上。 2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应 位置上;如需

改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设集合 U= ?1,2,3,4? , M ? ?1,2,3? , N ? ?2,3,4? , 则 CU ?M ? N ? ? ( A. ?1 2? , B. ?2, 3? C. ?2,4? D. ?1,4? )

2.已知向量 a ? (1, , b ? ( x , ,若向量 a //b ,则 x ? ( 2) 4) A.2 B. ?2 C.8 3.下列函数中,在其定义域内是减函数的是( ) A. f ( x) ? 2
x

?

?

?

?

) D. ?8

B. f ( x) ? log 1 x
3

C. f ( x) ? ln x ) C.

D. f ( x) ?

1 x

4.下列各选项中,与 sin2011° 最接近的数是( A. ?

1 2

B.

1 2


2 2

D. ?

2 2

5.下列四个命题中正确的是( A. lg 2 ? lg 3 ? lg 5 C. n a n ? a

B. a m ? a n ? a mn D. loga x ? loga y ? loga

x y

高一年级数学试卷

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6.已知函数 f ( x) ? ?

?3 x ( x ? 0) 1 , 则f [ f ( )] ? ( 2 ?log2 x( x ? 0)
B. log2



A.-1

3
2

C. 3

D.

1 3


5 7.设 a ? ),b ? ( 5 ( ) c ? ) ,则 a,b,c 的大小关系是( , ( 5

3 5

2

2 5

3

2 5

B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a ?? ? 8. 为了得到函数 y ? sin ? 3x ? ? 的图象, 只需把函数 y ? sin 3x 的图象上所有的点 ( 4? ?
A. 向左平移 C. 向右平移

A.a>c>b

) 。

?
4

个单位长度 ; 个单位长度;

B. 向左平移

?
12

个单位长度; 个单位长度.

?
4

D. 向右平移

?
12

b c a 9.正三角形 ABC 的边长为 1,设 AB ? c , BC ? a , CA ? b ,那么 a ? ? b? ? c ? 的
值是( A. ) B.

??? ?

??? ?

??? ?

3 2

1 2

C. ?

3 2

D. ? )

1 2

10.设函数 f ? x ? ? x3 ? ? ?

?1? ?2?

x ?2

的零点为 x0 ,则 x0 所在的区间是(

1) A. (0,

, B. (1 2)

3) C. (2,

4) D. (3,

第Ⅱ 卷

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 11.函数 f ? x ? 是 y ? 2 的反函数,则函数 f ? x ? 恒过定点________。
x

12.已知平行四边形 ABCD 中,对角线 AC , BD 相交于点 O ,已知 AB ? a, AD ? b ,则

DO ?



D O

C

13. 若 ? 是第四象限角,且 tan ? ? ?

3 ,则 sin ? ? ________。 4

A

B

2 2 14. 若函数 f ( x ) 为奇函数, x ? 0 时,f ( x) ? x ? x , f (?) 的值为 当 则



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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 12 分)已知集合 A 是函数 f ? x ? ? log 1 ? x ? 1? 的定义域.
2

(1)求集合 A ,并求出满足不等式 log 1 ? x ?1? ? 1 的 x 的取值范围;
2

(2)若集合 B 是函数 g ? x ? ? 2x , x ???1,2? 的值域,求出集合 B ,并求出 A ? B . 16. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (3 ,1) 和 b ? (?1, 3) ,若 a ?c ? b ?c ,试求模为 5 的 向量 c 的坐标。 17. (本小题满分 14 分)已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点

?

?

? ? ? ?

?

P(?3, 3) 。
(1)求 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 的值; (2)若 f (? ) ? cos(2 ? ? ) tan?? ? ? ? ? sin? ? 值。 18. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , x ? R ( 其 中

?? ? ?? ? ? ? ? cos ? ? ? ,求 f (? ) 的 ? ?2 ? ?2 ?

A ? 0, ? ? 0, ?

π π ?? ? ) ,其部分图像如图 5 所示。 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)已知横坐标分别为 ? 1 、1 、 5 的三点 M 、 N 、 P 都在函数 f ( x ) 的图像上,求

???? ??? ? ? NM 与 NP 所成角的余弦值。
y

1
?2 ?1 0 ?1

1
图5

2

3

4

5

6 x

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19.(本小题满分 14 分)已知 f ? x ? 为偶函数,且 x ? 0 时, f ? x ? ? (1)判断函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上的单调性,并证明; (2)若 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的值域是 ? , 2 ? ,求 a 的值; 2 2 (3)求 x? ? ??,0? 时函数 f ? x ? 的解析式. 20. (本小题满分 14 分)

1 1 ? (a ? 0) . a x

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出 20 万元将该商店 改建成经营状况良好的某种消费品专卖店,并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有 债务均不计利息) 。 已知该种消费品的进价为每件 40 元;该店每月销售量 q (百件)与销售价 p (元/ 件)之间的关系用右图中的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为 600 元,该店应 交付的其它费用为每月 13200 元. (1)若当销售价 p 为 52 元/件时,该店正好收支 平衡,求该店的职工人数; (2)若该店只安排 40 名职工,则该店最早可在几 年后还清所有债务,此时每件消费品的价格定为多少 元?

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2012 学年度第一学期高一年级期末教学质量检测

数学试卷参考答案
一、选择题 题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

A

B

A

D

D

A

D

C

B

二、填空题 11. ?1,0 ? 12.

a?b 2

13. ?

3 5

14. ?6

15. (本小题满分 12 分)已知集合 A 是函数 f ? x ? ? log 1 ? x ? 1? 的定义域.
2

(1)求集合 A ,并求出满足不等式 log 1 ? x ?1? ? 1 的 x 的取值范围;
2

(2)若集合 B 是函数 g ? x ? ? 2 , x ???1,2? 的值域,求出集合 B ,并求出 A ? B .
x

解: (1)∵函数 f ? x ? ? log 1 ? x ? 1? 有意义的条件是 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 , 故函数 f ? x ? ? log 1 ? x ? 1? 的定义域是 ?x | x ? 1 , ? 即 A ? ?x | x ? 1? .
2

----2 分

2

----3 分 ----4 分

1 1 ? 1 ,∴原不等式变形为 log 1 ? x ? 1? ? og 1 . 2 2 2 2 2 又∵函数 y ? log 1 x 是单调减函数,
∵ log 1
2

∴ x ?1 ?

又因为 x ? 1 ,

1 3 ,得 x ? . 2 2

--5 分

3 2 x (2)∵函数 g ? x ? ? 2 在区间 ? ?1, 2? 上是单调增函数,
∴所求 x 的取值范围是 1 ? x ?

----6 分

高一年级数学答案

第 1 页(共 6 页)

∴ g min ? x ? ? g ? ?1? ? 2

?1

?

gmax ? x ? ? g ? 2? ? 22 ? 4 ,

1 , 2

----7 分 ----8 分

故函数 g ? x ? ? 2x 的值域是 ? y |

? ?

1 ? ? y ? 4? , 2 ?

----9 分 ----10 分 ----12 分

1 ? ? y ? 4? . 2 ? 1? ? ∴ A ? B ? ?x | x ? ? . 2? ?
即 B ? ?y |

? ?

16. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (3 ,1) 和 b ? (?1, 3) ,若 a ?c ? b ?c ,试求模为 5 的 向量 c 的坐标. 解:法 1、设 c ? ( x, y ) , ------1 分 ------3 分 ------5 分

?

?

? ? ? ?

?

( 则 a? ? (3 ,1)? x, y) ? 3x ? y, , c
b ?c ? ( ? 1,3 )? x, y) ? ? x ? 3 y, ( c c 由 a ? ? b? ,得 ?

?3x ? y ? ? x ? 3 y , 2 2 ? x ? y ?5
或?

------8 分

解之得 ?

?x ? 1 ?y ? 2

? x ? ?1 , ? y ? ?2

------10 分

所以 c ? (1, 2) 或 c ? (?1, ?2) . 法 2、∵ a? ? 3? ? ?1? ?1? 3 ? 0 , b ∴ a ? b. 又∵且 a ? b ? 10 , 从而以 a , b 为邻边的平行四边形是正方形,

------12 分 ------2 分 ------3 分 ------5 分 ------7 分 ------9 分

?

?

c c 且由于 a ? ? b? ,所以 c 与 a , b 的夹角相等,从而 c 与正方形的对角线共线。

此外,由于 c ? 5 ,即其长度为正方形对角线长度( 2 c ? 10 )的一半,------10 分 故c ?

?

1 1 (a ? b) ? (1, 2) 或 c ? ? (a ? b) ? (?1, ?2) . 2 2
高一年级数学答案 第 2 页(共 6 页)

------12 分

17. (本小题满分 14 分)已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点

P(?3, 3) .
(1)求 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 的值; (2)若 f (? ) ? cos(2? ? ? ) tan ?? ? ? ? ?sin ? 解: (1)因为角 ? 终边经过点 P(?3, 3) ,所以

?? ? ?? ? ? ? ?cos ? ? ? ? ,求 f (? ) 的值. ?2 ? ?2 ?

r?

? ?3 ?

2

?

? 3?

2

?2 3

------1 分 -----3 分 -----5 分 -----------7 分 --------11 分 --------12 分

? sin ? ?

1 , 2 3 , cos ? ? ? 2 3 tan ? ? ? 3 (2) ∵ f (? ) ? cos ? ? tan ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? ,

? cos ? ? tan ? ? cos ? ? sin ? ? 3? ? 3? ? 3? 1 ? ?? ? 2 ??? ? 3 ? ? ? ? 2 ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

2? 3 4

--------14 分

18. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , x ? R ( 其 中

A ? 0, ? ? 0, ?

π π ?? ? ) ,其部分图像如图 5 所示. 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)已知横坐标分别为 ? 1 、1 、 5 的三点 M 、 N 、 P 都在函数 f ( x ) 的图像上,求 ???? ??? ? ? NM 与 NP 所成角的余弦值. y
1
?2 ?1 0 ?1

1
图5

2

3

4

5

6 x

解: (1)由图可知, A ? 1 ,

………………………………………………………1 分 ………………2 分

最小正周期 T ? 4 ? 2 ? 8,

高一年级数学答案

第 3 页(共 6 页)

所以 T ?



?

? 8,? ?

π . 4 π ? ?) ? 1 , 4

…………………………………3 分 ………………4 分

由图像可知 f (1) ? sin( 又∵ ?

π π ?? ? 2 2 π π 3π ∴ ? ? ?? ? , 4 4 4 π π π ∴ ? ? ? ,? ? . 4 2 4 π ∴ f ( x) ? sin ( x ? 1) . 4 π (2)因为 f ( ?1) ? sin ( ?1 ? 1) ? 0 4 π f (1) ? sin (1 ? 1) ? 1, 4 π f (5) ? sin (5 ? 1) ? ?1 , 4
所以 M (?1,0), N (1,1), P(5, ?1) ,

…………………5 分 …………………6 分 ……………………7 分 ………………8 分 ………………9 分 ………………10 分

???? ? ??? ? NM ? (?2, ?1), NP ? (4, ? 2) ,
???? ??? ? ? NM ? NP ? ?6 , ???? ? ??? ? NM ? 5, NP ? 20 ? 2 5 ,
???? ??? ? ? NM ? NP ?6 3 ?? . 则 cos ?MNP ? ???? ??? ? ? ? 5 5?2 5 NM ? NP

……11 分 ……12 分 ……13 分 ………………………14 分

19. (本小题满分 14 分)已知 f ? x ? 为偶函数,且 x ? 0 时, f ? x ? ? (1)判断函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上的单调性,并证明; (2)若 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的值域是 ? , 2 ? ,求 a 的值; 2 2 (3)求 x? ? ??,0? 时函数 f ? x ? 的解析式. 解: (1)函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是增函数。
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1 1 ? (a ? 0) . a x

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

.………1 分

证明如下: 任取 x1, x2 ? ? 0, ??? ,设 x1 ? x2 ,

?1 1 ? ?1 1 ? 1 1 x ?x f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 x1 x2 ? a x1 ? ? a x2 ? x2 x1
∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 , ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , ∴ f ? x ? 在 ? 0, ??? 上为增函数 (2)由(1)知函数 f ? x ? 在区间 ? , 2 ? 上是增函数,值域为 ? , 2 ? , 2 2 ∴f?

.………3 分

..………6 分

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

.………7 分

?1? 1 ? ? , f ? 2? ? 2 , ?2? 2

.………9 分

1 ?1 ?a ? 2 ? 2 2 ? 即? ,解得 a ? . 5 ?1 ? 1 ? 2 ?a 2 ?
(3)设 x? ? ??,0? ,则 ? x ? ? 0, ?? ? , ∴ f ??x? ?

.………11 分

1 1 1 1 ? ? ? . a ?x a x 1 1 1 1 ? ? ? .. a ?x a x

.………12 分 ………14 分

又因为 f ? x ? 为偶函数,所以 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 20. (本小题满分 14 分)

某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出 20 万元将该商店改建 成经营状况良好的某种消费品专卖店, 并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均 不计利息). 已知该种消费品的进价为每件 40 元;该店每月销售量 q (百件)与销售价 p (元/ 件)之间的关系用右图中的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为 600 元,该店应 交付的其它费用为每月 13200 元. (1)若当销售价 p 为 52 元/件时,该店正好收支平衡,求该店的职工人数; (2)若该店只安排 40 名职工,则该店最早可在几年后还清所有债务,此时每件消费 品的价格定为多少元?
高一年级数学答案 第 5 页(共 6 页)

解: (Ⅰ)设该店的月利润为 S 元,有职工 m 名.则 . S ? q? p?4 0 ?1 0 0? 6 0m ? 1 3 2 0 0 0 ? 又由图可知: q ? ? .………2 分 ………5 分

??2 p ? 140, ? ?? p ? 82 ?

? 40 ? p ? 58? . ? 58 ? p ? 81?

所以, S ? ?

?? ?2 p ? 140 ?? p ? 40 ? ?100 ? 600m ? 13200 ? ?? ? p ? 82 ?? p ? 40 ? ?100 ? 600m ? 13200 ?

? 40 ? p ? 58 ? .……7 分 ?58 ? p ? 81?
.………9 分

由已知,当 p ? 52 时, S ? 0 ,即 ? ?2 p ?140?? p ? 40? ?100 ? 600m ?13200 ? 0 , 解得 m ? 50 .即此时该店有 50 名职工. (Ⅱ)若该店只安排 40 名职工,则月利润

?? ?2 p ? 140 ?? p ? 40 ? ?100 ? 37200 ? S ?? ?? ? p ? 82 ?? p ? 40 ? ?100 ? 37200 ?

? 40 ? p ? 58? . ? 58 ? p ? 81?

.………10 分

当 40 ? p ? 58 时, 求得 p ? 55 时, 取最大值 7800 元. 58 ? p ? 81 时, S 当 求得 p ? 61 时,S 取最大值 6900 元. 综上,当 p ? 55 时,S 有最大值 7800 元. .………12 分

设该店最早可在 n 年后还清债务,依题意,有 12n ? 7800 ? 268000 ? 200000 ? 0 . 解得 n ? 5 .所以,该店最早可在 5 年后还清债务,此时消费品的单价定为 55 元. .………14 分

高一年级数学答案

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