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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件:1-3-1 诱导公式二、三、四


成才之路· 数学
人教A版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
三角函数

第一章 三角函数

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第一章
1.3 三角函数的诱导公式

第一章 三角函数

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第一章
1.3.1 诱导公式二、三、四

第一章 三角函数

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课前自主预习

课堂典例讲练

课后强化作业

第一章

1.3 1.3.1

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课前自主预习

第一章

1.3 1.3.1

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温故知新 1 1.若 sinα+cosα= 2,则 tanα+ 的值为( tanα A.1 B.2 C.-1 )

D.-2

[答案]

B

第一章

1.3 1.3.1

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[解析]

∵(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=2,

1 1 sinα cosα 1 ∴sinαcosα= .又∵tanα+ = + = , 2 tanα cosα sinα sinαcosα ∴原式=2.故选 B.

第一章

1.3 1.3.1

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sinα+cosα 2.已知 =2,则 tanα=________. 2sinα-cosα
[答案] 1
sinα+cosα tanα+1 由 = =2, 2sinα-cosα 2tanα-1

[解析]

解得 tanα=1.

第一章

1.3 1.3.1

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3π 3.(2011 大纲全国高考,文 14)已知 α∈(π, 2 ),tanα=2, 则 cosα=________.

[答案]

5 - 5

第一章

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[解析]

3π ∵α∈(π, ),tanα=2, 2

sinα ∴cosα=2.又 sin2α+cos2α=1,∴5cos2α=1, 5 ∴cosα=- 5 .

第一章

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4.求下列各函数的值: 33π 9π (1)sin(-2820° );(2)tan ;(3)cos . 4 4
[答案] 3 33π (1)sin(-2820° 2 ;(2)tan 4 =1; )=

9π 2 (3)cos = . 4 2

第一章

1.3 1.3.1

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新课引入 对称美是日常生活中最常见的,你知道三角函数的对称美 吗?

第一章

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如果把 x 轴看成平面镜,那么平面直角坐标系中的角 α 关 于 x 轴对称的角的度数是多少?这个角的三角函数值与角 α 的 三角函数值有什么关系?

第一章

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自主预习 认真阅读教材P24-26回答下列问题. 1.特殊角的终边对称性 (1)π+α的终边与角α的终边关于 原点 对称,如图(1); (2)-α的终边与角α的终边关于 x轴对称,如图(2); (3)π-α的终边与角α的终边关于 y轴 对称,如图(3);

第一章

1.3 1.3.1

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π (4) -α的终边与角α的终边关于直线 y=x 2 (4).

对称,如图

第一章

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1 3 已知α的终边与单位圆的交点为P(- , )、π+α,- 2 2 π α、π-α、 2 -α的终边与单位圆分别交于P1、P2、P3、P4,则 有( ) 1 3 A.P1(-2, 2 ) 1 3 C.P3(2, 2 )
[答案] C
第一章 1.3 1.3.1

1 3 B.P2(2, 2 ) 3 1 D.P4(- 2 ,2)

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[解析]

π 由于π+α,-α,π-α, -α的终边与α的终边分 2

1 3 别关于原点、x轴、y轴、直线y=x对称,则P1( ,- ), 2 2 1 3 1 3 3 1 P2(-2,- 2 ),P3(2, 2 ),P4( 2 ,-2).

第一章

1.3 1.3.1

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2.诱导公式
公式一 sin(α+2kπ)=sinα 公式二 sin(π+α)= -sinα 公式三 sin(-α)=-sinα 公式四 sin(π-α)=sinα 说明:(1)公式一中k∈Z. (2)公式一~四可以概括为: a+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的 同名函数值 ,前面 加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. cos(α+2kπ)=cosα cos(π+α)=-cosα cos(-α)= cosα tan(α+2kπ)= tanα tan(π+α)=tanα tan(-α)=-tanα

cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα

第一章

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[破疑点]诱导公式一~四可用口诀“函数名称不变,符号 看象限”记忆,其中“函数名不变”是指等式两边的三角函 数同名,“符号”是指等号右边是正号还是负号,“看象 限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号.

第一章

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若cosα=m,则cos(-α)等于( A.m C.|m|
[答案] A

)

B.-m D.m2

第一章

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1 若sin(π+α)= ,则sinα等于( 3 1 A.3 C.3 1 B.-3 D.-3

)

[答案]

B

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已知tanα=4,则tan(π-α)等于( A.π-4 C.-4
[答案] C

)

B.4 D.4-π

第一章

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3.公式一~四的应用

第一章

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若cos61° =m,则cos(-2041)° =( A.m C.0 B.-m D.与m无关

)

[答案]

B

第一章

1.3 1.3.1

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[解析]

cos(-2041° )=cos2041° =cos(5×360° +241° )=

cos241° =cos(180° +61° )=-cos61° =-m.

第一章

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课堂典例讲练

第一章

1.3 1.3.1

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思路方法技巧
命题方向 1 求值问题

利用诱导公式求任意角三角函数的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化; (2)“大化小”——用公式一将角化为0° 到360° 间的角; (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90° 的角转化为 锐角; (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.

第一章

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[特别提醒] 牢记0° ,30° ,45° ,60° ,90° 角的正弦、余 弦和正切值对给角求值问题很重要!

第一章

1.3 1.3.1

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求下列三角函数值: 43π (1)sin960° ;(2)cos(- ). 6 [分析] 先将不是[0° ,360° )范围内角的三角函数,转化为

[0° ,360° )范围内的角的三角函数(利用诱导公式一),或先将负 角转化为正角,然后再用诱导公式化到[0° ,90° ]范围内的三角 函数的值.

第一章

1.3 1.3.1

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[解析]

(1)sin960° =sin(960° -720° )=sin240° =sin(180°

3 +60° )=-sin60° =- 2 . 43π 43π 7π 7π π (2)cos(- 6 )=cos 6 =cos( 6 +6π)=cos 6 =cos(6+π)= π 3 -cos6=- 2 .

第一章

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[点评]

用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三

角函数, 其一般步骤: ①化负角的三角函数为正角的三角函数; ②化为[0° ,360° )内的三角函数;③化为锐角的三角函数.可 概括为:“负化正,大化小,化到锐角为终了”(有时也直接化 到锐角求值).

第一章

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3 已知 sinα=-5,且 α 是第四象限角,求 tanα[cos(3π-α) -sin(5π+α)]的值. [分析] 先利用诱导公式对其化简, 再利用同角三角函数

的关系求值.

第一章

1.3 1.3.1

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[解析] tanα[cos(3π-α)-sin(5π+α)] =tanα[cos(π-α)-sin(π+α)] =tanα(-cosα+sinα) =tanαsinα-tanαcosα =sinα(tanα-1). 3 ∵sinα=- ,α 是第四象限角, 5 4 3 ∴cosα=5,tanα=-4 3 3 21 ∴原式=(-5)×(-4-1)=20.
第一章 1.3 1.3.1

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解决条件求值问题策略 解决条件求值问题,要仔细观察条件与所求式之间的角、 函数名及有关运算之间的差异及联系,要么将已知式进行变形 向所求式转化,要么将所求式进行变形向已知式转化.总之, 设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.

第一章

1.3 1.3.1

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1 已知 sin(π+α)=- ,求 cos(5π+α)的值. 3 [分析] 分析题意可知, 首先利用诱导公式求出 sinα 的值,

再由诱导公式及同角三角函数的基本关系式求解.

第一章

1.3 1.3.1

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[解析]

1 ∵sin(π+α)=-sinα,∴sinα= , 3
2

∴cosα=± 1-cos α=±

12 2 2 1-? ? =± 3 3

2 2 又∵cos(5π+α)=cos(π+α)=-cosα=± 3 .

第一章

1.3 1.3.1

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1 3 若cos(π-α)=- , π<α<2π.则sin(5π+α)的值是多少? 3 2

第一章

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[解析]

∵cos(π-α)=-cosα

1 3π ∴cosα= ,又∵ <α<2π 3 2 2 2 ∴sinα=- 1-cos α=- 3
2

2 2 ∴sin(5π+α)=sin(π+α)=-sinα= 3 .

第一章

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命题方向 2

三角函数式的化简问题

三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角 函数; (2)常用“切化弦”法,即通常将表达式中的切函数化 为弦函数; (3)注意“1”的变形应用.

第一章

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化简: (1)sin(-α)cos(-α-π)tan(2π+α); sin2?α+π?cos?π+α? (2) . tan?π-α?cos3?-α-π?tan?-α-2π? [分析] 先观察角的特点,选用恰当的诱导公式化简,然

后依据同角关系式求解.

第一章

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[解析]

(1)原式=(-sinα)·cos(π+α)· tanα=-sinα· (-

sinα cosα)· =sin2α. cosα ?-sinα?2· ?-cosα? (2)原式= ?-tanα?· ?-cosα?3· ?-tanα? -sin2αcosα = 2 3 =1. -tan α· α cos

第一章

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sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] 设 k 为整数,化简: . sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α?

第一章

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[解析]

当 k 为偶数时,不妨设 k=2m(m∈Z),

sin?2mπ-α?cos[?2m-1?π-α] 则原式= sin[?2m+1?π+α]cos?2mπ+α? sin?-α?cos?π+α? = sin?π+α?cosα -sinα?-cosα? = =-1; -sinαcosα

第一章

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当 k 为奇数时,可设 k=2m+1(m∈Z), 同理,可得原式=-1. 故对任意整数 k 都有原式=-1.

第一章

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探索延拓创新
命题方向 3 三角函数式的证明问题 三角函数关系式的证明方法
证明简单的三角函数关系式常用的途径有 (1)由左边推至右边或由右边推至左边,遵循的是化繁为简 的原则. (2)证明左边=A,右边=A,则左边=右边,这里的 A 起着 桥梁的作用. 左边 (3)通过作差或作商证明,即左边-右边=0 或 =1. 右边
第一章 1.3 1.3.1

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8 tan(α + π) = m. 求 证 : 7

15 13 sin? π+α?+3cos?α- π? m+3 7 7 = . 20π 22 m+1 sin? 7 -α?-cos?α+ 7 π? [分析] 本题主要考查诱导公式,从已知角的关系入手,

8 将所求各角用 α+7π 表示,然后用诱导公式和三角函数关系式 求解.

第一章

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[解析] 8 8π sin[π+? π+α?]+3cos[?α+ ?-3π] 7 7 左边= 8 8π sin[4π-?α+ π?]-cos[2π+?α+ ?] 7 7 8π 8π -sin?α+ 7 ?-3cos?α+ 7 ? = 8π 8π -sin?α+ 7 ?-cos?α+ 7 ?

第一章

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8 tan?α+ π?+3 7 = 8 tan?π+7π?+1 m+3 = =右边. m+1 ∴等式成立.

第一章

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[点评]

本题是条件等式的证明,证明条件等式一般常用

的方法有两种:一是从被证等式一边推向另一边,并在适当的 时候,将条件代入,推出被证等式的另一边,这种方法称为代 入法;二是直接将条件变形,变形为被证等式,这种方法称为 推出法或直接法.证明条件等式无论使用哪种方法,都要盯住 目标,据果变形.

第一章

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已知 sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tanβ=0.

第一章

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[证明]

π ∵sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+ (k∈Z), 2

π ∴α=2kπ+2-β(k∈Z), π ∴左边=tan[2(2kπ+2-β)+β]+tanβ=tan(4kπ+π-2β+β) +tanβ=tan(π-β)+tanβ=-tanβ+tanβ=0=右边,原等式得 证.

第一章

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名师辨误作答
在化简求值中,往往对 nπ+α(n∈Z)与 2kπ+α(k∈Z)混淆而 忽略对 n 的讨论 4n+1 4n-1 化简:cos( π+x)+cos( π-x)(n∈Z). 4 4

第一章

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[错解]

π π 原式=cos(nπ+ +x)+cos(nπ- -x) 4 4

π π =cos(4+x)+cos[-(4+x)] π =2cos(4+x) [错因分析] 错在没有对 n 进行分类讨论,关键是对公式 一没有理解透.

第一章

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[思路分析] 化简 sin(kπ+α),cos(kπ+α)(k∈Z)时,需对 k 是奇数还是偶数分类讨论,可以证明 tan(kπ+α)=tanα(k∈Z) 是成立的.

第一章

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[正解]

π π 原式=cos(nπ+ +x)+cos(nπ- -x). 4 4

(1)当 n 为奇数时,即 n=2k+1(k∈Z), π π 原式=cos[(2k+1)π+ +x]+cos[(2k+1)π- -x]=- 4 4 π π π cos(4+x)-cos(-4-x)=-2cos(4+x);

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(2)当 n 为偶数时, 即 n=2k(k∈Z), π π 原式=cos(2kπ+ +x)+cos(2kπ- -x) 4 4 π π π =cos(4+x)+cos(-4-x)=2cos(4+x). π ? ?-2cos?4+x?,n为奇数, 故原式=? ?2cos?π+x?,n为偶数. 4 ?

第一章

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