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2011年卓越联盟自主招生数学试题及答案.pdf


2011 年同济等九校(卓越联盟)自主招生数学试题
(1)向量 a,b 均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a,b 的夹角为 (A)

? 6

(B)

? 3

(C)

2? 3

(D)

5? 6

/>
(2)已知 sin2(?+?)=nsin2?,则 (A)

tan(? ? ? ? ? ) 2 2 等于 tan(? ? ? ? ? )

n n n ?1 (C) (D) n ?1 n ?1 n ?1 (3)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为棱 AA1 的中点,F 是棱 A1B1 上的点,且 A1F:FB1=1:3, 则异面直线 EF 与 BC1 所成角的正弦值为
(B) (A)

n ?1 n ?1

15 3

(B)

15 5

(C)

5 3

(D)

5 5

z 2 ? 2z ? 2 (4)i 为虚数单位,设复数 z 满足|z|=1,则 的最大值为 z ?1 ? i
(A) 2 -1 (B)2- 2 (C) 2 +1 (D)2+ 2

(5)已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,△ABC 三个顶点都在抛物线上,且△ABC 的重心为抛物线的焦点,若 BC 边所在直线的方程为 4x+y-20=0,则抛物线方程为 (A)y =16x (B)y =8x (C)y =-16x (D)y =-8x (6)在三棱锥 ABC—A1B1C1 中,底面边长与侧棱长均等于 2,且 E 为 CC1 的中点,则点 C1 到平面 AB1E 的距离为 (A) 3 (7)若关于 x 的方程 (B) 2 (C)
2 2 2 2

3 2

(D)

2 2

|x| =kx2 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为( ) x?4 1 1 (A)(0,1) (B)( ,1) (C)( ,+∞) (D)(1,+∞) 4 4 (8)如图,△ABC 内接于⊙O,过 BC 中点 D 作平行于 AC 的直线 l,l 交 AB 于 E,交⊙O 于 G、F,交⊙O 在 A 点的切线于 P,若 PE=3,ED=2, EF=3,则 PA 的长为
(A) 5 (C) 7 (B) 6 (D)2 2

1

(9)数列{an}共有 11 项,a1=0,a11=4,且|ak+1-ak|=1,k=1,2,…,10.满足这种条件的 不同数列的个数为( (A)100 ) (B)120 (C)140 (D)160

(10)设?是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为

2? 的旋转,?表示坐标平面关于 y 轴 7
k
2 3 4

的镜面反射. 用??表示变换的复合, 先做?, 再做?, 用? 表示连续 k 次的变换, 则??? ?? ?? 是( ) (A)?
4

(B)?

5

(C)? ?
2

(D)??

2

(11)设数列{an}满足 a1=a,a2=b,2an+2=an+1+an. (Ⅰ)设 bn=an+1-an,证明:若 a≠b,则{bn}是等比数列; (Ⅱ)若 lim (a1+a2+…+an)=4,求 a,b 的值.
n??

1)考察数列定义 2)a1+a2+a3+...+an=an-an-1+2(an-1-an-2)+3(an-2-an-3)+...+(n-1)(a2-a1)+na1 =bn+2bn-1+3bn-3+...+b1+na(错位相减,可得 a,b 的值) (12)在△ABC 中,AB=2AC,AD 是 A 的角平分线,且 AD=kAC. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)若 S△ABC=1,问 k 为何值时,BC 最短?

2

(13)已知椭圆的两个焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆与直线 y=x- 3 相切. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F1 作两条互相垂直的直线 l1,l2,与椭圆分别交于 P,Q 及 M,N,求四边形

PMQN 面积的最大值与最小值.

3

(14)一袋中有 a 个白球和 b 个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中; 如果取出黑球, 则该黑球不再放回, 另补一个白球放到袋中. 在重复 n 次这样的操作后, 记袋中白球的个数为 Xn. (Ⅰ)求 EX1; (Ⅱ)设 P(Xn=a+k)=pk,求 P(Xn+1=a+k),k=0,1,…,b; (Ⅲ)证明:EXn+1=(1-

1 )EXn+1. a?b

4

(15)(Ⅰ)设 f(x)=xlnx,求 f′(x); (Ⅱ)设 0<a<b,求常数 C,使得

1 b | ln x ? C | dx 取得最小值; b ? a ?a

(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为 ma,b,证明:ma,b<ln2.

5

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