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2014陕西高考数学考前预测二


加倍数学

考前预测二

预测试题二
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.设集合 A ? x y ? ln( x ? 1) , B ? ? x A.

?

?

? 1 ? ? 1? ,则

A ? B ? ( ? x ?
C. (1, ??) D.



? x x ? 0?

B.

? x x ? 0?

? ??,1?


2.已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 3.函数 f ( x) ? ln x ? A.(1,2) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2 的零点所在的大致区间是( x
B.( e, 3 )

) D. (e, ??) )

C.( 2, e )

4.设 x ? R, z ? x ? i ( i 为虚数单位) , 则 M 与 N 的大小关系为 ( M ? z ? z, N ? z ? z , A. M ? N B. M ? N C. M ? N
5 6

D.无法比较
7

5.已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 5 ,则 (1 ? x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中

x 4 项的系数是数列 ?an ? 中的(
A. 第 9 项 B. 第 19 项

) C.第 10 项 D. 第 20 项

6.如果女大学生身高 x(cm) 与体重 y(kg ) 的关系满足线性回归模型 y ? 0.85 x ? 88 ? e ,其 中 e ? 4 ,如果已知某女大学生身高 160cm ,则体重预计不会低于( A. 44kg B. 46kg C. 50kg ) D. 54kg

? ? ? 7.根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 f ( x) ? ? ? ? ?

c ,x ? A x c ,x ? A A

( A, c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,那 么 c 和 A 的值分别是( A. 75,25 ) C. 60,25 D.60,16

B. 75,16

1

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考前预测二

8. 已知 a, b, c ? R ? ,若 A. c ? a ? b

c a b ? ? ,则( a?b b?c a?c
C. a ? b ? c

) D. c ? b ? a

B. b ? c ? a

9.已知 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、b 、c ,已知 cos 2 A ? cos 2 B ? 2 cos 2C , 则 cos C 的最小值为( A. )

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

10.已知 ? x ? 表示大于 x 的最小整数,例如 ?3? ? 4, ??1.3? ? ?1 .下列命题 ①函数 f ( x) ? ? x ? ? x 的值域是 ? 0,1? ; ②若 ?an ? 是等差数列,则 ?an ? 也是等差数列; ③若 ?an ? 是等比数列,则 ?an ? 也是等比数列; ④若 x ? ?1, 2014? ,则方程 ? x ? ? x ? 其中正确的是( A. ②④ ) B. ③④ C. ①③ D. ①④

? ?
? ?

1 有 2013 个根. 2

二、填空题(把答案填在答题卡相应题号后的横线上,本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) , 过其焦点 F 且倾斜角为 45 的直线与该抛物线交于两点 A 、
2
0

B ,若 AB ? 8 ,则 p 的值为________.
12 执行如图所示的程序框图, 若输入 x ? cos

5? ? lg 10 , 则输出 y 的值为 3
| y ? x |? 1

.

开始

输入x

y?

1 x ?1 2





x? y
结束

输出y

?0 ? y ? 4 ? 13.随机地向区域 ? x ? 0 内投点,点落在区域的每个位置是等可能的,则坐标原点与该 ? y ? x2 ?
点连线的倾斜角不大于 14.观察下列算式:
2

? 的概率是 3



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考前预测二

13 ? 1 ; 23 ? 3 ? 5 ; 33 ? 7 ? 9 ? 11 ; 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ;??
若某数 n3 按上述规律展开后,发现等式右边含有“2013”这个数,则 n ? .

15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分) A.(不等式选做题) 若

x 、 y ? R? 且 x ? y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是____.

B.(平面几何选做题)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BC 是直径,MN 与 ⊙O 相切,切点为 A, ?MAB ? 350 ,则∠D=________. C.(极坐标参数方程选做题) 曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 , 以原点为极点,

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标

方程为___________. 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分)已知向量 m ? (sin x,1), n ? ( 3 A cos x,

A cos 2 x)( A ? 0) ,函数 2

f ( x) ? m ? n 的最大值为 6.
(1)求 A; π 1 (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍, 12 2 纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在 ?0, 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的 (n∈N*),等比数列 ?bn ? 满足

? 5? ? 上的值域. ? 24 ? ?
前 n 项和 Sn ? n2

2 2
正视图 侧视图

A

D

b1 ? a1 , 2b3 ? b4 .
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ? an ? bn (n∈N ),求数列 ?cn ? 的
*

M B C O

2
俯视图 E

前 n 项和 Tn . 18. (本小题满分 12 分)几何体 N F

ABE ? DCF 的三视图如图, EC 与 BF 交于点 O , M , N 分别是直线 DF , EF 的中点.
(I) 证明: MO // 面 ABCD ;
3

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(II)证明: AM ? 面 NMC ; (Ⅲ)求二面角 M ? NC ? F 的平面角的余弦值. 19.(本小题满分 12 分)某高校在 2014 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试 成绩, 按成绩分组: 第 1 组[75, 80), 第 2 组[80, 85), 第 3 组[85, 90), 第 4 组[90, 95), 第 5 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (I)分别求第 3,4,5 组的频率; (Ⅱ) 若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中 用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试, (ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学 生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率; (ⅱ) 学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接 受考官 D 的面试, 设第 4 组中有 ? 名学生被考官 D 面 试,求 ? 的分布列和数学期望.

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 20. (本小题满分 13 分) 设 F1 、 F2 分别是椭圆 4
(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 2 的最大值和最小值; 1 · PF (Ⅱ) 设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、B , 且∠ AOB 为锐角 (其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 21. 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x(a ? R) 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值及函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 设 g ( x) ? ( x ? 2 x)e , 若对任意 x1 ? ? 0,2? , 均存在 x2 ? ? 0, 2? , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,
2 x

求实数 a 的取值范围.

4

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预测二参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 A 9 C 10 D

2 2 2 2 9.提示:利用 cos 2 A ? 1 ? 2sin A 进行转化,继而可得 a ? b ? 2c ,由余弦定理得

cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 c2 ? ,再用基本不等式即可求得. 2ab 2ab

10. 提 示 : 对 ① , 当

x 为 整 数 时 , ? x? ? x ?1 , 即 ? x? ? x ? 1 , 当 x 不 为 整 数 时 ,

0 ? ? x ? ? x ? 1, 所 以 函 数 f ( x) ? ? x ? ? x 的 值 域 是 ? 0, 1 ?即①对;
对②, 当 数 列 ?an ? 是 整 数 构 成 的 等 差 数 列 , 则数列 不是整数构成的等差数列,则数列
n

?? a ?? 也 是 等 差 数 列 ;当 ?an ?
n

?? a ?? 不 是 等 差 数 列 .
?? a ?? : 1,1,1, 2, 2, 2 显 然 不 是
n n

例 如 : 数 列 ?an ? : 0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1.4 ; 那 么 数 列 等差数列.故②错; 对 ③ , 可 取 等 比 数 列 ?an ? : 1, 2, 4,8,16 ; 则 数 列 等比数列,故③错; 对 ④ , 因 为 x ? ?1, 2014? , 方 程 ? x ? ? x ? 有 2013 个根,故 ④ 对 . 故 选 : D.

显 7然 不 是 ?? a ?? 为 : 2, 3, 5, 9, 1

1 , 所 以 x 可取 1.5, 2.5,3.5, 2

, 2013.5 总共

二、填空题(把答案填在答题卡相应题号后的横线上,本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 2 12.

?

3 2

13.

3 3 32

14. 45 15. A

2

0 B 125 C ? ? 2cos ?

5

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三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,本大题共 6 小题,共 75 分) 16. 解: (1) f ( x) ? m ? n ? 3 A sin x cos x ?

A cos 2 x 2

? 3 ? ? 1 ? A sin(2 x ? ) ? A? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 ? 6 2 ? ?
因为 A>0,由题意知 A=6. (2) 由 (1) 得 f ( x) ? 6sin(2 x ?

?
6

) . 将 函 数 y = f(x) 的 图 象 向 左 平 移 12 个 单 位 后 得 到

π

? ? ? ? ?? ? y ? 6sin ?2 ? x ? ? ? ? ? 6sin(2 x ? ) 的图象;再将得到的图象上各点横坐标缩短为 3 ? ? 12 ? 6 ?

? ? 1 原来的 ,纵坐标不变,得到 y ? 6sin(4 x ? ) 的图象.因此 g ( x) ? 6sin(4 x ? ) . 2 3 3
因为 x ? ?0,

? ? ? 7? ? ? 5? ? ,所以 4 x ? ? ? , , ? 3 ?3 6 ? ? ? 24 ?
? 5? ? 上的值域为 ? ?3,6? . ? 24 ? ?

故 g(x)在 ?0,

17.解: (1)∵当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, ∴an=2n-1(n∈N*), ∴b1=a1=1,设等比数列{bn}的公比为 q,则 q≠0. ∵2b3=b4,∴2q2=q3,∴q=2, ∴bn=2n 1(n∈N*).


(2)由(1)可得 cn=an· bn=(2n-1)×2n 1(n∈N*),


∴Tn=1×20+3×2+5×22+?+(2n-1)×2n 1,①


∴2Tn=1×2+3×22+5×23+?+(2n-1)×2n,② ②-①得 Tn=(2n-1)×2n-(1×20+2×2+2×22+?+2×2n 1)


=(2n-1)×2n-(1+22+23+?+2n) =(2n-3)×2n+3. 18.解:由三视图知,四边形 EFCB . BCDA 均为边长为 2 的正方形,且

AB ? BE

BC ? AB, BC ? BE ? BC ? 面 EBA

. . . . . . . . . . . . . .2 分 ? 几何体 ABE ? DCF 是直三棱柱. (1)连接 BD ,

M , O 分别为 DF , BF 的中点
6

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? MO // BD , MO ? 面 ABCD , BD ? 面 ABCD
. . . . . . . . . . . . . .4 分 ? MO // 面 ABCD . (2)法一:在 Rt ?AEN 中,由 AE ? 2 2, EN ? 1 得 AN ? 3 同理在 Rt ?ADN 中可得 AM ? 6 ,在 Rt ?NMF 中可得 NM ? 3

? AN 2 ? AM 2 ? NM 2

? AM ? NM
A

D

由 M 是直线 DF 的中点得 CM ?

2 ,而
M

AC ? 2 2
? AC 2 ? AM 2 ? CM 2
又? NM

? AM ? CM
E

B O N F

C

y

CM ? M

. . . . . . . . . . . . . .8 分 ? AM ? 面 NMC . 法二:如图以 B 为坐标原点,以 BE, BC , BA 所

x

在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标 B ? xyz ,则

B(0, 0, 0) , C (0, 2,0) , N (2,1, 0) , M (1, 2,1) , A(0, 0, 2) ,则 AM ? (1, 2, ?1)
设面 MNC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ?

? ?CN n ? 0

? x?z ?0 ?z ? ?x ?? ?? ? ?CN n ? 0 ?2 x ? y ? 0 ? y ? 2 x

? x ?1 ? 取 x ? 1 ,则 ? y ? 2 ,面 MNC 的一个法向量为 n ? (1, 2, ?1) ? z ? ?1 ?
所以 AM // n ,? AM ? 面 NMC . . . . . . . . . . . . . . .8 分 (3)如图以 B 为坐标原点,以 BE, BC , BA 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标

B ? xyz ,则 B(0, 0, 0) , C (0, 2,0) , N (2,1, 0) , M (1, 2,1) , F (2, 2,0) ,? BC ? (0, 2,0)
因为 BC ? 面 DCF , BC 是面 DCF 的一个法向量.

?CM ? (1,0,1) ,?CN ? (2, ?1,0)
设面 MNC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ?

? ?CN n ? 0

? x?z ?0 ?z ? ?x ?? ?? ? ?CN n ? 0 ?2 x ? y ? 0 ? y ? 2 x

7

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? x ?1 ? 取 x ? 1 ,则 ? y ? 2 ,面 MNC 的一个法向量为 n ? (1, 2, ?1) ? z ? ?1 ?

?cos ? n, BC ??

n BC 4 6 ? ? | n || BC | 6 ?2 3
6 . . . . . . . . . . . . . . .12 分 3

所以二面角 N ? MC ? F 的平面角的余弦值为

19. 解: (1)第三组的频率为 0.06 ? 5 ? 0.3 ;第四组的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ;第五组的频 率为 0.02 ? 5 ? 0.1 . ??3 分
1 C28 1 ? 3 C30 145

(2) (ⅰ)设 M :学生甲和学生乙同时进入第二轮面试 P( M ) ?
i 2 ?i C2 C4 (ⅱ) P(? ? i) ? (i ? 0,1, 2) 2 C6

??6 分

?
P

0

1

2

2 5

8 15

1 15
??10 分

2 8 1 2 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 5 15 15 3
20.解: (Ⅰ)解法一:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 所以 F1 ? 3, 0 , F2

??12 分

?

? ?

3, 0 ,设 P ? x, y ? ,则

?

PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ? y ,

?

??

3 ? x, ? y ? x 2 ? y 2 ? 3 ? x 2 ? 1 ?

?

x2 1 ? 3 ? ? 3x 2 ? 8 ? 4 4

?2 因为 x ?? ?2, 2? ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF 1 ? PF2 有最小值
1 当 x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF 1 ? PF2 有最大值
解法二:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,所以 F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?
2

3, 0 ,设 P ? x, y ? ,则
2 2

?

PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? cos ?F1 PF2 ? PF1 ? PF2 ?

PF1 ? PF2 ? F1 F2 2 PF1 ? PF2

8

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?

2 2 1? x ? 3 ? y 2 ? x ? 3 ? y 2 ? 12? ? x 2 ? y 2 ? 3 (以下同解法一) ? ? ? 2?

?

?

?

?

(Ⅱ)显然直线 x ? 0 不满足题设条件,可设直线 l : y ? kx ? 2, A? x1, y2 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? y ? kx ? 2 1? ? ? 联立 ? x 2 ,消去 y ,整理得: ? k 2 ? ? x 2 ? 4kx ? 3 ? 0 2 4? ? ? ? y ?1 ?4
∴ x1 ? x2 ? ?

4k 1 k2 ? 4
? ?

, x1 ? x2 ?

3 k2 ? 1 4

由 ? ? ? 4k ? ? 4 ? k ?
2

3 3 1? 2 或k ? ? ? ? 3 ? 4k ? 3 ? 0 得: k ? 2 2 4?

又 0 ? ?A0B ? 90 ? cos ?A0B ? 0 ? OA ? OB ? 0
0 0

∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0

?k 2 ? 1 ?8k 2 ? ?4 ? 又 y1 y2 ? ? kx1 ? 2?? kx2 ? 2? ? k x1x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 1 1 1 k2 ? k2 ? k2 ? 4 4 4
2

3k 2



3 1 k ? 4
2

?

?k 2 ? 1 ? 0 ,即 k 2 ? 4 1 k2 ? 4

∴ ?2 ? k ? 2

故由①、②得 ?2 ? k ? ?

3 3 或 ?k?2 2 2
2 1 , f ?(1) ? ?a ? 1, f ?(3) ? a ? ,由 f ?(1) ? f ?(3) 得 x 3

21. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

2 , ??2 分 3 2 7 2 (2 x ? 3)( x ? 2) 3 f ?( x) ? x ? ? ? 得其单调递增区间为 (0, ),(2, ??) 单调递减区间为 3 3 x 3x 2 3 ( , 2) . ??5 分 2 a?

? x)=(x ? 2)e 可知 当 (Ⅱ) 若要命题成立, 只须当 x ? ?0, 2? 时, f ( x) max ? g ( x)max , 由g (
2 x

x ? ? 0, 2? 时 g ( x)max ? g (0) ? g (2) ? 0 ,所以只须 f ( x) max ? 0
对 f ( x ) 来说, f ?( x) ? ax ? (2a ?1) ?

??7 分

2 ( ax ?1)( x ? 2) ? , x x
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1 1 1 ?2 时, f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ln a ? 2 a 2a 1 1 ? 2 求导可 当 a ? 1 时,显然小于 0,满足题意,当 ? a ? 1 时,可令 h( x) ? ?2 ln a ? 2 2a 1 1 1 ? 2 ? 0 ,满足题意,所以 a ? 满 知该函数在 ? a ? 1 时单调递减, h( x) ? ?2 ln a ? 2 2a 2
①当 a ? 足题意. ② 当a ? ??10 分

1 时, f ( x ) 在 x ? ? 0, 2? 上单调递增, f ( x) max ? f (2) ? 2ln 2 ?2 a ?2 ? 0 得 2 1 ln 2 ? 1 ? a ? ??12 分 2
综上所述,满足题意的 a ? ln 2 ?1 ??14 分

10


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