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辽宁省沈阳铁路实验中学2013届高三寒假验收考试文科数学试题

时间:2013-03-26


沈阳铁路实验中学 2013 届高三年级寒假验收考试

数学试题(文)
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题意要求的. A. ?- 1,2,2? - 1,

- 1, , 1.已知集合 A ? ?- 2,1,2? B ? x
B. ? , 3? 1

2,

?

x ? 4 ,则 A ? B 等于( ) C. ?0,2? D. ? 2? 1, 1,


?

2.已知 i 为虚数单位,复数

1 ? 3i 的实部和虚部之和为( 1? i
C. 2

A. 0

B. 1

D.3 ,则 z ? x ? y 的最小值是

?x ? 0 ? 3. 若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ?2 x ? y ? 3 ?
(A)-3 (B)0 (C)

3 2

(D)3 )

4. 已知|m|= 3 ,|n|=1,|m-2n|=1,则向量 m 与 n 的夹角为( A.

? ? ? C. D. 4 3 2 x 5. 在下列区间中,函数 f ( x ) ? e ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为( ) ?1 1? ? 1 ? ? 1? ?1 3? A. ? , ? B. ? ? ,0 ? C. ? 0, ? D. ? , ? ?4 2? ? 4 ? ? 4? ?2 4? 1 6.已知等比数列 ?a n ? 中, 各项都是正数, a1 , a3 ,2a 2 成等差数列, 且 2 a8 ? a 9 则 =( ) a6 ? a7
B. D. 3 ? 2 2 7. 阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出 s 值等于 A -3 B -10 C 0 D -2 8. 把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵 坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长 度,得到的图像是

? 6

2 C. 3 ? 2 2

A. 1 ?

B. 1 ? 2

9.函数 f ( x ) ? x ? sin x ? 2 的图像(
3

) B. 关于点(0,2)对称 D. 关于点(0,-2)对称
2 2

A. 关于点(2,0)对称 C. 关于点(-2,0)对称

10. 直线 l : mx ? ( m ? 1 ) y ? 1 ? (m为常数) ,圆 C : ( x ? 1 ) ? y ? 4 ,则( 0 A. 当 m 变化时,直线 l 恒过定点(-1,1) B. 直线 l 与圆 C 有可能无公共点 C. 对任意实数 m ,圆 C 上都不存在关于直线 l 对称的两点 D. 若直线 l 与圆 C 有两个不同交点 M,N,则线段 MN 的长的最小值为 2 3 11. .如图是某几何体的三视图,其中正视图是斜边长为 2a 的直角三角 形,侧视图是半径为 a 的半圆,则该几何体的体积是 ( )



3 3 3 3 B. ?a ?a C. 3?a 3 D. 2 3?a 3 6 4 2 12.设抛物线 y ? x 的焦点为 F ,点 M 在抛物线上,线段 MF 的延长 1 1 1 ? 线与直线 x ? ? 交于点 N ,则 的值为( ) MF NF 4
A. A.

1 4
3

B.

1 2

C. 2

D.4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 f ( x ) ? x ? ax( x ? R ) 在 x=1 处有极值,则曲 线 y ? f ( x ) 在原点处的切线方程 是 14.设 .

sin ? ? cos ? ? ? 2 ,则 tan( ? ? ) ? sin ? ? cos ? 4

. .

15.若从区间(0,2)内随机取两个数,则这两个数的和不小于 3 的概率为

y2 ? 1 的两个焦点,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线和双曲线的一个 m ???? ???? ? ? 交点为 A ,满足 AF2 ? F1 F2 ,则 m 的值为__________.
16. F1 , F2 是双曲线 x ?
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分 12 分)

已知锐角 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,向量 m=( cos C ? sin C ,1),n=( cos C ? sin C , (1) 求角 C 的大小 ; (2) 若边 c=2,求 ?ABC 面积的最大值.

1 ),且 m ? n. 2

18.(本小题满分 12 分) 一次数学模拟考试,共 12 道选择题,每题 5 分,共 60 分,每题有 4 个可供选择的答案,仅 有一 个是正确的, 学生小张只能确定其中 10 道题 的正确答案, 其余 2 道题完全靠猜测回答. (1) 求小张仅答错一道选择题的概率; (2) 小张所在班级共有 40 人。此次考试选择题得分情况统计表: 得分(分) 百分率 40 15% 45 10% 50 25% 55 40% 60 10%

先采用分层抽样的方法从此班抽取 20 人的试卷进行 选择题质量分析. (i)应抽取多少张选择题得 60 分的试卷? (ii)若小张选择题得 60 分,求他的试卷被抽到的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 直 三 棱 柱 ABC — A1B1C1 ,

?ACB ? 90? ,

AC ? BC ? 2 , AA1 ? 4 ,E、F 分别是棱 CC1、AB 中点.
(1)判断直线 CF 和平面 AEB1 的位置关系, 并加以证明; (2) 求四棱锥 A—ECBB1 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F?1,0? , M 为椭圆的上顶点, O 为坐标原点, a 2 b2

且 ?OMF 是等腰直角三角三角形. (1) 求椭圆的方程; (2) 是否存在直线 l 交椭圆于 P、Q 两点,且使点 F 为 ?PQM 的垂心?若存在,求 出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

21.已知函数 f(x) ?

1 2 x ? a ln x?a ? R ? . 2

(1) 若 a ? ?1 ,求函数 f(x) 的单调递增区间; (2) 当 x ? 1 时, f(x) ? lnx 恒成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 的直径, D, E 为圆上位于 AB 异侧的两点, 连结 BD 并延长至点 C ,使 BD ? DC ,连结 AC , AE , DE . 求证: ?E ? ?C .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

3 ? ? x ? ?1 ? 5 t ? ?t为参数? ,若以坐标原点 O 为 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?1 ? 4 t ? 5 ? ? 极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin( ? ? ) . 4
(1) 求曲线 C 的直角坐标方程;
(2) 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 函数 f(x) ? x - 1 ? x ? 2 (1) 画出函数 y ? f(x) 的图像; (2) 若 不等式 a ? b ? a ? b ? a f ( x )?a ? 0.a、b ? R ? 恒成立,求实数 x 的范围.

试题答案
一.选择题 1.D 2.B 3.A 4. A 5.A 6.C 7.A 8.A 9.B 10.D 11.A 12.C 二 填空题 13. y=-3x 三解答题 17. 14. -2 15. 1/8 16. m ? 2 ? 2 2

18.

19.(1)解:CF//平面 AEB1,…… 2 分 证明如下: 取 AB1 的中点 G,联结 EG, FG
? F, G 分别是棱 AB、AB1 中点

? FG // BB1 , FG ?

1 BB1 . …… 4 分 2 1 ? EC // BB1 , EC ? BB1 . ? FG // EC , FG ? EC 2
? 四边形 FGEC 是平行四边形

? CF // EG.
…… 6分

又? CF ? 平面 AEB, EG ? 平面 AEB1, ? CF // 平面 AEB1。 (2)解:? 三棱柱 ABC—A1B1C1 是直棱柱,

? BB1 ? 平面 ABC, 又? AC ? 平面 ABC ? AC ? BB1

? ?ACB ? 90?
9分

? AC ? BC

? BB1 ? BC ? B.

? AC ? 平面 ECBB1 ……
?V A? ECBB1 ? ? EC ? 1 S SCBB1 ? AC 3

? E 是棱 CC1 的中点,

1 1 1 AA1 ? 2 ? S ECBB1 ? ( EC ? BB1 ) ? BC ? ? (2 ? 4) ? 2 ? 6 2 2 2 1 1 …… 12 分 ?V A? ECBB1 ? S ECBB1 ? AC ? ? 6 ? 2 ? 4. 3 3
20.

21.

22.证明:连接 AD 。 ∵ AB 是圆 O 的直径,∴ ?ADB ? 900 又∵ BD ? DC , AD 是线段 BC 的中垂 线 ∴ 又∵ D, E 为圆上位于 AB 异侧的两点, ∴ ?B ? ?E ∴ ?E ? ?C ∴ AB ? AC

∴ AD ? BD ∴ ?B ? ?C