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闸北区2014年高三数学理科二模试卷

时间:2014-05-07


闸北区 2014 届高三下学期 4 月第二次模拟考试数学理试卷
本试卷共有 16 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.
一、填空题(54 分)本大题共有 9 题,每个空格填对得 6 分,否则一律得零分. 1.设 a ? R ,是虚数单位.若复数 2.不等式

a ?i 是纯虚数,则 a ? 3?i

r />
4 ? x 的解集为______. x

1 1 ? 的最小值为______. a b 4.在极坐标系中,曲线 C1 ? ? cos ? 与 C2 ? ? a (a ? 0) 只有一个交点,则 a ?
3.若 2 是 log 2 a 与 log 2 b 的等差中项,则



5.若轴截面是正方形的圆柱的上、下底面圆周均位于一个球面上,且球与圆柱的体积 分别 为 V1 和 V2 ,则 V1 : V2 的值为 . 6.如右图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 CC1 的中 点,则直线 DE 与平面 A1 BC1 的夹角为______. 7.如右图, ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片, 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,得

A 、 B 、 C 、 D 四个点重合于图中的点 P ,正好形成一个正四棱柱 形状的包装盒, E 、 F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形斜 边的两个端点.设 AE ? FB ? x cm.若要使包装盒的侧面积最大,
则 x 的值为______. 8.设 a ? R , a n ? n ? a n ,若 ?a n ? 是单调递减数列,则 a 的取值范围为______. 9.已知集合 A ? ( x, y ) | y ? m x , B ? ?( x, y ) | y ? x ? m? ,若集合 A ? B 中仅含有一 个元素,则实数 m 的取值范围是 .

?

?

二、选择题(18 分)本大题共有 3 题,每题选对得 6 分,否则一律得零分. 10.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中 任取两球,两球颜色不同的概率等于 【 】

8 3 2 11 B. C. D. 15 5 3 15 11.函数 f ( x) ? M sin ?x(? ? 0) ,在区间 ?a, b? 上是增函数,且 f (a ) ? ? M , f (b) ? M 则 函数 f ( x) ? M cos ?x 在区间 ?a, b? 上 【 】
A. A.是增函数 C.可以取得最大值 M B.是减函数 D.可以取得最小值 ? M

12.现有某种细胞 100 个,其中有约占总数

1 的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞分裂成 2 2 个细胞,按这种规律发展下去,要使细胞总数超过 1010 个,需至少经过【 】
A.42 小时 B.46 小时 C.50 小时 D.52 小时

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三、解答题(78 分)本大题共有 4 题,请在答题纸内写出必要的步骤. 13.本题满分 18 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分 已知函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上是增函数,值域为 ?0,?? ? ,且满足: f (? x) ? 设 F ( x) ?

1 . f ( x)

1 ? f ( x) . 1 ? f ( x)

(1)求函数 y ? F ( x) 值域和零点; (2)判断函数 y ? F ( x) 奇偶性和单调性,并给予证明.

14.本题满分 18 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分

x2 如图, 平面 ? 内一椭圆 C : ? y 2 ? 1 ,F1 、 4 F2 分别是其焦点, P 为椭圆 C 上的点,已知

AF1 ? ? , BF2 ? ? , AF1 ? BF2 ? 1 ,
直线 PA 、 PB 和平面 ? 所成角分别为 ? 、 ? . (1)求证: cot ? ? cot ? ? 4 ; (2)若 ? ? ? ? 的大小.

?
2

,求直线 PA 与 PB 所成角

15.本题满分 20 分,第 1 小题满分 10 分,第 2 小题满分 10 分 设 ?a n ? 是正数组成的数列,其前 n 项和为 S n ,并且对任意的 n ? N ? , a n 与 2 的等差中 项等于 S n 与 2 的等比中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 A ? ?a1 , a 2 ,? ? ?, a n ,? ? ?? , bn ? 2 ? 3 n ?1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . ① 求证:对任意的 n ? N ? ,都有 bn ? A ; ② 设数列 ?bn ? 的第 n 项是数列 ?a n ? 中第 r 项,求 lim
n ??

r 的值. Tn

16.本题满分 22 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 8 分 已知反比例函数 y ?

1 的图像 C 是以 x 轴与 y 轴为渐近线的等轴双曲线. x

(1)求双曲线 C 的顶点坐标与焦点坐标; (2)设 A1 、 A2 为双曲线 C 的两个顶点,点 M ( x 0 , y 0 ) 、 N ( y 0 , x 0 ) 是双曲线 C 上不同的 两个动点.求直线 A1 M 与 A2 N 交点的轨迹 E 的方程; ( 3 )设直线过点 P (0,4) ,且与双曲线 C 交于 A 、 B 两点,与 x 轴交于点 Q .当

PQ ? ?1 QA ? ? 2 QB ,且 ?1 ? ? 2 ? ?8 时,求点 Q 的坐标.

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闸北区高三数学(理科) 参考答案与评分标准
一、1.

1 ; 3

2. ?0,2 ? ;

6. arcsin 二、10.D

15 ; 5
11.C

7.15; 12.B

1 ; 2 ? 1? 8. ? 0, ? ; ? 2?
3.

4.1; 9. ?? 1,1? .

5.

4 2 ; 3

三、13.本题满分 18 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分

1 ? f ( x) 2 , ? ?1 ? 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) 1 ?1 ? f ( x) ? 0 ,? 0 ? 1 ? f ( x) ? ?1 ? F ( x) ? 1 ,故, y ? F ( x) 的值域为 ?? 1,1? ;---------------------------------------- 4 分 1 ,令 x ? 0 , f (0) ? ?1 , ? f (? x) ? f ( x) ? f ( x) ? 0 ,? f (0) ? 1 . 故, y ? F ( x) 的零点为 x ? 0. ---------------------------------------------------------------------4 分 1 1? 1 ? f (? x) 1 ? f ( x) f ( x) (2)对任意的 x ? R , F (? x) ? ? ?? ? ? F ( x) ,-------- 3 分 1 1 ? f (? x) 1 ? f ( x) 1? f ( x) 所以, y ? F ( x) 是奇函数.----------------------------------------------------------------------- 2 分 由已知, y ? f ( x) 在定义域 R 上是增函数, 所以,对任意的 x1 , x 2 ? R , x1 ? x 2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 . f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 2 2 ? ? ? 0 .------------3 分 又 F ( x1 ) ? F ( x 2 ) ? 1 ? f ( x1 ) 1 ? f ( x 2 ) (1 ? f ( x1 ))(1 ? f ( x 2 )) 所以, y ? F ( x) 在定义域 R 上是减函数.-----------------------------------------------------2 分
解: (1) F ( x) ? 14.本题满分 18 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分 解: (1)? PF1 ? PF2 ? 4 ,---------------------------------------------------------------------4 分

? cot ? ? cot ? ? 4 . -------------------------------------------------------------------4 分 1 (2) cot ? ? tan ? ? 4 , sin 2? ? .----------------------------------------------------------4 分 2 2 2 2 AP ? BP ? F1 F2 csc 2 ? ? sec 2 ? ? 12 1 ? 3 sin 2 2? 1 cos ?APB ? ? ? ? .----5 分 2 AP ? BP 2 csc ? sec ? sin 2? 2
所以, ?APB ? 60 ? . 注:由 sin 2? ? ---------------------------------------------------------------------4 分

1 ? 5? ? 解得 ? ? 或 ,由椭圆的对称性,只要计算当 ? ? 时即可, 2 12 12 12 ? 5? ? 此时 AP ? csc , BP ? csc ? sec ,后面同样给分. 12 12 12
第3页 共6页

15.本题满分 20 分,第 1 小题满分 10 分,第 2 小题满分 10 分 解: (1)解一:由题意 当 n ? 1 时, a1 ?

an ? 2 1 ? 2 S n , a n ? 0 ,得 S n ? (a n ? 2) 2 2 8

1 (a1 ? 2) 2 ,得 a1 ? 2 ;--------------------------------------------------------2 分 8 1 当 n ? 2 时, S n ?1 ? (a n ?1 ? 2) 2 . 8 1 所以, a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? [(a n ?1 ? 2) 2 ? (a n ? 2) 2 ] . 8 整理,得 (a n ?1 ? a n )(a n ?1 ? a n ? 4) ? 0 .---------------------------------------------------------4 分
由题意知 a n ?1 ? a n ? 0 ,所以 a n ?1 ? a n ? 4 .---------------------------------------------------2 分 所以数列 ?a n ? 为首项为 2,公差为 4 的等差数列,即 a n ? 4n ? 2 .-----------------------2 分 解二:由题意

an ? 2 ? 2S n , a n ? 0 , 2 解得 a1 ? 2 , a 2 ? 6 , a3 ? 10 ,猜想 a n ? 4n ? 2 .-----------------------------------------3 分
---------------------------------------------------------1 分 1? 当 n ? 1 时,结论显然成立; ? 2 假设 n ? k 时,结论成立,即 a k ? 4k ? 2 .--------------------------------------------------1 分

ak ? 2 ? 2S k , 2 将 a k ? 4k ? 2 代入上式,得 2k ? 2 S k ,解得 S k ? 2k 2 .
由题意有

a ?2 ?a ? 2? ? 2 S k ?1 ,即 ? k ?1 由题意有 k ?1 ? ? 2?a k ?1 ? 2k 2 ?. 2 2 ? ? 2 2 整理,得 a k ?1 ? 4a k ?1 ? 4 ? 16k ? 0 . 由于 a k ?1 ? 0 ,解得: a k ?1 ? 4k ? 2 ? 4(k ? 1) ? 2 .----------------------------------------4 分
综上所述,对所有的 n ? N ? , a n ? 4n ? 2 .---------------------------------------------------1 分 (2)①只要证:对任意的 n ? N ? ,存在 m ? N ? ,使得 2 ? 3 n ?1 ? 4m ? 2 ,即 3 n ?1 ? 1 ? 2m . 解一:因为 3 n ?1 是奇数,所以 3 n ?1 ? 1 为偶数,-------------------------------------------------2 分

2

3 n ?1 ? 1 ,使得 2 ? 3 n ?1 ? 4m ? 2 .------------------------------------3 分 2 所以,数列 ?bn ?中的所有项都在数列 ?a n ? 中,即 B ? A .
故,存在正整数 m ? 解二:因为 3
n ?1 1 n?2 n?2 ? 1 ? 2 n ?1 ? C n ? ? ? ? ? ?? 1? C n ?1 2 ?1 2 ? ?? 1? ? 1 ,---------------1 分 n ?1 n

当 n 为奇数时, m ? 2 当 n 为偶数时, m ? 2

n?2 n?2

1 n ?3 n?2 ? Cn ? ? ? ? ? ?? 1? C n ?1 2 ?1 ? 1 .-----------------------------2 分 解三:数学归纳法: k ? 1 显然成立; -------------------------------------------------1 分 ? 假设 bk 在数列 ?a n ? 中,存在 m ? N ,使得 bk ? 4m ? 2 ,---------------------------------1 分 bk ?1 ? 3bk ? 3(4m ? 2) ? 4(3m ? 1) ? 2 . 所以,数列 ?bn ?中的所有项都在数列 ?a n ? 中,即 B ? A .----------------------------------3 分 n ?1

1 n ?3 n?2 ? Cn ? ? ? ? ? ?? 1? C n ?1 2 ?1 ,---------------------------------2 分 n ?1

② 2 ? 3 n ?1 ? 4r ? 2 ,解得 r ?

3 n ?1 ? 1 , Tn ? 3 n ? 1 ,-------------------------------------3 分 2

第4页 共6页

? lim

r 3 n ?1 ? 1 1 ? lim ? . n n ?? T n ?? 2 ? (3 ? 1) 6 n

-------------------------------------------------2 分

16.本题满分 22 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 8 分 解: (1)顶点: A1 (?1,?1) 、 A2 (1,1) , --------------------------------------2 分 焦点: F1 (? 2 ,? 2 ) 、 F2 ( 2 , 2 ) 为焦点.--------------------------------------4 分

y0 ? 1 x ?1 ( x ? 1) , A2 N : y ? 1 ? 0 ( x ? 1) --------------2 分 x0 ? 1 y0 ? 1 y ? 1 x0 ? 1 2 2 ? ( x ? 1) . 两式相乘,得 y ? 1 ? 0 --------------------------------------2 分 x0 ? 1 y 0 ? 1 1 将 y0 ? 代入上式,得 y 2 ? 1 ? ?( x 2 ? 1) ,即 x 2 ? y 2 ? 2 .----------------------------3 分 x0
(2)解一: A1 M : y ? 1 ?
2 2 即直线 A1 M 与 A2 N 交点的轨迹 E 的方程为 x ? y ? 2 ( x ? ?1 ) .--------------------1 分

x? y?2 ? ? x0 ? x ? y , ? 解二:联立直线方程,解得 ? --------------------------------------2 分 ?y ? y ? x ? 2 . 0 ? x? y ? x? y?2 y?x?2 1 ,即 ? ? 1 ,化简,得 x 2 ? y 2 ? 2 .------------------------3 分 ? y0 ? x0 x? y x? y
所以,直线 A1 M 与 A2 N 交点的轨迹 E 的方程为 x ? y ? 2 ( x ? ?1 ) .---------------1 分 (3)直线斜率不存在或为 0 时显然不满足条件; -------------------------------------1 分
2 2

设直线: y ? kx ? 4 , A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 Q (? 将 y ? kx ? 4 代入 y ?

4 ,0) -------------------------------1 分 k

1 ,得 kx 2 ? 4 x ? 1 ? 0 , --------------------------------------1 分 x 4 1 -------------------------------------1 分 x1 ? x 2 ? ? , x1 ? x 2 ? ? . k k 4 4 ? 4 ? ? ? ? ? ? PQ ? ?1 QA ? ? 2 QB ,? ? ? ,?4 ? ? ?1 ? x1 ? , y1 ? ? ? 2 ? x 2 ? , y 2 ? ,-----------1 分 k k ? k ? ? ? ? ? ?4 ?4 ?1 ? ?2 ? ? ? ?8 ,即 k ( x1 ? x 2 ) ? 8 ? 2(kx1 ? 4)(kx 2 ? 4) , kx1 ? 4 kx 2 ? 4 解得 k ? ?2 , --------------------------------------2 分 . --------------------------------------1 分 ? Q(2,0) y?4 1 2 解二:将 x ? 代入 y ? ,得 y ? 4 y ? k ? 0 , --------------------------------------1 分 k x y1 ? y 2 ? 4 , y1 ? y 2 ? ?k -----------------------------------------1 分

? PQ ? ?1 QA ? ? 2 QB 4 4 ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ,?4 ? ? ?1 ? x1 ? , y1 ? ? ? 2 ? x 2 ? , y 2 ? k k ? k ? ? ? ? ? 4 4 ? ?4 ? ?1 y1 ? ? 2 y 2 ,? ?1 ? ? , ? 2 ? ? . y1 y2

-----------------------------------------1 分

第5页 共6页

1 1 ? ? 2 ,即 y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 . y1 y 2 --------------------------------------2 分 ? 4 ? 2(?k ) ? k ? ?2 , --------------------------------------1 分 ? Q(2,0) .
又 ?1 ? ? 2 ? ?8 ,

第6页 共6页


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