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山西省晋中市2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


2015-2016 学年山西省晋中市高二(上)期中数学试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是(

)

A.

B.

C.

D.

2

.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图

形是(

)

A.

B.

C.

D.

3.直线 xsinα﹣y+1=0 的倾斜角的变化范围是( A. (0, ) B. (0,π) C.[﹣ , ]

) D.[0, ]∪[ ,π)

4.过点(﹣1,3)且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为( ) A.2x+y﹣1=0 B.2x+y﹣5=0 C.x+2y﹣5=0 D.x﹣2y+7=0 5.已知圆 x2+y2+Dx+Ey=0 的圆心在直线 x+y=l 上则 D 与 E 的关系是( A.D+E=2 B.D+E=1 C.D+E=﹣1 D.D+E=﹣2 )

6.以线段 AB:x+y﹣2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( ) 2 2 2 2 A. (x+1) +(y+1) =2 B. (x﹣1) +(y﹣1) =2 C. (x+1)2+(y+1)2=8 2 +(y﹣1)2=8

D. (x﹣1)

7.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成 ) 角的正弦值为(

A.

B.

C.

D.

8.某几何体的三视图如图所示,根据图中数据,可得该几何体的体积是(

)

A.

B.

C.

D.

9. E、 F 分别为棱 AA1、 BB1 的中点, G 为棱 A1B1 在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, ) 上的一点,且 A1G=λ(0≤λ≤1) ,则点 G 到平面 D1EF 的距离为(

A.

B.

C.

D.

10.已知 m,n 是两条直线,α,β 是两个平面,有以下命题: ①m,n 相交且都在平面 α,β 外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则 α∥β; ②若 m∥α,m∥β,则 α∥β; ③若 m∥α,n∥β,m∥n,则 α∥β. ) 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3

11.若动点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 上移动,则 ) 线段 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( A.2 B.3 C.3 D.4 12.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0 和 x+y+b=0,已知 a、b 是关于 x 的方程 x2+x+c=0 的 两个实根,且 0≤c≤ ,则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为( A. B. C. D. )

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知空间四边形 ABCD 的各边及对角线相等,AC 与平面 BCD 所成角的余弦值是 __________. 14.不论 m 取什么实数,直线(2m﹣1)x﹣(m+3)y﹣(m﹣11)=0 恒过定点__________. 15.两圆 x2+y2﹣4x+6y=0 和 x2+y2﹣6x=0 的连心线方程为__________. 16.如图,ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体,下面结论中正确的是__________. ①BD∥平面 CB1D1; ②AC1⊥平面 CB1D1; ③AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 ; ④CB1 与 BD 为异面直线.

三、解答题 17.如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、PC 的中点; (1)求证:MN∥平面 PAD. (2)在 PB 上确定一点 Q,使平面 MNQ∥平面 PAD.

18.已知平面内两点 A(8,﹣6) ,A(2,2) . (Ⅰ)求 AB 的中垂线方程; (Ⅱ)求过 P(2,﹣3)点且与直线 AB 平行的直线 l 的方程. 19.点 A(2,0)是圆 x2+y2=4 上的定点,点 B(1,1)是圆内一点,P 为圆上的动点. (1)求线段 AP 的中点的轨迹方程 (2)求过点 B 倾斜角为 135°的直线截圆所得的弦长.

20.如图,在长方体中 ABCD﹣A1B1C1D1,AB=3,BC=AA1=4,点 O 是 AC 的中点. (1)求异面直线 AD1 和 DC1 所成角的余弦值. (2)求点 C 到平面 BC1D 的距离.

21.已知圆 C: (x+1)2+y2=8. (1)设点 Q(x,y)是圆 C 上一点,求 x+y 的取值范围; (2)在直线 x+y﹣7=0 上找一点 P(m,n) ,使得过该点所作圆 C 的切线段最短. 22. BC=2, BD⊥CD, 如图, 已知平行四边形 ABCD 中, 四边形 ADEF 为正方形, 平面 ADEF⊥ 平面 ABCD,G,H 分别是 DF,BE 的中点,记 CD=x,V(x)表示四棱锥 F﹣ABCD 的体积. (1)求 V(x)的表达式; (2)求 V(x)的最大值.

2015-2016 学年山西省晋中市高二 (上) 期中数学试卷 (文 科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】简单空间图形的三视图. 【专题】作图题. 【分析】由三视图的作法规则,长对正,宽相等,对四个选项进行比对,找出错误选项. 【解答】解:本题中给出了正视图与左视图,故可以根据正视图与俯视图长对正,左视图与 俯视图宽相等来找出正确选项 A 中的视图满足三视图的作法规则; B 中的视图满足三视图的作法规则; C 中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等,故其为错误选项; D 中的视图满足三视图的作法规则; 故选 C 【点评】本题考查三视图的作法,解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正,宽相等, 高平齐,利用这些规则即可选出正确选项. 2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图

形是(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】平面图形的直观图. 【专题】作图题;空间位置关系与距离.

【分析】根据斜二测画法知,平行于 x 轴的线段长度不变,平行于 y 的线段变为原来的 , 由此得出原来的图形是什么. 【解答】解:根据斜二测画法知, 平行于 x 轴的线段长度不变,平行于 y 的线段变为原来的 , ∵O′C′=1,O′A′= , ∴OC=O′C′=1,OA=2O′A′=2 由此得出原来的图形是 A. 故选:A.



【点评】本题考查了平面图形的斜二测画法应用问题,是基础题目. 3.直线 xsinα﹣y+1=0 的倾斜角的变化范围是( A. (0, ) B. (0,π) C.[﹣ , ] ) D.[0, ]∪[ ,π)

【考点】直线的倾斜角. 【专题】直线与圆. 【分析】由已知直线方程求出直线斜率的范围,再由斜率为直线倾斜角的正切值得答案. 【解答】解:由 xsinα﹣y+1=0,得此直线的斜率为 sinα∈[﹣1,1]. 设其倾斜角为 θ(0≤θ<π) , 则 tanθ∈[﹣1,1]. ∴θ∈[0, ] ∪[ ,π ) .

故选:D. 【点评】本题考查直线的倾斜角,考查了直线的倾斜角与斜率的关系,是基础题. 4.过点(﹣1,3)且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为( ) A.2x+y﹣1=0 B.2x+y﹣5=0 C.x+2y﹣5=0 D.x﹣2y+7=0 【考点】直线的点斜式方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 【专题】计算题. 【分析】根据题意,易得直线 x﹣2y+3=0 的斜率为 ,由直线垂直的斜率关系,可得所求直线 的斜率为﹣2,又知其过定点坐标,由点斜式得所求直线方程. 【解答】解:根据题意,易得直线 x﹣2y+3=0 的斜率为 , 由直线垂直的斜率关系,可得所求直线的斜率为﹣2, 又知其过点(﹣1,3) , 由点斜式得所求直线方程为 2x+y﹣1=0. 【点评】本题考查直线垂直与斜率的相互关系,注意斜率不存在的特殊情况. 5.已知圆 x2+y2+Dx+Ey=0 的圆心在直线 x+y=l 上则 D 与 E 的关系是( A.D+E=2 B.D+E=1 C.D+E=﹣1 D.D+E=﹣2 【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】计算题. )

【分析】求出圆的圆心坐标,代入直线方程,即可得到 D、E 的关系. 【解答】解:圆的圆心坐标是( 以 ,即 D+E=﹣2. ) ,圆 x2+y2+Dx+Ey=0 的圆心在直线 x+y=l 上,所

故选 D 【点评】本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,考查计算能力,常考题型. 6.以线段 AB:x+y﹣2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( ) 2 2 2 2 A. x+1 + y+1 =2 B x 1 + y 1 =2 C x+1 ( ) ( ) . ( ﹣ ) ( ﹣ ) . ( )2+(y+1)2=8 D. (x﹣1) 2 2 +(y﹣1) =8 【考点】圆的标准方程;两点间的距离公式. 【专题】直线与圆. 【分析】线段 AB:x+y﹣2=0(0≤x≤2)两个端点为(0,2) 、 (2,0) ,由此能求出结果. 【解答】解:∵线段 AB:x+y﹣2=0(0≤x≤2)两个端点为(0,2) 、 (2,0) , ∴以线段 AB:x+y﹣2=0(0≤x≤2)为直径的圆的圆心为(1,1) , 半径为 = .

故选:B. 【点评】本题考查圆的方程的求法,解题时要认真审题,注意两点间距离公式的合理运用. 7.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成 ) 角的正弦值为(

A.

B.

C.

D.

【考点】直线与平面所成的角. 【专题】计算题. 【分析】由题意,由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法 求解直线与平面所成的夹角. 【解答】解:以 D 点为坐标原点,以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空 间直角坐标系(图略) , 则 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,C1(0,2,1) ∴ =(﹣2,0,1) , , >═ =(﹣2,2,0) , = . 且为平面 BB1D1D 的一个法向量.

∴cos<

∴BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为

故答案为 D. 【点评】此题重点考查了利用空间向量,抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平 面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题. 8.某几何体的三视图如图所示,根据图中数据,可得该几何体的体积是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】图表型. 【分析】易得此几何体为一个正方体和正棱锥的组合题,根据图中数据我们易得到正方体和 正棱锥的底面边长和高,根据体积公式,把相关数值代入即可求解. 【解答】解:由三视图可知,可得此几何体为正方体+正四棱锥, ∵正方体的棱长为 ,其体积为:3 , 又∵正棱锥的底面边长为 ,高为 , ∴它的体积为 ×3× ∴组合体的体积= 故选 B. = ,

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,解决本题的关键是得到该几何体的形状. 9. E、 F 分别为棱 AA1、 BB1 的中点, G 为棱 A1B1 在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, ) 上的一点,且 A1G=λ(0≤λ≤1) ,则点 G 到平面 D1EF 的距离为(

A.

B.

C.

D.

【考点】空间点、线、面的位置. 【专题】计算题.

【分析】因为 A1B1∥EF,所以 G 到平面 D1EF 的距离即是 A1 到面 D1EF 的距离,由三角形面 积可得所求距离. 【解答】解:因为 A1B1∥EF,G 在 A1B1 上,所以 G 到平面 D1EF 的距离即是 A1 到面 D1EF 的距离,

即是 A1 到 D1E 的距离,D1E=

,由三角形面积可得所求距离为



故选:D 【点评】本题主要考查空间线线关系、线面关系,点到面的距离等有关知识,特别是空间关 系的转化能力. 10.已知 m,n 是两条直线,α,β 是两个平面,有以下命题: ①m,n 相交且都在平面 α,β 外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则 α∥β; ②若 m∥α,m∥β,则 α∥β; ③若 m∥α,n∥β,m∥n,则 α∥β. ) 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 【解答】解:①m,n 相交且都在平面 α,β 外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β, 则由平面与平面平行的判定定理得 α∥β,故①正确; ②若 m∥α,m∥β,则 α 与 β 相交或平行,故②错误; ③若 m∥α,n∥β,m∥n,则 α 与 β 相交或平行,故③错误. 故选:B. 【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养. 11.若动点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 上移动,则 AB M ) 线段 的中点 到原点的距离的最小值为( A.2 B.3 C.3 D.4 【考点】两点间的距离公式;中点坐标公式. 【专题】计算题. 【分析】根据题意可推断出 M 点的轨迹为平行于直线 l1、l2 且到 l1、l2 距离相等的直线 l 进而 根据两直线方程求得 M 的轨迹方程,进而利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线段 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为,求得答案. 【解答】解:由题意知,M 点的轨迹为平行于直线 l1、l2 且到 l1、l2 距离相等的直线 l,故其 方程为 x+y﹣6=0, ∴M 到原点的距离的最小值为 d= =3 .

故选 C 【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用.考查了数形结合的思想的应用,基本的 运算能力.

12.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0 和 x+y+b=0,已知 a、b 是关于 x 的方程 x2+x+c=0 的 两个实根,且 0≤c≤ ,则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为( A. B. C. D. )

【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】利用方程的根,求出 a,b,c 的关系,求出平行线之间的距离表达式,然后求解距离 的最值. 【解答】解:因为 a,b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根, 所以 a+b=﹣1,ab=c,两条直线之间的距离 d= 所以 d2= ,

=



因为 0≤c≤ , 所以 ≤1﹣4c≤1, 即 d2∈[ , ],所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是 , .

故选:D. 【点评】本题考查平行线之间的距离的求法,函数的最值的求法,考查计算能力. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知空间四边形 ABCD 的各边及对角线相等,AC 与平面 BCD 所成角的余弦值是 .

【考点】直线与平面所成的角. 【专题】计算题. 【分析】由题意可得多面体 ABCD 为正四面体,设点 A 在平面 BCD 内的射影为 O,则 O 是 ∠ACO 为 AC 与平面 BCD 所成角. 等边△ BCD 的中心, 在 Rt△ AOC 中, 根据 cos∠ACO= 求出. 【解答】解:由题意可得多面体 ABCD 为正四面体,设点 A 在平面 BCD 内的射影为 O,则 O 是等边△ BCD 的中心,∠ACO 为 AC 与平面 BCD 所成角. 设正四面体的棱长为 1,则 OC= Rt△ AOC 中,cos∠ACO= 故答案为: = = .

【点评】本题考查直线和平面所成的角的定义和求法,找出直线和平面所成的角,是解题的 关键. 14.不论 m 取什么实数,直线(2m﹣1)x﹣(m+3)y﹣(m﹣11)=0 恒过定点(2,3) . 【考点】恒过定点的直线. 【专题】计算题;函数思想;直线与圆. 【分析】将直线的方程(m﹣2)x﹣y+3m+2=0 是过某两直线交点的直线系,故其一定通过某 个定点,将其整理成直线系的标准形式,求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点. 【解答】解:直线(2m﹣1)x﹣(m+3)y﹣(m﹣11)=0 可为变为 m(2x﹣y﹣1)+(﹣x ﹣3y+11)=0 令 解得: ,

故不论 m 为何值,直线(2m﹣1)x﹣(m+3)y﹣(m﹣11)=0 恒过定点(2,3) 故答案为: (2,3) . 【点评】正确理解直线系的性质是解题的关键. 15.两圆 x2+y2﹣4x+6y=0 和 x2+y2﹣6x=0 的连心线方程为 3x﹣y﹣9=0. 【考点】圆与圆的位置关系及其判定. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】求出圆心坐标,利用点斜式,可得方程. 【解答】解:两圆 x2+y2﹣4x+6y=0 和 x2+y2﹣6x=0 的圆心坐标分别为(2,﹣3) , (3,0) , ∴连心线方程为 y﹣0= (x﹣3) ,即 3x﹣y﹣9=0.

故答案为:3x﹣y﹣9=0. 【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定,考查直线方程,比较基础. 16.如图,ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体,下面结论中正确的是①②④. ①BD∥平面 CB1D1; ②AC1⊥平面 CB1D1; ③AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 ; ④CB1 与 BD 为异面直线.

【考点】棱柱的结构特征. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】根据直线和平面平行、直线和平面垂直的判定定理可得①②正确,根据求二面角的 大小的方法可得③不正确,根据异面直线定义可得④正确,由此得到答案. 【解答】解:如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 由于 BD∥B1D1 ,由直线和平面平行的判定定理可得 BD∥平面 CB1D1 ,故①正确; 由正方体的性质可得 B1D1⊥A1C1,CC1⊥B1D1, 故 B1D1⊥平面 ACC1A1,故 B1D1⊥AC1. 同理可得 B1C⊥AC1. 再根据直线和平面垂直的判定定理可得,AC1⊥平面 CB1D1 ,故②正确; AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值为 = ,故③不正确;

CB1 与 BD 既不相交,又不平行,不同在任何一个平面内, 故 CB1 与 BD 为异面直线,故④正确. 故答案为:①②④.

【点评】本题主要考查求二面角的大小的方法,异面直线的判定,直线和平面平行、垂直的 判定定理的应用,属于中档题. 三、解答题 17.如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、PC 的中点; (1)求证:MN∥平面 PAD. (2)在 PB 上确定一点 Q,使平面 MNQ∥平面 PAD.

【考点】平面与平面平行的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】空间位置关系与距离. NQ, 【分析】 (1) 取 PB 中点 Q, 连 MQ、 中位线定理和四边形 ABCD 为平行四边形可得 MQ∥PA, NQ∥AD,根据平面与平面平行的判定定理可证得平面 MNQ∥平面 PAD;故可得 MN∥平面 PAD. (2)由(1)可知问题的答案. 【解答】证明: (1)取 PB 中点 Q,连 MQ、NQ, ∵M、N 分别是 AB、PC 的中点, ∴NQ∥BC,MQ∥PA ∵AD∥BC, ∴NQ∥AD, ∵MQ∩MQ=Q,PA∩AD=A, ∴平面 MNQ∥平面 PAD, ∵MN?平面 MNQ, ∴MN∥面 PAD; (2)由(1)可知 Q 在 PB 的中点上

【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,平面与平面平行的性质和判定,其中 判断线面平行最常用的两种方法,就是根据线面平行的判定定理. 18.已知平面内两点 A(8,﹣6) ,A(2,2) . (Ⅰ)求 AB 的中垂线方程; (Ⅱ)求过 P(2,﹣3)点且与直线 AB 平行的直线 l 的方程. 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】直线与圆. 【分析】 (I)利用中点坐标公式可得:线段 AB 的中点为 公式可得 kAB= ,利用斜率计算

=﹣ ,可得线段 AB 的中垂线的斜率 k= ,利用点斜式即可得出.

(II)过 P(2,﹣3)点且与直线 AB 平行的直线 l 的斜率为﹣ .利用点斜式即可得出. 【解答】解: (I)线段 AB 的中点为 ∵kAB= =﹣ , 即(5,﹣2) ,

∴线段 AB 的中垂线的斜率 k= , ∴AB 的中垂线方程为 y+2= (x﹣5) ,化为 3x﹣4y﹣23=0.

(II)过 P(2,﹣3)点且与直线 AB 平行的直线 l 的斜率为﹣ . 其方程为:y+3= (x﹣2) ,化为 4x+3y+1=0.

【点评】本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、 点斜式,考查了计算能力,属于基础题. 19.点 A(2,0)是圆 x2+y2=4 上的定点,点 B(1,1)是圆内一点,P 为圆上的动点. (1)求线段 AP 的中点的轨迹方程 (2)求过点 B 倾斜角为 135°的直线截圆所得的弦长.

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】 (1)设出 AP 的中点坐标,利用中点坐标公式求出 P 的坐标,据 P 在圆上,将 P 坐标 代入圆方程,求出中点的轨迹方程. (2)求出直线方程,圆心到直线的距离,利用勾股定理,求出过点 B 倾斜角为 135°的直线截 圆所得的弦长. 【解答】解: (1)设 AP 中点为 M(x,y) , 由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x﹣2,2y) ∵P 点在圆 x2+y2=4 上,∴(2x﹣2)2+(2y)2=4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x﹣1)2+y2=1. (2)过点 B 倾斜角为 135°的直线方程为 x+y﹣2=0, 圆心 O(0,0)到直线 x+y﹣2=0 的距离 d= = , =2 .

∴过点 B 倾斜角为 135°的直线截圆所得的弦长为 2

【点评】本题考查中点坐标公式、圆心与弦中点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程, 考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 20.如图,在长方体中 ABCD﹣A1B1C1D1,AB=3,BC=AA1=4,点 O 是 AC 的中点. (1)求异面直线 AD1 和 DC1 所成角的余弦值. (2)求点 C 到平面 BC1D 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;异面直线及其所成的角. 【专题】计算题;转化法;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)由 OO1∥AD1 知,AD1 和 DC1 所成角等于 OO1 和 DC1 所成的锐角或直角; (2)设点 C 到平面 BC1D 的距离为 h,则 VC﹣BC1D=VC1﹣BCD,即用体积转化的方法求点到平 面的距离. 【解答】解: (1)由 OO1∥AD1 知,AD1 和 DC1 所成角等于 OO1 和 DC1 所成的锐角或直角, 在△ OO1D 中,由题设可得,OD= ,O1D=2 由余弦定理得,cos∠OO1D= , ; ,OO1= ,

故 AD1 和 DC1 所成角的余弦值为: (2)设点 C 到平面 BC1D 的距离为 h, 则有:VC﹣BC1D=VC1﹣BCD, 其中,VC1﹣BCD= ? ?CC1= ?

?4=8, , ?4 ?h=8, =2 ,

在△ BDC1 中,BD=5,DC1=5,BC1=4 所以,△ BDC1 的面积为 ? 再由 VC﹣BC1D=VC1﹣BCD 得, ?2 解得 h= , .

即点 C 到平面 BC1D 的距离为:

【点评】本题主要考查了异面直线所成的角的确定和求解,以及运用体积转化的方法求点到 平面距离,属于中档题. 21.已知圆 C: (x+1)2+y2=8. (1)设点 Q(x,y)是圆 C 上一点,求 x+y 的取值范围; (2)在直线 x+y﹣7=0 上找一点 P(m,n) ,使得过该点所作圆 C 的切线段最短. 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】数形结合;数形结合法;直线与圆. 【分析】 (1)设 x+y=t,由直线 x+y=t 与已知圆有公共点和距离公式可得 t 的不等式,解不等 式可得; (2)可判直线与圆相离,由直线和圆的知识可得符合条件的直线,解方程组可得所求点.

【解答】解: (1)设 x+y=t,∵点 Q(x,y)是圆 C 上一点, ∴直线 x+y=t 与已知圆有公共点, ∴ ≤2 ,解得﹣5≤t≤3,

∴x+y 的取值范围为[﹣5,3]; (2)∵圆心(﹣1,0)到直线 x+y﹣7=0 的距离 d= =4 >2 =r,

∴直线与圆相离,由直线和圆的知识可得只有当过圆心向直线 x+y﹣7=0 作垂线, 过其垂足作圆的切线所得切线段最短,此时垂足即为要求的点 P, 由直线的垂直关系设过圆心的垂线为 x﹣y+c=0,代入圆心坐标可得 c=1, 联立 x+y﹣7=0 和 x﹣y+1=0 可解得交点为(3,4)即为所求. 【点评】本题考查直线和圆的位置关系,涉及点到直线的距离公式,属中档题. 22. BC=2, BD⊥CD, 如图, 已知平行四边形 ABCD 中, 四边形 ADEF 为正方形, 平面 ADEF⊥ 平面 ABCD,G,H 分别是 DF,BE 的中点,记 CD=x,V(x)表示四棱锥 F﹣ABCD 的体积. (1)求 V(x)的表达式; (2)求 V(x)的最大值.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意 义. 【专题】转化思想;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)由于 FA⊥AD,平面 ADEF⊥平面 ABCD,可得 FA⊥平面 ABCD.由于 BC=2, BD⊥CD,CD=x,可得 DB= = . (0<x<2) .∴S 平行四边形 ABCD=2S△ BCD.即可得出 V(x)

(2)由基本不等式的性质即可得出. 【解答】解: (1)∵四边形 ADEF 为正方形,∴FA⊥AD, 又∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, ∴FA⊥平面 ABCD. ∵BC=2,BD⊥CD,CD=x, ∴DB= (0<x<2) . = = = . . (0<x<2) .

∴S 平行四边形 ABCD=2S△ BCD=2× ∴V(x)=

(2)由基本不等式的性质可得:V(x) 即 x= 时取等号.

= ,当且仅当



∴V(x)的最大值是 . 【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式、基本不等式 的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.