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高中数学专题训练(教师版)—命题及其关系、充要条件

时间:2017-07-24


高中数学专题训练(教师版)— 高中数学专题训练(教师版)—命题及其关系、 充要条件
一、选择题 1.有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的逆命题; ②“若 a>b,则 a2>b2”的逆否命题; ③“若 x≤-3,则 x2+x-6>0”的否命题; ④“若 ab 是无理数,则 a、b 是无理数”的逆命题. 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1

C.2 D.3 答案 B 1 2.“a>1”是“ a<1”的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件 答案 B 3. “a=-3”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[-3, +∞)上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 4.(2011·山东烟台)与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是( ) A.若 a?M,则 b?M B.若 b?M,则 a∈M C.若 a?M,则 b∈M D.若 b∈M,则 a?M 答案 D 解析 命题的逆否命题. 5.(2011·《高考调研》原创题)已知 a、b 是实数,则 3a<3b 是 log3a<log3b 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由题知,3a<3b?a<b,log3a<log3b?0<a<b.故 3a<3b 是 log3a< log3b 的必要不充分条件.故选 B. 6.(2010·福建卷)若向量 a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 当 x=4 时, a=(4,3), 则|a|=5; 若|a|=5, x=±4.故“x=4”是“|a| 则 =5”的充分而不必要条件. 1 7.(2010·广东卷)“m< 4 ”是“一元二次方程 x2 +x+m=0 有实数解”的 ( ) A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

答案 解析

A

1 一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解 ??=1-4m≥0?m≤4. 1 1 1 1 当 m< 时,m≤4成立,但 m≤4时,m< 不一定成立,故选 A. 4 4 (2010·山东卷)设{an}是等比数列, 1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列” 则“a 8. 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由题可知,若 a1<a2<a3, ? ?a1<a1q 即? 2 ,当 a1>0 时, ?a1q<a1q ? 解得 q>1, 此时数列{an}是递增数列, 当 a1<0 时,解得 0<q<1, 此时数列{an}是递增数列; 反之,若数列{an}是递增数列, 则 a1<a2<a3 成立, 所以“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的充分必要条件,故选 C. 二、填空题 9 . (1) 命 题 “ 等 腰 三 角 形 的 两 内 角 相 等 ” 的 逆 命 题 是 “________________________”. (2) 命 题 “ 两 个 奇 数 之 和 一 定 是 偶 数 ” 的 否 命 题 是 “________________________”. (3) 命 题 “ 正 方 形 的 四 个 角 相 等 ” 的 逆 否 命 题 是 “________________________”. 答案 (1)若一个三角形的两个内角相等,则这个三角形是等腰三角形 (2)若两个数不都是奇数,则它们的和不一定是偶数 (3)四个角不全相等的四边形不是正方形 10.(2010·北京高考题改编)a,b 为非零向量,“a⊥b”是“函数 f(x)=(xa +b)(xb-a)为一次函数________条件. 答案 必要不充分 解析 f(x)=x2a·b+x(b2-a2)-a·b 当 a⊥b 时,a·b=0 f(x)=x(b2-a2) 若|a|≠|b|为一次函数 若|a|=|b|为常数,∴充分性不成立. 当 f(x)为一次函数 ∴a·b=0 且 b2-a2≠0 ∴a⊥b 且|a|≠|b| ∴必要性成立. 11.命题 A∩B=A 是命题?UB??UA 的________条件. 答案 充要

12.命题“若 m>0,则关于 x 的方程 x2+x-m=0 有实根”与它的逆命题、 否命题、逆否命题中,真命题的个数是______. 答案 2 解析 原命题及其逆否命题为真命题. 三、解答题 13.写出命题“若 x≥2 且 y≥3,则 x+y≥5”的逆命题、否命题、逆否命 题,并判断其真假. 答案 略 解析 原命题:“若 x≥2 且 y≥3,则 x+y≥5”,为真命题. 逆命题:“若 x+y≥5,则 x≥2 且 y≥3”,为假命题. 否命题:“若 x<2 或 y<3,则 x+y<5”,其为假命题. 逆否命题:“若 x+y<5,则 x<2 或 y<3”,其为真命题. 14.已知命题 p:|x-2|<a(a>0),命题 q:|x2-4|<1,若 p 是 q 的充分不必要 条件,求实数 a 的取值范围. 答案 0<a≤ 5-2 解析 由题意 p:|x-2|<a?2-a<x<2+a,q:|x2 -4|<1?-1<x2 -4<1? 3<x2<5?- 5<x<- 3或 3<x< 5. 又由题意知 p 是 q 的充分不必要条件.

?- 5≤2-a 所以有?2+a≤- 3 ?a>0

? 3≤2-a ①或?2+a≤ 5 ?a>0

②,由①得 a 无解;由②解

得 0<a≤ 5-2. 15.已知 f(x)是(-∞,+∞)内的增函数,a,b∈R,对命题“若 a+b≥0, 则 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).” (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论. 答案 略 分析 题干中已知函数的单调性, 利用函数单调性大多是根据自变量取值的 大小推导函数值的大小,当已知两个函数值的关系时,也可以推导自变量的取值 的大小.多个函数值的大小关系,则不容易直接利用单调性,故可考虑利用四种 命题的关系寻求原命题的等价命题. 解 (1)逆命题: 已知函数 f(x)是(-∞,+∞)内的增函数,a,b∈R,若 f(a)+f(b)≥f(-a)+ f(-b),则 a+b≥0. (用反证法证明)假设 a+b<0,则有 a<-b,b<-a. ∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a). ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与题设中 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛看,故 假设不成立. 从而 a+b≥0 成立.逆命题为真. (2)逆否命题: 已知函数 f(x)是(-∞, +∞)内的增函数, b∈R, f(a)+f(b)<f(-a)+f(- a, 若 b),则 a+b<0.

原命题为真,证明如下: ∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a. 又∵f(x)在(-∞,+∞)内是增函数, ∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a). ∴f(a)+f(b)≥f(-b)+f(-a)=f(-a)+f(-b). ∴原命题为真命题. ∴其逆否命题也为真命题.

1 1 1.(1)“x>y>0”是“ x<y ”的________条件. 充分不必要 1 1 解析 x<y ?xy·(y-x)<0, 即 x>y>0 或 y<x<0 或 x<0<y. π (2)“tan θ≠1”是“θ≠4”的________条件. 答案 充分不必要 π 解析 题目即判断 θ= 是 tan θ=1 的什么条件,显然是充分不必要条件. 4 1 π 2.(09·北京)“α= +2kπ(k∈Z)”是“cos2α=2”的( ) 6 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A π π 解析 由 α=6+2kπ(k∈Z),知 2α=3+4kπ(k∈Z), π 1 则 cos2α=cos3=2成立, 1 π π 当 cos2α=2时,2α=2kπ±3,即 α=kπ±6(k∈Z),故选 A. 3.设命题 p:x2 +x-6<0,命题 q:|x|<1,那么 p 是 q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分,又不必要条件 答案 B 解析 p:-3<x<2;q:-1<x<1,易知选 B. 4.△ABC 中“cosA=2sinBsinC”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC,∴cos(B- π π π C)=0.∴B-C=2.∴B=2+C>2,故为钝角三角形,反之显然不成立,故选 B. 5 .设 M、N 是两个集合,则“M∪N≠?”是“M∩N≠?”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案

答案 B 解析 M∪N≠?,不能保证 M,N 有公共元素,但 M∩N≠?,说明 M,N 中 至少有一元素,∴M∪N≠?.故选 B.

1.(2010·陕西卷)对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增 数列”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为 an+1>|an|?an+1>an?{an}为递增数列,但{an}为递增数列?an+ 1>an 推不出 an+1>|an|,故“an+1>|an|(n=1,2…)”是“{an}为递增数列”的充分 不必要条件,选 B. 2.(2011·湖南衡阳四校联考)已知 A={x||x-1|≥1,x∈R},B={x|log2x>1, x∈R},则 x∈A 是 x∈B 的________条件. 答案 必要非充分条件 解析 A={x|x≥2 或 x≤0},B={x|x>2},由 x∈A?/ x∈B,但由 x∈B?x ∈A. 3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=pn+q(p≠0,p≠1),则{an}为等比数列 的充要条件是________. 答案 q=-1 4.已知 A 为 xOy 平面内的一个区域.

?x-y+2≤0 命题甲:点(a,b)∈{(x,y)|?x≥0 ?3x+y-6≤0

};

命题乙:点(a,b)∈A. 如果甲是乙的充分条件,那么区域 A 的面积的最小值是( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B

)

解析

?x-y+2≤0, 设?x≥0, ?3x+y-6≤0

所对应的区域如右图所示的阴影部分 PMN 为集

合 B.由题意,甲是乙的充分条件,则 B?A,所以区域 A 面积的最小值为 S△PMN 1 = 2 ×4×1=2.故选 B.


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