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三角函数的图像与性质知识点及习题


三角函数的图象与性质 基础梳理 1.“五点法”描图 (1)y=sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 π (0,0) ?2,1? ? ? 3 (π,0) ?2π,-1? ? ? (2π,0)

(2)y=cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 π 3π (0,1),?2,0?,(π,-1),? 2 ,0?,(2π,1) ? ?

? ? 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域 y=sin x y=cos x y=tan x π {x|x≠kπ+ ,k∈Z} 2

R

R

图象

值域

[-1,1] π 对称轴:__ x=kπ+ 2

[-1,1] 对称轴: x=kπ(k∈Z)___; 对称中心: π _(kπ+ ,0) (k∈Z)__ 2 2π

R

对称性

(k∈Z)__ _; 对称中心: _ (kπ,0)(k∈Z)__ _

kπ 对称中心:_ ? 2 ,0? ? ? (k∈Z) __

周期

2π_ 单 调 增 区 间 _[2kπ -

π

单调性

单调增区间[2kπ-π, π π π , 2kπ+ ](k∈Z)___; 2kπ] (k∈Z) ____; 2 2 单调增区间_(kπ- , 2 单调减区间[2kπ,2kπ π π 单调减区间[2kπ+ , 2 kπ+ )(k∈Z)___ 2 +π](k∈Z)______ 3π 2kπ+ ] (k∈Z) __ 2 奇函数 偶函数 奇函数

奇偶性

3.一般地对于函数 f(x),如果存在一个非零的常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期,把所有周 期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)

对函数周期性概念的理解 周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定义域范围的每一个 x 值都满足 f(x+T)=f(x), 其中 T 是不为零的常数.如果只有个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x), 或找到哪怕只有一个 x 值不满 足 f(x+T)=f(x),都不能说 T 是函数 f(x)的周期. 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 π |ω| . 2π |ω| ,

4.求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于?x∈R,恒有-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1,所以 1 叫做 y=sin x,y=cos x 的上确界,-1 叫做 y=sin x,y=cos x 的下确界. (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析 ωx+φ 的范围, 根据正弦函数单 调性写出函数的值域;含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题. 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性, y=sin2x-4sin x+5, t=sin x(|t|≤1), 如: 令 则 y=(t-2)2+1≥1,解法错误. 5.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如 y=Asin(ωx+φ) (ω>0)的形式,再根据基 本三角函数的单调区间,求出 x 所在的区间.应特别注意,应在函数的定义域内考虑.注意区分 下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意 x 系数的正负号) (1)y π π =sin?2x-4?;(2)y=sin?4-2x?. ? ? ? ? 热身练习: π 1.函数 y=cos?x+3?,x∈R( ? ? A.是奇函数 C.是偶函数 ).

B.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 ).

π 2.函数 y=tan?4-x?的定义域为( ? ?
? ? ?

? ? ? ? π π A.?x?x≠kπ-4 ,k∈Z?B.?x?x≠2kπ-4,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ? π π C.?x?x≠kπ+4 ,k∈Z? D.?x?x≠2kπ+4 ,k∈Z? ? ? ? ? ? ?

π 3.函数 y=sin(2x+ )的图象的对称轴方程可能是( 3

)

π A.x=- 6

π π π B.x=- C.x= D.x= 12 6 12 π π kπ π 【解析】令 2x+ =kπ+ ,则 x= + (k∈Z) 3 2 2 12 π ∴当 k=0 时,x= ,选 D. 12 π? 4.y=sin?x-4?的图象的一个对称中心是( ). ? A.(-π,0) 3π B.?- 4 ,0? ? ? 3π C.? 2 ,0? ? ? π D.?2,0? ? ?

π π 解析 ∵y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),∴令 x- =kπ(k∈Z),x=kπ+ (k∈Z),由 k 4 4 π 3π 3 =-1,x=- π 得 y=sin?x-4?的一个对称中心是?- 4 ,0?. ? ? ? ? 4 答案 B 5.下列区间是函数 y=2|cos x|的单调递减区间的是 A.(0,π) π B.?-2,0? ? ? 3π C.? 2 ,2π? ? ? π D.?-π,-2? ? ? ( )

π π 6.已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤|f( )|对任意 x∈R 恒成立,且 f( )>f(π), 6 2 则 f(x)的单调递增区间是( ) π π π A.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) B.[kπ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 2 π 2π π C.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) D.[kπ- ,kπ](k∈Z) 6 3 2 π π π 【解析】当 x∈R 时,f(x)≤|f( )|恒成立,∴f( )=sin( +φ)=± 1 6 6 3 π 5π 可得 φ=2kπ+ 或 φ=2kπ- ,k∈Z 6 6 π ∵f( )=sin(π+φ)=-sinφ>f(π)=sin(2π+φ)=sinφ 2 5π ∴sinφ<0 ∴φ=2kπ- 6 π 5π π π 2π 由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ 得 x∈[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z),选 C. 2 6 2 6 3 x π 7.函数 f(x)= 3cos?2-4?x∈R 的最小正周期为___4π_____. ? ? π 3 8..y=2-3cos?x+4?的最大值为___5_____,此时 x=_____ π+2kπ,k∈Z _________. ? ? 4 9.函数 y=(sinx-a)2+1,当 sinx=1 时,y 取最大值;当 sinx=a 时,y 取最小值,则实数 -1≤a≤0. π π 10.函数 f(x)=sin2x+ 3sinxcosx 在区间[ , ]上的最大值是 . 4 2 1-cos2x 3 3 1 1 【解析】∵f(x)= + sin2x= sin2x- cos2x+ 2 2 2 2 2 π 1 =sin(2x- )+ , 6 2

π π π π 5π 又 ≤x≤ ,∴ ≤2x- ≤ . 4 2 3 6 6

π π π 3 ∴当 2x- = 即 x= 时,f(x)取最大值 . 6 2 3 2

题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例1 求下列函数的定义域: (2)y= sin x-cos x.

(1)y=lgsin(cos x); 解

(1)要使函数有意义,必须使 sin(cos x)>0. ∵-1≤cos x≤1,∴0<cos x≤1. 利用单位圆中的余弦线 OM,依题意知 0<OM≤1, ∴OM 只能在 x 轴的正半轴上, ∴其定义域为 π π {x|- +2kπ<x< +2kπ,k∈Z}. 2 2

(2)要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0. 利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示. π 5π 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为 , ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2π, 4 4 5π ? π ? 所以定义域为?x|4+2kπ≤x≤ 4 +2kπ,k∈Z?. ? ? 变式训练 1 (1)求函数 y ?
lg ( 2 sin x ? 1) ? co s( x 2 ? ? ta n x ? 1

?
8

的定义域;

)



(1)要使函数有意义,则

?-tan x-1≥0 ? ? x π ?cos?2+8?≠0 ? ? ?
2sin x-1>0

?sin x>2, ? ??tan x≤-1, x ?2+π≠kπ+π. ? 8 2
1 图①

如图①利用单位圆得:

? ? π 3π ?kπ+2<x≤kπ+ 4 , ?x≠2kπ+3π?k∈Z?. ? 4
(2)求函数 y ?
2

π 5π 2kπ+ <x<2kπ+ , 6 6 π 3π ∴函数的定义域为{x|2kπ+ <x<2kπ+ ,k∈Z}. 2 4

2 ? lo g 1 x ?

ta n x 的定义域.

要使函数有意义

? ?x>0, 则? tan x≥0, ?x≠kπ+π,k∈Z ? 2
1 2+log x≥0, 2 利用数轴可得图②

?0<x≤4, ? ?? π ?kπ≤x<kπ+2 ?k∈Z?. ?

图② π ∴函数的定义域是{x|0<x< 或 π≤x≤4}. 2 题型二、三角函数的五点法作图及图象变换 π 例 2 已知函数 f(x)=4cosxsin(x+ )-1. 6 (1)用五点法作出 f(x)在一个周期内的简图; (2)该函数图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到? π 【解析】(1)y=f(x)=4cosxsin(x+ )-1 6 3 1 =4cosx( sinx+ cosx)-1= 3sin2x+2cos2x-1 2 2 π = 3sin2x+cos2x=2sin(2x+ ) 6 π 2x+ 6 x 0 π 12 π 2 2π 12 π 5π 12 3π 2 8π 12 -2 2π 11π 12



y

0

2

0

0

π 11π ∴函数 y=f(x)在[- , ]上的图象如图所示. 12 12

【点评】“五点法作图”应抓住四条:①化为 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)或 y=Acos(ωx +φ)(A>0,ω>0)的形式; 2π ②求出周期 T= ;③求出振幅 A;④列出一个周期内的五个特殊点.当画出某指定区间 ω 上的图象时,应列出该区间的特殊点.

题型三 三角函数图象与解析式的相互转化

π 例 3 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示. 2 (1)求 f(x)的解析式; π (2)设 g(x)=[f(x- )]2,求函数 g(x)在 12 π π x∈[- , ]上的最大值,并确定此时 x 的值. 6 3 T π 2π π 3 【解析】(1)由图可知 A=2, = ,则 =4× ∴ω= . 4 3 ω 3 2 π 3 π π 又 f(- )=2sin[ × (- )+φ]=2sin(- +φ)=0 6 2 6 4 π ∴sin(φ- )=0 4 π π π π π π ∵0<φ< ,∴- <φ- < ∴φ- =0,即 φ= 2 4 4 4 4 4 3 π ∴f(x)=2sin( x+ ). 2 4 π 3 π π 3 π (2)由(1)可得 f(x- )=2sin[ (x- )+ ]=2sin( x+ ) 12 2 12 4 2 8 π 1-cos?3x+ ? 4 π π ∴g(x)=[f(x- )]2=4× =2-2cos(3x+ ) 12 2 4 π π π π 5π ∵x∈[- , ] ∴- ≤3x+ ≤ , 6 3 4 4 4 π π ∴当 3x+ =π,即 x= 时,g(x)max=4. 4 4 【点评】根据 y=Asin(ωx+φ)+K 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑: 最高点-最低点 ①A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 A= ; 2 最高点+最低点 ②K 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 K= ; 2 2π ③ω 的确定:结合图象,先求出周期,然后由 T= (ω>0)来确定 ω; ω φ ④φ 的确定: 由函数 y=Asin(ωx+φ)+K 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为- ω φ (即令 ωx+φ=0,x=- )确定 φ. ω 例 4 若方程 3sinx+cosx=a 在[0,2π]上有两个不同的实数根 x1,x2,求 a 的取值范围,并 求此时 x1+x2 的值. π 【解析】∵ 3sinx+cosx=2sin(x+ ),x∈[0,2π], 6 π 作出 y=2sin(x+ )在[0,2π]内的图象如图. 6 由图象可知,当 1<a<2 或-2<a<1 时, π 直线 y=a 与 y=2sin(x+ )有两个交点, 6 故 a 的取值范围为 a∈(-2,1)∪(1,2). π π 2π 当 1<a<2 时,x1+ +x2+ =π.∴x1+x2= . 6 6 3

π π 8π 当-2<a<1 时,x1+ +x2+ =3π,∴x1+x2= . 6 6 3 【点评】利用三角函数图象形象直观,可使有些问题得到顺利、简捷的解决,因此我们 必须准确把握三角函数“形”的特征. π 例 4 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的图象与 x 轴的交点 2 π 2π 中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M( ,-2). 2 3 (1)求 f(x)的解析式; π 1 (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后, 再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的 , 12 2 纵坐标不变,得到 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)的解析式,并求满足 g(x)≥ 2且 x∈[0,π]的 实数 x 的取值范围. 2π 【解析】(1)由函数图象的最低点为 M( ,-2),得 A=2, 3 π T π 由 x 轴上相邻两个交点间的距离为 ,得 = ,即 T=π, 2 2 2 2π 2π 2π ∴ω= =2.又点 M( ,-2)在图象上,得 2sin(2× +φ)=-2, π 3 3 4π 即 sin( +φ)=-1, 3 4π π 11π 故 +φ=2kπ- ,k∈Z,∴φ=2kπ- , 3 2 6 π π π 又 φ∈(0, ),∴φ= .综上可得 f(x)=2sin(2x+ ). 2 6 6 π π (2)将 f(x)=2sin(2x+ )的图象向右平移 个单位, 6 12 π π 得到 f1(x)=2sin[2(x- )+ ],即 f1(x)=2sin2x 的图象, 12 6 1 然后将 f1(x)=2sin2x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的 ,纵坐标不变,得到 g(x)= 2 2sin(2· 2x),即 g(x)=2sin4x. ?0≤x≤π ? ? ?0≤x≤π 由? 得? 2 . ? ?g?x?=2sin4x≥ 2 ?sin4x≥ 2 ?

?0≤x≤π ?0≤x≤π ? ? 则? 即?kπ π . π 3π kπ 3π ? ? ?2kπ+4≤4x≤2kπ+ 4 ?k∈Z? ? 2 +16≤x≤ 2 +16?k∈Z?
故 π 3π 9π 11π ≤x≤ 或 ≤x≤ . 16 16 16 16

题型四 、三角函数的奇偶性与周期性及应用 π 例 1 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,|φ|< . 2 π 3π (1)若 cos cosφ-sin sinφ=0,求 φ 的值; 4 4 π (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,求函数 f(x)的 3 解析式; 并求最小正实数 m, 使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函数. π 3π π 【解析】(1)由 cos cosφ-sin sinφ=0 得 cos( +φ)=0. 4 4 4 π π ∵|φ|< ,∴φ= . 2 4

T π 2π π (2)由已知得 = ,∴T= ,ω=3 ∴f(x)=sin(3x+ ). 2 3 3 4 设函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x), π π 则 g(x)=sin[3(x+m)+ ]=sin(3x+3m+ ) 4 4 π π g(x)是偶函数当且仅当 3m+ =kπ+ (k∈Z) 4 2 kπ π π 即 m= + (k∈Z) ∴最小正实数 m= . 3 12 12 题型五 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期:

π (1)y=sin?-2x+3?;(2)y=|tan x|. ? ? π 解 (1)y= ? sin?2x-3?, ? ? π π 它的增区间是 y=sin?2x-3?的减区间,它的减区间是 y=sin?2x-3?的增区间. ? ? ? ? π π π π 5π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 3 2 12 12 π π 3π 5π 11π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 3 2 12 12 π 5π 故所给函数的减区间为?kπ-12,kπ+12?,k∈Z; ? ? 5π 11π 2π 增区间为?kπ+12,kπ+ 12 ?,k∈Z.最小正周期 T= =π. ? ? 2 π (2)观察图象可知,y=|tan x|的增区间是?kπ,kπ+2?,k∈Z,减区间是 ? ?

?kπ-π,kπ?,k∈Z.最小正周期:T=π. 2 ? ?

探究提高 (1)求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ) (其中 A≠0, ω>0)的函数的单调区间, 可以通过解不等式的方法去解答. 列不等式的原则是:①把“ωx+φ (ω>0)”视为一个“整体”;②A>0 (A<0)时,所列不等式的方 向与 y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反). (2) 对 于 y = Atan(ωx + φ) (A 、 ω 、 φ 为 常 数 ) , 其 周 期 T = π , 单 调 区 间 利 用 ωx + |ω|

π π φ∈?kπ-2,kπ+2?,解出 x 的取值范围,即为其单调区间. ? ? (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图象,结合图象判定. π π 变式训练 2 (1)求函数 y=sin?3+4x?+cos?4x-6?的周期、单调区间及最大、最小值; ? ? ? ? π (2)已知函数 f(x)=4cos xsin?x+6?-1. ? ? ①求 f(x)的最小正周期; π π ②求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ?
3 2 co s 4 x ? 1 2 sin 4 x ? 3 2 co s 4 x ? 1 2 sin 4 x

π π 解: y=sin?3+4x?+cos?4x-6? ? ? ? ? ?
? sin 4 x ? 3 co s 4 x ? 2 sin ( 4 x ?

?
3

)

π (1)周期为 T= 2

?

?
2

? 2k? ? 4 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? , k ? Z

5π kπ π kπ 函数的递增区间为?-24+ 2 ,24+ 2 ? (k∈Z); ? ?
?
2 ? 2k? ? 4 x ?

?
3

?

3? 2

? 2 k ? , k ? Z 函数的递减区间为?

π kπ 7π kπ? ?24+ 2 ,24+ 2 ?(k∈Z)

ymax=2;

ymin=-2

π (2) f(x)=4cos xsin?x+6?- ? ? 1 ? 4 co s x (
?

3 2

sin x ?

1 2

co s x ) ? 1 ? 2 3 sin x co s x ? 2 co s x ? 1
2

3 sin 2 x ? co s 2 x ? 2 sin ( 2 x ?

?
6

)

x ? ?- , ?, 2 x ? 6 4

?

π π

?

?
6

? [?

?
6

,

2? 3

] 最大值为 2;最小值为-1

题型六、三角函数的对称性与单调性及应用
?? ?

例 2 已知向量 m =( 3sin2x-1,cosx), n =(1,2cosx),设函数 f(x)= m ? n ,x∈R. (1)求函数 f(x)图象的对称轴方程; (2)求函数 f(x)的单调递增区间. π 【解析】(1)f(x)=m· n= 3sin2x-1+2cos2x= 3sin2x+cos2x=2sin(2x+ ) 6 π π kπ π ∴对称轴方程为:2x+ =kπ+ ,即 x= + (k∈Z). 6 2 2 6 π π π π π (2)由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ 得- +kπ≤x≤kπ+ 2 6 2 3 6 π π ∴f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 3 6 【点评】对于 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0):

?? ?

π ①若求 y=f(x)的对称轴,只需令 ωx+φ=kπ+ (k∈Z),求出 x; 2 若求 y=f(x)的对称中心的横坐标,只零令 ωx+φ=kπ(k∈Z),求出 x; π π ②若求 y=f(x)的单调增区间,只需令 2kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ ,求出 x; 2 2 π 3π 若求 y=f(x)的单调减区间,只需令 2kπ+ ≤ωx+φ≤2kπ+ ,求出 x. 2 2 题型七 三角函数的对称性与奇偶性 π 例 3 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x(x∈R),函数 y=f(x+φ) ?|φ|≤2?的图象关于直线 x=0 对称, ? ? 则 φ 的值为________. 4π (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值为( ? ? A. π (1) 6
f (x)=2sin ( x ?

)

π 6

π B. 4

π C. 3

π D. 2

π ? ? ? ) 图象关于 x=0 对称, ) , y=f(x+φ)=2sin ( x ? 3 3

π π 即 f(x+φ)为偶函数.∴ +φ= +kπ,k∈Z, 3 2 π π 即 φ=kπ+ ,k∈Z,所以当 k=0 时,φ= . 6 6 (2)A 3cos ( 2 ? 4 ? ? ? ) =3cos ( 2 π ? ? ? 2 π ) =3cos ( 2 ? ? ? ) ? 0 ,
3 3 3

2π π π ∴ +φ=kπ+ ,k∈Z,∴φ=kπ- ,k∈Z, 3 2 6 π 取 k=0,得|φ|的最小值为 .故选 6 探究提高 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得最大或最小值. 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. π 如果求 f(x)的对称轴,只需令 ωx+φ= +kπ (k∈Z),求 x. 2 如果求 f(x)的对称中心的横坐标,只需令 ωx+φ=kπ (k∈Z)即可. 变式训练 3 5π (1)已知函数 f(x)=sinx+acos x 的图象的一条对称轴是 x= ,则函数 g(x)=asin 3 ( ) 4 C. 3 3 a - . 2 2 2 6 D. 3

x+cos x 的最大值是 2 2 A. 3

2 3 B. 3

由题意得 f(0)=f ( 1 0 ? ) ,∴a=-
3

∴a=-

3 3 2 3 , g(x)=- sin x+cos x= sin ( x ? 2 ? ) , 3 3 3 3

∴g(x)max=

2 3 . 3

π (2)若函数 f(x)=asin ωx+bcos ωx (0<ω<5,ab≠0)的图象的一条对称轴方程是 x= ,函数 f′(x) 4ω π 的图象的一个对称中心是?8,0?,则 f(x)的最小正周期是________. ? ? (1)B (2)π 2 由题设,有 f ( π ) =± a2+b2,即 (a+b)=± a2+b2,由此得到 a=b. 2 4? ? ) ? 0 ,所以 aω (co s ? ? ? sin ? ? ) =0, 又 f ?(
8 8 8

ωπ ωπ π 从而 tan =1, =kπ+ ,k∈Z,即 ω=8k+2,k∈Z,而 0<ω<5,所以 ω=2, 8 8 4 于是 f(x)=a(sin 2x+cos 2x)= 2asin ( 2 x ? ? )
4

故 f(x)的最小正周期是 π. 题型八 三角函数的值域与最值的求法及应用 2sinxcos2x 例 3(1)求函数 y= 的值域; 1+sinx (2)求函数 y=sinxcosx+sinx+cosx 的最值; 1 ? cos 2 x x x (3)若函数 f(x)= -asin ·cos(π- )的最大值为 2,试确定常数 a 的值. 2 2 ?
4 sin ( ? x) 2

( 【解析】 1) y =

2 sin x (1 ? sin x )
2

1 ? sin x

1 1 =2sinx(1-sinx)=2sinx-2sin2x=-2(sinx- )2+ . 2 2 1 ∵1+sinx≠0,∴-1<sinx≤1.∴-4<y≤ . 2 2sinxcos2x 1 故函数 y= 的值域为(-4,2]. 1+sinx t2-1 (2)令 t=sinx+cosx,则 sinxcosx= ,且|t|≤ 2. 2 1 1 ∴y= (t2-1)+t= (t+1)2-1, 2 2 1 ∴当 t=-1 时,ymin=-1;当 t= 2时,ymax= 2+ . 2 2cos2x x x 1 a (3)f(x)= +asin cos = cosx+ sinx 4cosx 2 2 2 2 2 1 a 1 = + sin(x+φ),(其中 tanφ= ) 4 4 a 1 a2 由已知得 + =2,解得 a=± 15. 4 4 【点评】求三角函数的最值问题,主要有以下几种题型及对应解法. b (1)y=asinx+bcosx 型,可引用辅角化为 y= a2+b2sin(x+φ)(其中 tanφ= ). a 2 2 (2)y=asin x+bsinxcosx+ccos x 型,可通过降次整理化为 y=Asin2x+Bcos2x+C.

(3)y=asin2x+bcosx+c 型,可换元转化为二次函数. (4)sinxcosx 与 sinx± cosx 同时存在型,可换元转化. asinx+b acosx+b (5)y= (或 y= )型,可用分离常数法或由|sinx|≤1(或|cosx|≤1)来解决,也可 csinx+d ccosx+d 化为真分式去求解. asinx+b (6)y= 型,可用斜率公式来解决. ccosx+d π 例 4 已知函数 f(x)=sin2x+acos2x(a∈R,a 为常数),且 是函数 y=f(x)的一个零点. 4 (1)求 a 的值,并求函数 f(x)的最小正周期; π (2)当 x∈[0, ]时,求函数 f(x)的最大值和最小值及相应的 x 的值. 2 π π π π 【解析】(1)由 是 y=f(x)的零点得 f( )=sin +acos2 =0,求解 a=-2, 4 4 2 4 π 则 f(x)=sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x-1= 2sin(2x- )-1, 4 2π 故 f(x)的最小正周期为 T= =π. 2 π π π 3π 2 π (2)由 x∈[0, ]得 2x- ∈[- , ],则- ≤sin(2x- )≤1, 2 4 4 4 2 4 π 因此-2≤ 2sin(2x- )-1≤ 2-1,故当 x=0 时,f(x)取最小值-2, 4 3π 当 x= 时,f(x)取最大值 2-1. 8 π π π 11π 设 a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(2-x)满足 f(-3)=f(0),求函数 f(x)在[4, 24 ]上的最大 值和最小值. a 【解析】f(x)=asinxcosx-cos2x+sin2x= sin2x-cos2x 2 π 3a 1 由 f(- )=f(0)得- ·+ =-1,解得 a=2 3. 3 2 2 2 π ∴f(x)= 3sin2x-cos2x=2sin(2x- ) 6 π π π π π 当 x∈[ , ]时,2x- ∈[ , ],f(x)为增函数. 4 3 6 3 2 π 11π π π 3π 当 x∈[ , ]时,2x- ∈[ , ],f(x)为减函数. 3 24 6 2 4 π 11π π π 11π ∴f(x)在[ , ]上的最大值为 f( )=2 又∵f( )= 3,f( )= 2 4 24 3 4 24 π 11π 11π ∴f(x)在[ , ]上的最小值为 f( )= 2. 4 24 24

题型九

分类讨论及方程思想在三角函数中的应用

π? π ? 例题:已知函数 f(x)=-2asin?2x+ ?+2a+b 的定义域为?0,2?,函数的最大值为 1,最 ? ? ? 6?
小值为-5,(1)求 a 和 b 的值. π (2)若 a>0,设 g(x)=f ?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ?

π π 点评 ①求出 2x+ 的范围,求出 sin(2x+ )的值域.②系数 a 的正、负影响着 f(x)的值,因而 6 6 要分 a>0,a<0 两类讨论.③根据 a>0 或 a<0 求 f(x)的最值,列方程组求解. π π 1 π π 7π 解 (1)∵x∈?0,2?,∴2x+ ∈?6, 6 ?.∴sin?2x+6?∈?-2,1?, ? ? ? ? ? ? ? 6 ? π ∴-2asin?2x+6?∈[-2a,a].∴f(x)∈[b,3a+b], ? ? 又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1, 因此 a=2,b=-5. π (2)由(1)得 a=2,b=-5,∴f(x)=-4sin?2x+6?-1, ? ? π 7π π g(x)=f ?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1=4sin?2x+6?-1, ? ? ? ? ? ? π 又由 lg g(x)>0 得 g(x)>1,∴4sin?2x+6?-1>1, ? ? π 1 π π 5π ∴sin?2x+6?> ,∴2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z, ? ? 2 6 6 6 π π π π 其中当 2kπ+ <2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 时,g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+ ,k∈Z, 6 6 2 6 π ∴g(x)的单调增区间为?kπ,kπ+6?,k∈Z. ? ? π π 5π π π 又∵当 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 时,g(x)单调递减,即 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 2 6 6 6 3

三角函数的图象与性质练习一 一、选择题 1.对于函数 f(x)=2sinxcosx,下列选项正确的是( ) π π A.f(x)在( , )上是递增的 B.f(x)的图象关于原点对称 4 2 C.f(x)的最小正周期为 2π D.f(x)的最大值为 2 【解析】f(x)=sin2x π π f(x)在( , )上是递减的,A 错; f(x)的最小正周期为 π,C 错; 4 2 f(x)的最大值为 1,D 错;选 B. π π 2.若 α、β∈(- , ),那么“α<β”是“tanα<tanβ”的( ) 2 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 π π 【解析】α、β∈(- , ),tanx 在此区间上单调递增. 2 2 当 α<β 时,tanα<tanβ;当 tanα<tanβ 时,α<β.故选 C. π π 3.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的最小正周期为 π,将该函数的图象向左平移 个单位 2 6 后,得到的图象对应的函数为奇函数,则 f(x)的图象( )

π 5π A.关于点( ,0)对称 B.关于直线 x= 对称 12 12 5π π C.关于点( ,0)对称 D.关于直线 x= 对称 12 12 【解析】由已知得 ω=2,则 f(x)=sin(2x+φ) π π 设平移后的函数为 g(x),则 g(x)=sin(2x+ +φ)(|φ|< )且为奇函数 3 2 π π ∴φ=- ,f(x)=sin(2x- ) 3 3 5π ∴图象关于直线 x= 对称,选 B. 12 π 4. 已知 f(x)=sinx, x∈R, g(x)的图象与 f(x)的图象关于点( , 0)对称, 则在区间[0,2π]上满足 f(x)≤g(x) 4 的 x 的取值范围是( ) π 3π 3π 7π π 3π 3π 3π A.[ , ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ] 4 4 4 4 2 2 4 2 π π 【解析】设(x,y)为 g(x)的图象上任意一点,则其关于点( ,0)对称的点为( -x,-y), 4 2 π 由题意知该点必在 f(x)的图象上.∴-y=sin( -x), 2 π 即 g(x)=-sin( -x)=-cosx,由已知得 sinx≤-cosx?sinx+cosx 2 π 3π 7π = 2sin(x+ )≤0 又 x∈[0,2π] ∴ ≤x≤ . 4 4 4 π π 5.已知函数 f(x)=3sin(ωx+φ),g(x)=3cos(ωx+φ),若对任意 x∈R,都有 f( +x)=f( -x),则 3 3 π g( )=____. 3 π π π π 【解析】由 f( +x)=f( -x),知 y=f(x)关于直线 x= 对称,∴sin(ω·+φ)=± 1. 3 3 3 3 π π π ∴g( )=3cos(ω·+φ)=3 1-sin2?ω·+φ?=0. 3 3 3 πx π 6.设函数 f(x)=2sin( + ),若对任意 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,则|x2-x1|的最小值为 2 5 ____. 【解析】由“f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立”,可得 f(x1)、f(x2)分别是 f(x)的最小值、最大值. 2π ∴|x2-x1|的最小值为函数 f(x)的半周期,又 T= =4.∴|x2-x1|min=2. π 2 7.已知函数 f(x)=sinx+cosx,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)求 f′(x)及函数 y=f′(x)的最小正周期; π (2)当 x∈[0, ]时,求函数 F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域. 2 π 【解析】(1)f′(x)=cosx-sinx=- 2sin(x- ) 4 ∴y=f′(x)的最小正周期为 T=2π. (2)F(x)=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx π =1+sin2x+cos2x=1+ 2sin(2x+ ) 4 π π π 5π π 2 ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ] ∴sin(2x+ )∈[- ,1], 2 4 4 4 4 2

∴函数 F(x)的值域为[0,1+ 2]. 8.设函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1,将函数 f(x)的图象向左平移 α 个单位,得到函数 y=g(x) 的图象. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)若 0<α< ,且 g(x)是偶函数,求 α 的值. 2 【解析】(1)∵f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1 π =sin2x+cos2x= 2sin(2x+ ), 4 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π (2)g(x)=f(x+α)= 2sin[2(x+α)+ ]= 2sin(2x+2α+ ), 4 4 π g(x)是偶函数,则 g(0)=± 2= 2sin(2α+ ), 4 π π kπ π ∴2α+ =kπ+ ,k∈Z.α= + (k∈Z), 4 2 2 8 π π ∵ 0<α< ,∴α= . 2 8 三角函数的图象与性质练习二 π 1.函数 f(x)=sin?2x+3?图象的对称轴方程可以为 ? ? 5π A.x= 12 π B.x= 3 π C.x= 6 π D.x= 12

(

)

kπ π π π π 解析 令 2x+ =kπ+ (k∈Z),得 x= + (k∈Z),令 k=0 得该函数的一条对称轴为 x= . 3 2 2 12 12 本题也可用代入验证法来解.答案 D π 2.y=sin?x-4?的图象的一个对称中心是 ? ? A.(-π,0) 3π B.?- 4 ,0? ? ? 3π C.? 2 ,0? ? ? ( )

π D.?2,0? ? ? ( )

π 3.函数 y=3cos(x+φ)+2 的图象关于直线 x= 对称,则 φ 的可能取值是 4 3π A. 4 二、填空题 4.函数 y=lg(sin x)+ 3π B.- 4 π C. 4 π D. 2

? 1 cos x- 的定义域为____ ( 2 k ? , 2 k ? ? ] (k∈Z)_________. 2 3

π 5.已知函数 f(x)=3sin(ωx- )(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相同.若 x∈[0, 6 π ? 3 ? ],则 f(x)的取值范围是____ ? ? , 3 ? ___________. 2 ? 2 ?

π? ? 4.函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在?0,4?上单调递增,且在这个区间上的最大值是 3, ? ? 那么 ω 等于________. 解析 π? ? 因为 f(x)=2sin ωx(ω>0)在?0,4?上单调递增,且在这个区间上的最大值是 ? ?

π π π 4 3,所以 2sin4ω= 3,且 0<4ω<2,因此 ω=3. 4 答案 3
π 6.关于函数 f(x)=4sin?2x+3? (x∈R),有下列命题: ? ? π ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍;②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos?2x-6?; ? ? π π ③y=f(x)的图象关于点?-6,0?对称;④y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称. ? ? 6 其中正确命题的序号是___________.②③

π? ? 解析 函数 f(x)=4sin?2x+3?的最小正周期 T=π,由相邻两个零点的横坐标间的距 ? ? T π 离是2 =2知①错. π?? ?π ? 利用诱导公式得 f(x)=4cos?2-?2x+3??= ? ?? ? π? ?π ? ? 4cos?6-2x?=4cos?2x-6?,知②正确. ? ? ? ? π 由于曲线 f(x)与 x 轴的每个交点都是它的对称中心,将 x=- 6 代入得 f(x)= ? ? π? π? 4sin?2×?-6?+3?=4sin 0=0, ? ? ? ? ? π ? 因此点?-6,0?是 f(x)图象的一个对称中心,故命题③正确.曲线 f(x)的对称轴必经 ? ? π ? π ? 过图象的最高点或最低点,且与 y 轴平行,而 x=-6时 y=0,点?-6,0?不是最高 ? ? π 点也不是最低点,故直线 x=-6不是图象的对称轴,因此命题④不正确. 答案 ②③
三、解答题 π 7.设函数 f(x)=sin(2x+φ) (-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= . 8

(1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. 解 3π (1)- 4

3π (2)由(1)得:f(x)=sin?2x- 4 ?, ? ? π 3π π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 4 2 π 5π 可解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 8 8 因此 y=f(x)的单调增区间为

?π+kπ,5π+kπ?,k∈Z. 8 ?8 ?
π π π 8.(1)求函数 y=2sin?2x+3? (- <x< )的值域; ? ? 6 6 (2)求函数 y=2cos2x+5sin x-4 的值域. 解 π π π π 2π (1)∵- <x< ,∴0<2x+ < ,∴0<sin?2x+3?≤1, ? ? 6 6 3 3

π ∴y=2sin?2x+3?的值域为(0,2]. ? ? (2)y=2cos2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2 5 9 =-2?sin x-4?2+ . ? ? 8 ∴当 sin x=1 时,ymax=1,当 sin x=-1 时,ymin=-9, ∴y=2cos2x+5sin x-4 的值域为[-9,1].

三角函数的图象与性质练习三 一、选择题 π 1.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数, f(x)的最小正周期是 π, 若 且当 x∈?0,2? 时, ? ? 5π f(x)=sin x,则 f ? 3 ?的值为 ( ? ? 1 A.- 2 1 B. 2 ) C.- 3 2 D. 3 2 )

π π 2.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间?-3,4?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于( ? ? 2 A. 3 3 B. 2 C.2 D.3

5π 3.函数 f(x)=cos 2x+sin? 2 +x?是 ? ? A.非奇非偶函数 C.仅有最大值的偶函数 二、填空题 B.仅有最小值的奇函数 D.有最大值又有最小值的偶函数

(

)

π 4.设定义在区间(0, )上的函数 y=6cos x 的图象与 y=5tan x 的图象交于点 P,过点 P 作 x 轴的 2 2 垂线,垂足为 P1,直线 PP1 与函数 y=sin x 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为____ _______. 3 π 4 5.函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在?0,4?上单调递增,且在这个区间上的最大值是 3,那么 ω=____ ? ? 3 _______. π π 解析 因为 f(x)=2sin ωx(ω>0)在?0,4?上单调递增, 且在这个区间上的最大值是 3, 所以 2sin ? ? 4 π π 4 4 ω= 3,且 0< ω< ,因此 ω= .答案 4 2 3 3 6.给出下列命题: 2 π ①函数 y=cos?3x+2?是奇函数; ? ? 3 ②存在实数 α,使得 sin α+cos α= ; 2

5π π ③若 α、 是第一象限角且 α<β, tan α<tan β; β 则 ④x= 是函数 y=sin?2x+ 4 ?的一条对称轴; ⑤ ? ? 8 π π 函数 y=sin?2x+3?的图象关于点?12,0?成中心对称图形. ? ? ? ? 其中正确的序号为___________. 三、解答题 7.若函数 f(x)=sin2ax-sin ax· ax (a>0)的图象与直线 y=m 相切,并且切点的横坐标依次成公 cos π 差为 的等差数列. (1)求 m 的值; 2 π (2)若点 A(x0,y0)是 y=f(x)图象的对称中心,且 x0∈?0,2?,求点 A 的坐标. ? ? 1 1 7.解 (1)f(x)= (1-cos 2ax)- sin 2ax 2 2 1 1 =- (sin 2ax+cos 2ax)+ 2 2 =- π 1 2 ? sin?2ax+4?+ . ? 2 2

∵y=f(x)的图象与 y=m 相切, ∴m 为 f(x)的最大值或最小值, 1+ 2 1- 2 即 m= 或 m= . 2 2

π π (2)∵切点的横坐标依次成公差为 的等差数列,∴f(x)的最小正周期为 . 2 2 2π π T= = ,a>0,∴a=2, |2a| 2 即 f(x)=- π 1 2 ? sin?4x+4?+ . ? 2 2

π π kπ π 由题意知 sin?4x0+4?=0,则 4x0+ =kπ (k∈Z),∴x0= - (k∈Z). ? ? 4 4 16 kπ π π 由 0≤ - ≤ (k∈Z)得 k=1 或 2, 4 16 2 3 1 7 1 因此点 A 的坐标为?16π,2?,?16π,2?. ? ? ? ?

三角函数的图象与性质练习四 一、选择题 1.函数 f(x)=2sin xcos x 是( A.最小正周期为 2 π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 ). B.最小正周期为 2 π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的偶函数

解析 f(x)=2sin xcos x=sin 2x.∴f(x)是最小正周期为 π 的奇函数. 答案 C 2.函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为( A.[-1,1] 5 B.?-4,-1? ? ? ). 5 C.?-4,1? ? ? 5 D.?-1,4? ? ?

解析 (数形结合法)y=sin2x+sin x-1,令 sin x=t,则有 y=t2+t-1,t∈[-1,1],画出函数图 1 象如图所示,从图象可以看出,当 t=- 及 t=1 时, 2 5 函数取最值,代入 y=t2+t-1 可得 y∈?-4,1?. ? ? 答案 C π π π 3. 若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间?0,3?上单调递增, 在区间?3,2?上单调递减, ω=( 则 ? ? ? ? 2 A. 3 3 B. 2 C.2 D.3 ).

π 解析 由题意知 f(x)的一条对称轴为 x=3, 和它相邻的一个对称中心为原点, f(x) 则 4π 3 的周期 T= 3 ,从而 ω=2. 答案 B

4.函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x 的最小正周期为( A.2π 3π B. 2 C.π

). D. π 2

π 解析 依题意,得 f(x)=cos x+ 3sin x=2sin?x+6?.故最小正周期为 2π. ? ? 答案 A π π 5.下列函数中,周期为 π,且在?4,2?上为减函数的是( ? ? π A.y=sin?2x+2? ? ? π C.y=sin?x+2? ? ? ). π B.y=cos?2x+2? ? ? π D.y=cos?x+2? ? ?

?π π? 解析 (筛选法)∵函数的周期为 π.∴排除 C、D,∵函数在?4,2?上是减函数,∴排 ? ? 除 B. 答案 A

【点评】 本题采用了筛选法,体现了筛选法的方便、快捷、准确性,在解选择题时 应注意应用.
π 6.已知函数 f(x)=sin?x-2?(x∈R),下面结论错误的是( ? ? A.函数 f(x)的最小正周期为 2π C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 ).

π B.函数 f(x)在区间?0,2?上是增函数 ? ? D.函数 f(x)是奇函数

π? ? π? ? 解析 ∵y=sin?x-2?=-cos x,∴T=2π,在?0,2?上是增函数,图象关于 y 轴对 ? ? ? ? 称,为偶函数. 答案 D
二、 填空题 7.y=-|sin(x+
π 4

)|的单调增区间为___[kπ+
? ?

π 4

,kπ+

3π 4

] (k∈Z)_____.

8.要得到 y ? 3 cos ? 2 x ?

? ?

? ? 的图象,可以将函数 y = 3 sin2 x 的图象向左平移_ __单位. 8 4?

9.若动直线 x ? a 与函数 f ( x ) ? sin x 和 g ( x ) ? co s x 的图像分别交于 M , N 两点,则 M N 的 最大值为____ 2 ____. 10 函数 f(x)=
sin x ? 1 3 ? 2 c os x ? 2 sin x

( 0 ? x ? 2 ? ) 的值域是_____[-1,0]___ __.

11.已知 f ( x ) ? s in ? ? x ?
?

?

?? ??? ??? ?? ?? ? (? ? 0 ), f ? ? ? f ? ? ,且 f ( x ) 在区间 ? , ? 有最小值,无 3? ?6? ? 3? ?6 3?
14 3

最大值,则 ? =__________.

12、 给出下面的 3 个命题:1) ( 函数 y ? | sin( 2 x ? 在区间 [? ,
3? 2 ) 上单调递增; (3)x ? 5? 4

?
3

) | 的最小正周期是 5? 2

? 2

( 函数 y ? sin( x ? ;2)

3? 2

)

是函数 y ? sin( 2 x ?

) 的图象的一条对称轴.其中正

确命题的序号是



π 13.若函数 f(x)=cos ωxcos?2-ωx?(ω>0)的最小正周期为 π,则 ω 的值为________. ? ?

1 ?π ? 解析 f(x)=cos ωxcos?2-ωx?=cos ωxsin ωx=2sin 2ωx, ? ? 2π ∴T=2ω=π.∴ω=1. 答案 1

π 14.函数 y=tan?2x+4?的图象与 x 轴交点的坐标是______. ? ?

kπ π π 解析 由 2x+4=kπ,k∈Z,得:x= 2 -8,k∈Z, ?kπ π ? 故交点坐标为? 2 -8,0?(k∈Z). ? ? 答案 ?kπ π ? ? 2 -8,0?(k∈Z) ? ?

π π 15.已知函数 f(x)=sin(x+θ)+ 3cos(x+θ)?θ∈?-2,2??是偶函数,则 θ 的值为________. ? ? ??

π? π ? 解析 (回顾检验法)据已知可得 f(x)=2sin?x+θ+3?,若函数为偶函数,则必有 θ+3 ? ? π π π π ? π π? =kπ+2(k∈Z),又由于 θ∈?-2,2?,故有 θ+3=2,解得 θ=6,经代入检验符合 ? ? π 题意.答案 6
三、解答题 π 16.已知 f(x)=sin x+sin?2-x?. ? ? 1 (1)若 α∈[0,π],且 sin 2α= ,求 f(α)的值; 3

(2)若 x∈[0,π],求 f(x)的单调递增区间. 解 (1)由题设知 f(α)=sin α+cos α.

π 1 ∵sin 2α= =2sin α· α>0,α∈[0,π],∴α∈?0,2?,sin α+cos α>0. cos ? ? 3 4 2 2 由(sin α+cos α)2=1+2sin α· α= ,得 sin α+cos α= 3,∴f(α)= 3. cos 3 3 3

π π (2)由(1)知 f(x)= 2sin?x+4?,又 0≤x≤π,∴f(x)的单调递增区间为?0,4?. ? ? ? ? π 17.设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. 解 π π π (1)令 2× +φ=kπ+ ,k∈Z,∴φ=kπ+ ,k∈Z, 8 2 4

5 1 3π 又-π<φ<0,则- <k<- ,k∈Z,∴k=-1,则 φ=- . 4 4 4 3π (2)由(1)得:f(x)=sin?2x- 4 ?, ? ? π 3π π π 5π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,可解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 2 4 2 8 8 π 5π 因此 y=f(x)的单调增区间为?8+kπ, 8 +kπ?,k∈Z. ? ? 18、设函数 f ( x ) ? sin (
?x
4 ?

?
6

) ? 2 co s

2

?x
8

?1. (1)求 f ( x ) 的最小正周期.

(2)若函数 y ? g ( x ) 与 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x ) 的最
3

4

大值. 解: (Ⅰ) f ( x ) = sin
3 2

?
4

x co s

?
6

? co s

?
4

x sin

?
6

? co s

?
4

x

=

sin

?
4

x?

3 2

co s

?
4

x

= 3 sin (

?
4

x?

?
3

)

故 f ( x ) 的最小正周期为 T =

2?

?
4

=8

(Ⅱ)解法一: 在 y ? g ( x ) 的图象上任取一点 ( x , g ( x )) ,它关于 x ? 1 的对称点 ( 2 ? x , g ( x )) . 由题设条件,点 ( 2 ? x , g ( x )) 在 y ? f ( x ) 的图象上,从而
g ( x ) ? f ( ? x ?) 2 3 s i n [? x ( ? 2 4 3

?

?

)

]

= 3 sin [ 当0 ? x ?
3 4
gm ? x

?
2

?

?
4

x? ?

?
3

] = 3 co s(

?
4

x?

?
3

)
4 3

时,

?
3

?

?
4

x?

?
3

2? 3

,因此 y ? g ( x ) 在区间 [0 , ] 上的最大值为

a

? 3 3 c o s? 3 2

解法二:

因区间 [0 , ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2 ] ,且 y ? g ( x ) 与 y ? f ( x ) 的图象关于
3 4 3 3 2 3

4

2

x = 1 对称,故 y ? g ( x ) 在 [0 , ] 上的最大值为 y ? f ( x ) 在 [ , 2 ] 上的最大值 由(Ⅰ)知 f ( x ) = 3 sin (
4 3

?
4

x?

?
3

)当

2 3

? x ? 2 时, ?

?
6

?

?
4
3

?

?
3

?

?
6

因此 y ? g ( x ) 在 [0 , ] 上的最大值为 g m ax ?

3 sin

?
6

?

.

2

· cos 19、设函数 f ( x ) ? a b ,其中向量 a ? ( m, 2 x ) , b ? (1 ? sin 2 x, , x ? R ,且 y ? f ( x ) 的图 1)

象经过点 ?



? ,? . 2 ?4 ?

(1)求实数 m 的值; (2)求函数 f ( x ) 的最小值及此时 x 值的集合. (3)求函数的单调区间; (4)函数图象沿向量 c 平移得到 y ? 19、 (1) m ? 1 (2) x ? k ? ?
? ?
3? 8 ( k ? Z )时 , y min ? 1 ? 2
2 sin 2 x 的图象,求向量 c 。

(3) ( 增区间: ? k ? ? (4) c ? (
?
8 , ? 1)

3? 8

, k? ?

? ?

? 5? ? ? ? , 减区间: ? k ? ? 8 , k ? ? 8 ? , ( k ? Z )) 8? ? ?

20、设函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? ? ? ? ? ? 0, ?
?

?

?
2

?? ?

? ?

? ,给出下列三个论断: 2 ?

① f ? x ? 的图象关于直线 x ? ? ③ f ? x ? 的图象关于点 ?
? ?

?
6

对称; ② f ? x ? 的周期为 ? ;

? , 0 ? 对称. ? 12 ?

以其中的两个论断为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题,并对 该命题加以证明.
①? ?? ③ ②?



①? ?? ② ③?



②? ?? ① ③?

证明略


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