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山东省沂南一中2010-2011学年高二竞赛试题(数学文)

时间:2012-07-25


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山东省沂南一中 2010-2011 学年高二竞赛试题

文 科 数 学

2010.12

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,共 150 分,时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的) 1. cos 24 ? cos 36 ? ? cos 66 ? cos 54 ? 的值为(
1 2


1 2

A. 0

B.

C.

3 2

D. ?

2.在△ABC 中,已知 a ? 5 2 , c ? 10 ,A= 30 0 ,则 B 等于( A.1050 B.600 或 1200 C.150

)

D.1050 或 150

3.在等差数列{an}中,a5=33,a45=153,则 201 是该数列的第( )项 A.60 B.61 C.62 D.63 4.在 ? ABC 中,若 2 cos B ? sin A ? sin C ,则 ? ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 5.设等比数列 ?a n ? 的前 n 项之和为 S n , S 10 ? 10 , S 20 ? 30 ,则 S 30 ? ( A.60 B.70 C.80 D.90 ) 6.在△ABC 中,若 ( a ? b ? c )( b ? c ? a ) ? 3bc , 则 A ? ( A
60
0

)

B

90

0

C

135

0

D

150

0

7.已知 tan ? ? ? ? ? ? 3, tan ? ? ? ? ? ? 5 ,则 tan ? 2? ? 的值为( A.
1 8


? 1 8

B.

4 7

C.
) ? sin ( x ?
2

?

4 7

D.

8.函数 f ( x ) ? sin 2 ( x ?

?
4

?
4

)

是(



A.周期为 2 ? 的偶函数 C.周期为 2 ? 的奇函数

B.周期为 ? 的偶函数 D.周期为 ? 的奇函数

9. 如图: D , C , B 三点在地面同一直线上, DC ? a ,从 C,D 两点 测得 A 点仰角分别是 ? , ? , (? ? ? ) , A 点离地面的高度 AB 等 则 于( ). A.
a s in ? s in ? s in ( ? ? ? )

B.

a s in ? ? s in ? c o s (? ? ? )

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C.
a sin ? c o s ? sin ( ? ? ? )

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c o s(? ? ? )

D.
?

a c o s ? sin ?

10. tan 70 ? cos 10 ? A. -1

?

3 tan 20 ? 1 等于(

?

) D. -2
Sn Tn

B. 1

C. 2

11. 等差数列 n} {bn} {a 和 的前 n 项和分别为 Sn 与Tn, 对一切自然数 n, 都有

=

2n 3n ? 1





a5 b5

等于(
2 3

)?
20 31 9 14 11 17

A.

B.

C.

D.

12.设等差数列 { a n } 的前 n 项之和为 S n , S 21 ? a 21 , 且 a 1 ? 0 , 则有 ( A. { a n } 为递减数列,且 S n 的最大值为 S 10 C. { a n } 为递增数列,且 S n 的最大值为 S 10



B. { a n } 为递增数列,且 S n 的最小值为 S 11 D. { a n } 为递减数列,且 S n 的最小值为 S 11

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
(请把Ⅱ卷的答案写在答题卡上)

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
13 . 在 等 差 数 列 { an } 中 , 已 知 公 差 d= a1+a2+a3+…+a99+a100=______________. 14 若
1 ? tan ? 1 ? tan ? ? 2008, 则 1 cos 2? ? tan 2? ?

1 2

, 且 a1+a3+a5+…+a99=60 , 则

15. 数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2+3n+1,则它的通项公式为

.

16. 如图,测量河对岸的塔高 A B 时,可以选与塔底 B 在同一 水 平 面 内 的 两 个 测 点 C 与 并在点 C ? BD C ? 30 , C D ? 30 米,
0

D

. 测 得 ? BC D ? 15 0 , 则

测得塔顶 A 的仰角为 60 0 ,

塔高 AB=

米.

三、解答题(共 60 分)
17. (本题满分 12 分)

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在等比数列 ?a n ? 中, a 1 ? a 2 ? a 3 ? 27 , a 2 ? a 4 ? 30 求: (I) a 1 和公比 q ; (II)前 6 项的和 S 6 .

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? cos 4 x ? 2 sin x cos x ? sin 4 x (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 的最大值、最小值.

19. (本题满分 12 分) 已知等差数列{an}中,a1=29,S10=S20,问这个数列的前多少项和最大? 并求此最大值.

20 (本题满分 12 分) 已知 0 ? x ?
?
4 , sin(

?
4

? x) ?

5 13

,



cos 2 x cos(

?
4

的值

? x)

21.(本小题满分 12 分) 已知 ? A B C 的三个内角 A , B , C 依次成等差数列,三边 a , b , c 依次成等比数列. 试推断 ? A B C 的形状.

22. (本题满分 14 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 8 sin ①求角 A 的大小; ②若 a ? 3 , b ? c ? 3, 求 b 和 c 的值 .
2

B?C 2

? 2 cos 2 A ? 7

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沂南一中高二语数外学科竞赛试题 文科数学参考答案
一.选择题

BDBCB ACDAA CA

2 ? ? a 1 ? a 1 q ? a 1 q ? 27 ? 3 ? a 1 q ? a 1 q ? 30 ?

………………………………………….3 分

解得: ?

? a1 ? 1 ?q ? 3

或?
n

? a1 ? ? 1 ?q ? ?3

……………………………………………….6 分

(II)? S n ?

a 1 (1 ? q ) 1? q

6 6 ? a1 ? 1 1 ? (1 ? 3 ) 1? 3 ? ? 364 .……………..…… 9 分 时, S 6 ? ?当? 1? 3 ?2 ?q ? 3

当?

? a1 ? ? 1 ?q ? ?3

时, S 6 ?

( ? 1 ) ? [1 ? ( ? 3 ) ]
6

1? 3

?

3 ?1
6

? 182 …….…….12 分

4

18.已知函数 f ( x ) ? cos 4 x ? 2 sin x cos x ? sin 4 x (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 的最大值、最小值。 分析:目标是化成一个弦函数,先用同角平方关系式、二倍角公式化成 2x 的三角函数, 再和差化积即可。 解:

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2 2 2

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2

? f ( x ) ? (cos x ? sin x )(cos x ? sin x ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ?

2 cos(2 x ?

?
4

)

(1)? f ( x ) 的最小正周期 T ?
? ( 2 ) 由 c o s x(? 2
4

2? 2

?? ;

? ) 有 2x ? ? 1

?
4

? 2k? ? ?

, ? x ? k? ?

3? 8

(k ? Z ) 时

f ( x ) m in ? ? 2 ,

由 cos(2 x ?

?
4

) ? 1有2x ?

?
4

? 2 k ? ,? x ? k ? ?

?
8

( k ? Z ) 时 f ( x ) m ax ?

2 ,

20

已知 0 ? x ?

?
4

, sin(

?
4

? x) ?

5 13

,求

cos 2 x cos(

?
4

的值

? x)

解:? (

?
4

? x) ? (

?
4

? x) ?

?
2

,? cos(

?
4

? x ) ? sin(

?
4

? x) ?

5 13


?
4 ? x) ? 120 169

而 cos 2 x ? sin(

?
2

? 2 x ) ? sin 2(
120

?
4

? x ) ? 2 sin(

?
4

? x ) cos(

cos 2 x cos(

?
4

?

? x)

24 169 ? 5 13 13

21.(本小题满分 12 分)已知 ? A B C 的三个内角 A , B , C 依次成等差数列,三边 a , b , c 依次成等比数列.试推断 ? A B C 的形状. 解: 由 A , B , C 依次成等差数列,得 A ? C ? 2 B , 而 A ? B ? C ? 180 0 ,
2

? B ? 60 .
0
2

……………(4 分)

由三边 a , b , c 依次成等比数列,得 b ? ac .……………(6 分)
cos B ? a ?c
2

?b

2

?

1 2

,代入 b 2 ? ac 后,

2 ac
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(a ? c)
2

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? 0 ,(10 分)

∴ a ? c , b 2 ? ac ? a 2 ? c 2 , ∴ a ? b ? c ,故 ? A B C 为正三角形。

(12 分)

(2) 由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 bc cos A 即 3= ( b ? c ) 2 ? 2 bc ? bc ? 9 ? 3bc
?b ? 1 ?? ?c ? 2 ?b ? 1 ? ?c ? 2

? bc ? 2



诊断补偿习题:
1.设数列 ?a n ? 的 a n ? A. 2.. 数列 1
2n n ?1 1 1 1 1? 2 ? 3?? ? n 3n n?2 1 1

,则此数列 ?a n ? 的前 n 项之和为 ( C.
4n n?3

)

B. ,3

D. .

n ?1 2n

,2

,4

,…的前 n 项和为

2

4

8

16

3..已知等差数列 ?a n ? , a 2 ? 9 , a 5 ? 21 . (1)求 ?a n ? 的通项公式, (2)令 b n ? 2
an

,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 S n .

4. (本小题满分 14 分)数列 ?a n ? 中, S n 表示前 n 项和, a 1 ? 1, S n ?1 ? 4 a n ? 2 . (1) 求证: ?a n ?1 ? 2 a n ? 为等比数列; (2) 求证: ?
? an ? 为等差数列; n ? ?2 ?

(3) 求 a n , S n
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