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2.4正态分布(选修2-3)


高二数学 选修2-3

2.4正态分布

白银九中

制作:胡贵平

X

引入
正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知 道,离散型随机变量最多取可列个不同值,它等于 某一特定实数的概率可能大于0,人们感兴趣的是 它取某些特定值的概率,即感兴趣的是其分布列; 连续型随

机变量可能取某个区间上的任何值,它等 于任何一个实数的概率都为0,所以通常感兴趣的 是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率 分布规律用分布列描述,而连续型随机变量的概率 分布规律用密度函数(曲线)描述。

复习
100个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距

产品 尺寸 (mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535

复习
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距

产品 尺寸 (mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535

复习
样本容量增大时 频率分布直方图
频率 组距

总体密度曲 线

产品 尺寸 (mm)

复习

总体密度曲 线

产品 尺寸 (mm)

导入

高尔顿钉板试验

高尔顿板实验

知识回放

以格子的编号为横坐标,小球落入各个 格子内的频率值为纵坐标,则在各个格 子内小球的分布情况大致可用下列频率 分布直方图表示.
频率/组距

1 2 3 4 5 6 7 8 91011 编号

Y

总体密度曲 线

0

X

导入
产品尺寸的总体密度曲线 就是或近似地是以下函数的图象:

1 、正态曲线的定义: 函数

1 ? f ( x) ? e 2??

( x ? ? )2 2? 2

x ? (??,??)

式中的实数μ、σ(σ>0)是参数,分别表示 总体的平均数与标准差,称f( x)的图象称为正态曲线

Y

a

b

c

d 平均数

X

若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时 的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为:

P(a ? X ? b) ? ? ? ? ,? ( x)dx
a

b

2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:

P(a ? X ? b) ? ? ? ? ,? ( x)dx
a

b

则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定. 正态分布记作N( μ,σ2).其图象称为正态曲线.

如果随机变量X服从正态分布, 则记作 X~ N( μ,σ2)

在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布:

在生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标; 在测量中,测量结果; 在生物学中,同一群体的某一特征;……; 在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度
以及降雨量等,水文中的水位;

总之,正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。

正态分布在概率和统计中占有重要地位。

3、正态曲线的性质

? ? ?? ( x ) ?
y
μ= -1 σ=0.5

1 2??

e

?

( x ? ? )2 2? 2

, x ? ( ??, ?? )
y
μ=1

y
μ=0

σ=1

σ=2

-3 -2 -1 0

1 2

x

-3 -2 -1 0

1 2

3

x

-3 -2 -1 0

1

2 3

4x

具有两头低、中间高、左右对称的基本特征

3、正态曲线的性质

? ? ?? ( x ) ?
y μ= -1 σ=0.5

1

2?? y

e

?

( x ? ? )2 2? 2

, x ? ( ??, ?? )
y μ=1

μ=0 σ=1

σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

-3 -2 -1 0

1 2

x

-3 -2 -1 0

1 2 3 x

(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.

(3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) (4)曲线与x轴之间的面积为1

1 σ 2π

? 的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平

x= μ

x3

x4

x1

平均数

x2

产品 尺寸 (mm)

?的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 总体标准差反映总体随机变量的 集中与分散的程度

?1 ?2
平均数
产品 尺寸 (mm)

正态总体的函数表示式 ? 1 f ( x) ? e 2? ?
当μ= 0,σ=1时

( x?? )2 2? 2

x ? (??,??)
y

μ=0

标准正态总体的函数表示式

σ=1
x2

1 ?2 f ( x) ? e x ? (??,??) 2?

-3 -2 -1 0

1 2 3 x

标准正态曲线

正态总体的函数表示式

1 f ( x) ? e 2? ?

( x?? )2 ? 2? 2

x ? (??,??)
y

1 (0, ] (2)f ( x) 的值域为 2? ?
(3) f ( x) 的图象关于

(1)当x = μ 时,函数值为最大.

μ=0 σ=1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

x =μ

对称.

(-∞,μ] 时f ( x)为增函数. (4)当 x∈ (μ,+∞) 时f ( x)为减函数. 当 x∈

标准正态曲线

例1、下列函数是正态密度函数的是( B )
A.

1 f ( x) ? e 2??
2? f ( x) ? e 2?

( x ? ? )2 2? 2

, ? , ? (? ? 0)都是实数

B.

x2 ? 2

C.

1 f ( x) ? e 2 2?

( x ?1)2 ? 4

D.

1 f ( x) ? e 2?

x2 2

练习:
1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函
1 数的最大值等于 ,求该正态分布的概率密度函数 4 2?

的解析式。

y

2、如图,是一个正态曲线, 试根据图象写出其正态分布 的概率密度函数的解析式, 求出总体随机变量的期望和 方差。

1 2 ?

5 10 15 20 25 30 35 x

方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1 μ= 1

σ=0.5

若? 固定, 随?值 的变化而 沿x轴平 移, 故 ? 称为位置 参数;

?3

?1

?2

均数相等、方差不等的正态分布图示
μ=0
?=0.5

?=1

?=2

若 μ 固定, ? 大 时, 曲线矮而胖; 若 μ 固定, ?小时, 曲线瘦 而高, 故称 ? 为形状参数。

?

3、正态曲线的性质
y X=μ

? ? ?? ( x ) ?

1 2? ?

e

?

( x ? ? )2 2? 2

σ=0.5

σ=1

σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x

(5)当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线 向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近. (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定 . σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散; σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.

正态曲线下的面积规律
? X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 ? 对称区域面积相等。

S(-?,-X)

S(X,?)=S(-?,-X)

?

正态曲线下的面积规律
? 对称区域面积相等。

S(-x1, -x2)

S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

-x1 -x2

?

x2 x1

4、特殊区间的概率:
若X~N

(?,? 2 ),则对于任何实数a>0,概率
? ?a

P(? ? a ? x ≤ ? ? a) ?

为如图中的阴影部分的面积,对于固定的 ? 和 ?而言,该面 积随着 ? 的减少而变大。这说明 ? 越小, 落在区间 (? ? a, ? ? a] 的概率越大,即X集中在 ? 周围概率越大。

? ? ? ( x )dx ? ?
, ?a

x=μ

特别地有

P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826, P( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544, P( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974.
?+a

?-a

P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826, P( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544, P( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974.

当 a ? 3? 时正态总体的取值几乎总取值于区间 由于这些概率值很小(一般不超过 5% ), .在实 (? ? 3 ? , ? ? 3? ) 之内, 其他区间取值几乎不可能 通常称这些情况发生为小概率事件。 际运用中就只考虑这个区间,称为 3? 原则.

我们从上图看到,正态总体在 ?? ? 2? , ? ? 2? ? 以外取值的概率只有4.6%,在?? ? 3? , ? ? 3? ?以外 取值的概率只有0.3 %。

例2、在某次数学考试中,考生的成绩 x 服从一个 x ~N(90,100). 正态分布,即 (1)试求考试成绩 多少?

(2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩 在(80,100)间的考生大约有多少人? 练习:1、已知一次考试共有60名同学参加,考生的 2 成绩X~ (100,5 ),据此估计,大约应有57人的分 数在下列哪个区间内?( A ) A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]

x 位于区间(70,110)上的概率是 0.9544

2000×0.6826≈1365人

2、已知X~N (0,1),则X在区间 (??, ?2) 内取值的概率 等于( D )
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 0.9544 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X ? 0)=

0.5

,

P(?2 ? X ? 2) =

.

4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).

归纳小结
1.正态曲线及其性质; 2.正态分布及概率计算; 3.3?原则。


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